【分析】
要证明$MN⊥DE$，已知N是DE的中点，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，只要证明$△ DME$是等腰三角形（即$MD=ME$）即可。观察已知条件：BD、AE是三角形的高，因此$△ ABD$和$△ ABE$都是直角三角形，M是公共斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，可推出$MD=ME$，进而结合等腰三角形性质得到垂直结论。
【解析】
1. 作辅助线：连接$EM$、$MD$。
2. 由高的定义得直角：因为BD、AE是钝角$△ ABC$的两条高，所以$∠ BDA=90°$，$∠ BEA=90°$，即$△ ABD$和$△ ABE$均为直角三角形。
3. 利用直角三角形斜边中线性质得等线段：因为M是直角三角形斜边AB的中点，因此$DM=\frac{1}{2}AB$，$EM=\frac{1}{2}AB$，可得$DM=EM$，即$△ DME$是等腰三角形。
4. 结合等腰三角形性质推导垂直：因为N是等腰$△ DME$底边DE的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$MN⊥DE$。
【答案】
证明:连接 EM,MD,如答图.
∵BD,AE 是钝角三角形 ABC 的两条高,
∴∠BEA=90°,∠BDA=90°.
∵M是AB的中点,
∴DM=EM=$\frac{1}{2}$AB,
∴△DME是等腰三角形.
∵N是DE的中点,
∴MN⊥DE.

【知识点】
直角三角形斜边中线定理；等腰三角形三线合一；三角形高的定义
【点评】
本题是典型的中点类几何证明题，解题关键是遇到直角三角形斜边中点时，联想到斜边中线的性质，通过构造辅助线得到相等线段，再结合等腰三角形的性质推导垂直关系，是中点问题的常规考法。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1)要证明∠EBC=∠CAB，可通过证明两角所在的三角形全等推导。首先根据已知OA=OB=OC、OC⊥AB，可判断△AOC、△BOC都是等腰直角三角形，得到AC=BC、∠ACB=90°；再结合CE⊥CD推出∠ACD=∠BCE，结合已知CE=CD，即可利用SAS证明△ACD≌△BCE，从而得到对应角相等。
(2)判断OF与AC的位置关系，猜想为平行。已知F是DE中点，结合图中的直角，可利用直角三角形斜边中线的性质推导线段相等：先连接CF、BF，由(1)的结论可推出∠DBE=90°，分别在Rt△DCE和Rt△DBE中，根据斜边中线等于斜边的一半，得到CF=BF，结合OB=OC可证明OF垂直平分BC；再结合AC⊥BC，即可由“垂直于同一直线的两直线平行”得到结论。
【解析】
(1)证明：
∵CO⊥AB，
∴∠COA=∠COB=90°。
∵AO=CO=BO，
∴AC=BC，
∴∠CAO=∠CBO=∠ACO=∠BCO=45°，
∴△AOC，△BOC均为等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCD=90°。
∵CE⊥CD，
∴∠ECB+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠ECB。
在△ACD与△BCE中，$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠EBC=∠CAB。
(2)解：OF//AC，理由如下：
连接CF，BF，如答图。
由(1)知∠EBC=∠CAB=45°，∠CBA=45°，
∴∠DBE=∠CBA+∠EBC=45°+45°=90°。
∵F为DE的中点，
∴在Rt△DBE中，BF=$\frac{1}{2}$DE。
∵CE⊥CD，
∴∠DCE=90°，
∴在Rt△DCE中，CF=$\frac{1}{2}$DE，
∴CF=BF。
又
∵OB=OC，
∴OF是BC的垂直平分线，即OF⊥BC。
∵AC⊥BC，OF⊥BC，
∴OF//AC。
【答案】
(1) 证明见解析，可证得∠EBC=∠CAB；
(2) OF//AC，理由见解析。

【知识点】
全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边中线定理；平行线的判定
【点评】
本题综合考查了等腰直角三角形、全等三角形、直角三角形斜边中线的性质以及垂直平分线的判定，解题的关键是合理构造辅助线，通过全等转化角的等量关系，再结合中点的特殊性质推导线段的位置关系，对几何逻辑推理能力有一定的训练价值。
【难度系数】
0.6