【分析】
要证明$EB⊥AB$，本质是证明$∠ ABE=90°$。我们可以从已知条件入手推导：首先已知$EA=EC$，说明$△ EAC$是等腰三角形，等腰三角形优先考虑用“三线合一”作辅助线，因此过$E$作$EF⊥ AC$于$F$，可直接得到$AF=\frac{1}{2}AC$；结合$AC=2AB$的条件，可推出$AF=AB$；再结合$AD$平分$∠ BAC$得到的等角、公共边$AE$，即可通过SAS判定$△ ABE$和$△ AFE$全等，将$∠ AFE=90°$转化为$∠ ABE=90°$，就能得到最终结论。
【解析】
证明：如答图，过点$E$作$EF⊥ AC$于点$F$。
$\because EA=EC$，$△ EAC$为等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质可得：
$AF=FC=\frac{1}{2}AC$。
$\because AC=2AB$，$\therefore AF=\frac{1}{2}AC=AB$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，由角平分线的定义可得：$∠ BAD=∠ CAD$。
在$△ ABE$和$△ AFE$中：
$\begin{cases} AB=AF, \\ ∠ BAE=∠ FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ AFE(\mathrm{SAS})$，由全等三角形对应角相等可得：$∠ ABE=∠ AFE=90°$，
$\therefore EB⊥ AB$。
【答案】
证明:如答图,过点E作$EF⊥ AC$于点F.
$\because EA=EC,\therefore AF=FC=\frac{1}{2}AC.$
$\because AC=2AB,\therefore AF=AB.$
$\because AD$平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAD=∠ CAD.$
在$△ ABE$和$△ AFE$中,$\begin{cases} AB=AF, \\ ∠ BAE=∠ FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ AFE(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ ABE=∠ AFE=90°,$
$\therefore EB⊥ AB.$

【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等腰三角形辅助线应用的典型题型，解题关键是利用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线构造全等三角形，将已知的线段、角的条件和待证的垂直结论建立关联，侧重考查几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要证明PD=QD，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知点P、Q移动速度相同，因此BP=CQ，结合△ABC中AB=AC的等腰条件，过点P作PF//AC交BC于点F：一方面可利用平行线的性质得到相等的角，另一方面可推出△BPF为等腰三角形，得到PF=BP=CQ，即可用AAS判定△PFD≌△QCD，进而证得PD=QD。
(2) 探究长度不变的线段时，结合(1)的全等结论和PE⊥BC的条件推导：由全等可得DF=CD，由等腰△BPF三线合一的性质可得BE=EF，因此DE可转化为EF+DF，整理后可得DE的长度为BC的一半，BC是定值，因此DE长度保持不变。
【解析】
(1) 证明：如答图，过点P作$PF// AC$交BC于点F。
∵点P和点Q同时出发，且移动速度相同，$\therefore BP=CQ$。
$\because PF// AQ$，$\therefore ∠ PFB=∠ ACB$，$∠ DPF=∠ DQC$。
又$\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ ACB$，$\therefore ∠ B=∠ PFB$，
$\therefore BP=PF$，$\therefore PF=CQ$。
在$△ PFD$与$△ QCD$中，
$\begin{cases} ∠ PDF=∠ QDC, \\ ∠ DPF=∠ DQC, \\ PF=QC, \end{cases}$
$\therefore △ PFD≌△ QCD(\mathrm{AAS})$，$\therefore PD=QD$。
(2) 解：存在长度保持不变的线段，该线段是ED，理由如下：
由(1)得$△ PFD≌△ QCD$，且$BP=PF$，
$\therefore DF=CD$，即$FD=\frac{1}{2}FC$。
$\because PE⊥ BC$，△BPF为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，$\therefore BE=EF$，即$EF=\frac{1}{2}BF$。
$\therefore ED=FD+EF=\frac{1}{2}FC+\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}(FC+BF)=\frac{1}{2}BC$，
∵BC是△ABC的固定边，长度为定值，$\therefore ED$的长度保持不变。
【答案】
(1) 证明成立，$PD=QD$；
(2) 存在长度保持不变的线段，为$DE$，长度恒等于$\frac{1}{2}BC$。

【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形的综合应用题，解题的关键是通过作平行线构造全等三角形和等腰三角形，将动点带来的变化边转化为可推导的等量关系，能有效锻炼辅助线构造能力和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65

【分析】
要证明$BG=EG$，已知$DG⊥ BC$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明$BD=DE$，即证$△ BDE$为等腰三角形，可通过证明含$BD$、$DE$的两个三角形全等推导。结合题中等边$△ ABC$、$CE=AD$的条件，过点$D$作$DF// BC$交$AB$延长线于$F$，先利用平行线性质和等边三角形判定得到$△ ADF$是等边三角形，即可得到全等需要的相等线段和角，证明三角形全等得到$BD=DE$，最终推出结论。
【解析】
证明:过点D作$DF// BC$交AB的延长线于点F.
$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore AB=AC=BC,∠ ABC=∠ ACB=∠ AFD=∠ ADF=∠ A=60°,$
$\therefore △ ADF$是等边三角形,$\therefore AD=DF=AF,\therefore CD=BF.$
又$\because AD=CE,\therefore FD=CE.$
又$\because ∠ DCE=∠ ACB=60°,\therefore ∠ DFB=∠ DCE.$
在$△ BFD$和$△ DCE$中,$\begin{cases} BF=DC, \\ ∠ DFB=∠ ECD, \\ FD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BFD≌△ DCE(\mathrm{SAS}),\therefore DB=DE.$
$\because DG⊥ BC,\therefore BG=EG.$
【答案】
证明:过点D作$DF// BC$交AB的延长线于点F.
$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore AB=AC=BC,∠ ABC=∠ ACB=∠ AFD=∠ ADF=∠ A=60°,$
$\therefore △ ADF$是等边三角形,$\therefore AD=DF=AF,\therefore CD=BF.$
又$\because AD=CE,\therefore FD=CE.$
又$\because ∠ DCE=∠ ACB=60°,\therefore ∠ DFB=∠ DCE.$
在$△ BFD$和$△ DCE$中,$\begin{cases} BF=DC, \\ ∠ DFB=∠ ECD, \\ FD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BFD≌△ DCE(\mathrm{SAS}),\therefore DB=DE.$
$\because DG⊥ BC,\therefore BG=EG.$

【知识点】
等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的核心是通过作平行线构造等边三角形和全等三角形，将待证的线段相等问题转化为等腰三角形三线合一的应用，熟练掌握这类辅助线的作法可以快速找到几何证明题的突破口。
【难度系数】
0.6