1. 对于实数$a,b$,定义$\min\{a,b\}$为:当$a≤ b$时,$\min\{a,b\}=a$;当$a＞ b$时,$\min\{a,b\}=b$.
例如,$\min\{1,-2\}=-2$.已知$\min\{\sqrt{30},a\}=a$,$\min\{\sqrt{30},b\}=\sqrt{30}$,且$a$和$b$为两个连续正整数,则$2a-b$的值为 （
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
例如,$\min\{1,-2\}=-2$.已知$\min\{\sqrt{30},a\}=a$,$\min\{\sqrt{30},b\}=\sqrt{30}$,且$a$和$b$为两个连续正整数,则$2a-b$的值为 （
D
）A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案：1.D
解析：
【分析】
解题思路分为四步：第一步先明确新定义$\min\{a,b\}$的含义，即取两个数中较小的数；第二步根据给出的两个$\min$的运算结果，推导得出$a ≤ \sqrt{30}$、$b ≥ \sqrt{30}$的大小关系；第三步估算$\sqrt{30}$的取值范围，再结合$a$、$b$是连续正整数的条件，确定$a$和$b$的具体值；最后将$a$、$b$代入代数式$2a-b$计算即可得到结果。
【解析】
1. 根据新定义规则：
已知$\min\{\sqrt{30},a\}=a$，说明$a$是两个数中较小的数，因此$\boldsymbol{a ≤ \sqrt{30}}$；
已知$\min\{\sqrt{30},b\}=\sqrt{30}$，说明$\sqrt{30}$是两个数中较小的数，因此$\boldsymbol{b ≥ \sqrt{30}}$。
2. 估算$\sqrt{30}$的范围：
因为$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜30＜36$，所以$\boldsymbol{5 ＜ \sqrt{30} ＜ 6}$。
3. 确定$a$、$b$的值：
已知$a$和$b$是连续正整数，结合上述大小关系可得$a=5$，$b=6$。
4. 代入计算：
$2a-b=2×5 - 6=10-6=4$。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、无理数估算、代数式求值
【点评】
本题是新定义与实数运算结合的基础综合题，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，正确估算出无理数的取值范围，再结合题干限制条件求出未知字母的值，侧重考查对基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路分为四步：第一步先明确新定义$\min\{a,b\}$的含义，即取两个数中较小的数；第二步根据给出的两个$\min$的运算结果，推导得出$a ≤ \sqrt{30}$、$b ≥ \sqrt{30}$的大小关系；第三步估算$\sqrt{30}$的取值范围，再结合$a$、$b$是连续正整数的条件，确定$a$和$b$的具体值；最后将$a$、$b$代入代数式$2a-b$计算即可得到结果。
【解析】
1. 根据新定义规则：
已知$\min\{\sqrt{30},a\}=a$，说明$a$是两个数中较小的数，因此$\boldsymbol{a ≤ \sqrt{30}}$；
已知$\min\{\sqrt{30},b\}=\sqrt{30}$，说明$\sqrt{30}$是两个数中较小的数，因此$\boldsymbol{b ≥ \sqrt{30}}$。
2. 估算$\sqrt{30}$的范围：
因为$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜30＜36$，所以$\boldsymbol{5 ＜ \sqrt{30} ＜ 6}$。
3. 确定$a$、$b$的值：
已知$a$和$b$是连续正整数，结合上述大小关系可得$a=5$，$b=6$。
4. 代入计算：
$2a-b=2×5 - 6=10-6=4$。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、无理数估算、代数式求值
【点评】
本题是新定义与实数运算结合的基础综合题，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，正确估算出无理数的取值范围，再结合题干限制条件求出未知字母的值，侧重考查对基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 已知$a_{1}=1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}},a_{2}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}},a_{3}=1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}},···,a_{n}=1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}$，其中$n$为正整数，则$\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}+\sqrt{a_{3}}+···+\sqrt{a_{2025}}$的值是________。
答案：2.$2025\frac{2025}{2026}$
解析：
【分析】
本题要求多个二次根式的和，直接逐个计算运算量过大，因此解题思路分为两步：第一步先化简$\sqrt{a_n}$，观察$a_n$的代数式结构，将其变形为完全平方式，即可去掉根号简化$\sqrt{a_n}$的表达式；第二步将化简后的$\sqrt{a_n}$拆分为可裂项的形式，利用裂项相消法求和，抵消中间重复项后就能快速算出最终结果。
【解析】
首先化简$a_n$：
$\begin{aligned}a_n&=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}\\&=\frac{n^2(n+1)^2+(n+1)^2+n^2}{n^2(n+1)^2}\\&=\frac{n^2(n^2+2n+1)+n^2+2n+1+n^2}{n^2(n+1)^2}\\&=\frac{n^4+2n^3+n^2+2n^2+2n+1}{n^2(n+1)^2}\\&=\frac{(n^2+n+1)^2}{n^2(n+1)^2}\end{aligned}$
因为$n$是正整数，开根号取正值：
$\sqrt{a_n}=\frac{n^2+n+1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
接下来求和：
$\begin{aligned}&\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\dots+\sqrt{a_{2025}}\\=&(1+1-\frac{1}{2})+(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(1+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})\\=&2025 + (1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})\\=&2025 + (1-\frac{1}{2026})\\=&2025 + \frac{2025}{2026}\\=&2025\frac{2025}{2026}\end{aligned}$
【答案】
$2025\frac{2025}{2026}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式化简、裂项相消求和
【点评】
本题属于规律探究类计算题目，解题的核心是观察根号内代数式的结构，将其转化为完全平方形式实现二次根式的化简，再结合裂项相消法简化求和运算，能有效考查学生的式子变形能力和运算技巧。
【难度系数】
0.6
本题要求多个二次根式的和，直接逐个计算运算量过大，因此解题思路分为两步：第一步先化简$\sqrt{a_n}$，观察$a_n$的代数式结构，将其变形为完全平方式，即可去掉根号简化$\sqrt{a_n}$的表达式；第二步将化简后的$\sqrt{a_n}$拆分为可裂项的形式，利用裂项相消法求和，抵消中间重复项后就能快速算出最终结果。
【解析】
首先化简$a_n$：
$\begin{aligned}a_n&=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}\\&=\frac{n^2(n+1)^2+(n+1)^2+n^2}{n^2(n+1)^2}\\&=\frac{n^2(n^2+2n+1)+n^2+2n+1+n^2}{n^2(n+1)^2}\\&=\frac{n^4+2n^3+n^2+2n^2+2n+1}{n^2(n+1)^2}\\&=\frac{(n^2+n+1)^2}{n^2(n+1)^2}\end{aligned}$
因为$n$是正整数，开根号取正值：
$\sqrt{a_n}=\frac{n^2+n+1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
接下来求和：
$\begin{aligned}&\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\dots+\sqrt{a_{2025}}\\=&(1+1-\frac{1}{2})+(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(1+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})\\=&2025 + (1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})\\=&2025 + (1-\frac{1}{2026})\\=&2025 + \frac{2025}{2026}\\=&2025\frac{2025}{2026}\end{aligned}$
【答案】
$2025\frac{2025}{2026}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式化简、裂项相消求和
【点评】
本题属于规律探究类计算题目，解题的核心是观察根号内代数式的结构，将其转化为完全平方形式实现二次根式的化简，再结合裂项相消法简化求和运算，能有效考查学生的式子变形能力和运算技巧。
【难度系数】
0.6
3. 如图,等腰 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的斜边为 $AB$,$AB=AD$,$CD// AB$(点 $D$ 在点 $C$ 左侧),连接 $BD$,则$\dfrac{BD}{CD}$的值为________.
答案：3.$\sqrt{2}$
解析：
【分析】
我们可以用坐标法将几何问题转化为代数计算，符合八年级已学知识范畴。首先将AB放在x轴上设定参数，根据等腰直角三角形的性质确定C点坐标，再结合CD//AB、AD=AB的条件求出D点坐标，最后用勾股定理分别计算CD和BD的长度，即可求出二者的比值。
【解析】
1. 设$AB=2$，将AB放置在x轴上，令$A(0,0)$，$B(2,0)$。
2. 等腰$\mathrm{Rt}△ABC$斜边为AB，斜边上的高等于AB的一半，因此C点横坐标为AB中点的横坐标1，纵坐标为1，即$C(1,1)$。
3. 由于$CD// AB$，CD为水平线，D点纵坐标与C点相同为1，设$D(x,1)$，且D在C左侧，故$x＜1$。
4. 已知$AD=AB=2$，由勾股定理得$AD^2=x^2+1^2=2^2$，解得$x=-\sqrt{3}$（正值不符合x＜1的要求，舍去），即$D(-\sqrt{3},1)$。
5. 计算长度：$CD=1-(-\sqrt{3})=1+\sqrt{3}$；$BD=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2+(0-1)^2}=\sqrt{8+4\sqrt{3}}$。
6. 求比值：$(\frac{BD}{CD})^2=\frac{8+4\sqrt{3}}{(1+\sqrt{3})^2}=\frac{8+4\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}}=2$，由于长度为正，故$\frac{BD}{CD}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，勾股定理，平面直角坐标系应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，通过建立坐标系将几何关系转化为代数计算，避免了复杂的角度推导，是解决几何比值问题的常用思路，要求学生熟练掌握勾股定理和坐标系中点坐标的特征。
【难度系数】
0.6
我们可以用坐标法将几何问题转化为代数计算，符合八年级已学知识范畴。首先将AB放在x轴上设定参数，根据等腰直角三角形的性质确定C点坐标，再结合CD//AB、AD=AB的条件求出D点坐标，最后用勾股定理分别计算CD和BD的长度，即可求出二者的比值。
【解析】
1. 设$AB=2$，将AB放置在x轴上，令$A(0,0)$，$B(2,0)$。
2. 等腰$\mathrm{Rt}△ABC$斜边为AB，斜边上的高等于AB的一半，因此C点横坐标为AB中点的横坐标1，纵坐标为1，即$C(1,1)$。
3. 由于$CD// AB$，CD为水平线，D点纵坐标与C点相同为1，设$D(x,1)$，且D在C左侧，故$x＜1$。
4. 已知$AD=AB=2$，由勾股定理得$AD^2=x^2+1^2=2^2$，解得$x=-\sqrt{3}$（正值不符合x＜1的要求，舍去），即$D(-\sqrt{3},1)$。
5. 计算长度：$CD=1-(-\sqrt{3})=1+\sqrt{3}$；$BD=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2+(0-1)^2}=\sqrt{8+4\sqrt{3}}$。
6. 求比值：$(\frac{BD}{CD})^2=\frac{8+4\sqrt{3}}{(1+\sqrt{3})^2}=\frac{8+4\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}}=2$，由于长度为正，故$\frac{BD}{CD}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，勾股定理，平面直角坐标系应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，通过建立坐标系将几何关系转化为代数计算，避免了复杂的角度推导，是解决几何比值问题的常用思路，要求学生熟练掌握勾股定理和坐标系中点坐标的特征。
【难度系数】
0.6
4. 已知$\sqrt{x+2} + |y - 3| = 0$，且$\sqrt[3]{2 - 3z}$与$\sqrt[3]{4z - 3}$互为相反数，求$yz - x$的平方根。
答案：4. 解:因为 $\sqrt{x+2}+|y-3|=0$,
所以 $x+2=0,y-3=0$,所以 $x=-2,y=3$.
因为 $\sqrt[3]{2-3z}$与 $\sqrt[3]{4z-3}$互为相反数,
所以 $2-3z+4z-3=0$,所以 $z=1$,
所以 $yz-x=3×1-(-2)=5$.
因为 5 的平方根是$\pm\sqrt{5}$,所以 $yz-x$ 的平方根为$\pm\sqrt{5}$.
所以 $x+2=0,y-3=0$,所以 $x=-2,y=3$.
因为 $\sqrt[3]{2-3z}$与 $\sqrt[3]{4z-3}$互为相反数,
所以 $2-3z+4z-3=0$,所以 $z=1$,
所以 $yz-x=3×1-(-2)=5$.
因为 5 的平方根是$\pm\sqrt{5}$,所以 $yz-x$ 的平方根为$\pm\sqrt{5}$.
解析：
【分析】
解题时首先利用非负数的性质求解x和y：算术平方根和绝对值都具有非负性，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，据此列方程即可求出x、y的值；再根据立方根的性质，若两个数的立方根互为相反数，则这两个数本身也互为相反数，即两数之和为0，列方程求出z的值；最后将x、y、z代入yz-x计算出结果，再根据平方根的定义求出其平方根即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{x+2} + |y - 3| = 0$，且$\sqrt{x+2} ≥ 0$，$|y - 3| ≥ 0$，
∴ $x + 2 = 0$，$y - 3 = 0$，
解得 $x = -2$，$y = 3$。
∵ $\sqrt[3]{2 - 3z}$与$\sqrt[3]{4z - 3}$互为相反数，
∴ $2 - 3z + 4z - 3 = 0$，
解得 $z = 1$。
将$x=-2$、$y=3$、$z=1$代入得：
$yz - x = 3×1 - (-2) = 5$。
∵ $(\pm\sqrt{5})^2 = 5$，
∴ 5的平方根是$\pm\sqrt{5}$，即$yz - x$的平方根为$\pm\sqrt{5}$。
【答案】
$\pm\sqrt{5}$
【知识点】
非负数的性质；立方根的性质；平方根的定义
【点评】
本题属于基础综合题，将非负数性质、立方根与平方根的知识点结合考查，解题的关键是牢记相关性质，注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用非负数的性质求解x和y：算术平方根和绝对值都具有非负性，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，据此列方程即可求出x、y的值；再根据立方根的性质，若两个数的立方根互为相反数，则这两个数本身也互为相反数，即两数之和为0，列方程求出z的值；最后将x、y、z代入yz-x计算出结果，再根据平方根的定义求出其平方根即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{x+2} + |y - 3| = 0$，且$\sqrt{x+2} ≥ 0$，$|y - 3| ≥ 0$，
∴ $x + 2 = 0$，$y - 3 = 0$，
解得 $x = -2$，$y = 3$。
∵ $\sqrt[3]{2 - 3z}$与$\sqrt[3]{4z - 3}$互为相反数，
∴ $2 - 3z + 4z - 3 = 0$，
解得 $z = 1$。
将$x=-2$、$y=3$、$z=1$代入得：
$yz - x = 3×1 - (-2) = 5$。
∵ $(\pm\sqrt{5})^2 = 5$，
∴ 5的平方根是$\pm\sqrt{5}$，即$yz - x$的平方根为$\pm\sqrt{5}$。
【答案】
$\pm\sqrt{5}$
【知识点】
非负数的性质；立方根的性质；平方根的定义
【点评】
本题属于基础综合题，将非负数性质、立方根与平方根的知识点结合考查，解题的关键是牢记相关性质，注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7