1. 我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成. 如图,正方形 $ABCD$ 与正方形 $EFGH$ 是由四个全等的直角三角形拼成的,连接 $DF$. 若 $BG=4,EF=1$,则 $DF:AD$ 等于（
A.$\sqrt{17}:4$
B.$\sqrt{17}:5$
C.$\sqrt{15}:4$
D.$\sqrt{15}:5$
B
）A.$\sqrt{17}:4$
B.$\sqrt{17}:5$
C.$\sqrt{15}:4$
D.$\sqrt{15}:5$
答案：1.B
解析：
【分析】
首先利用赵爽弦图的性质：四个直角三角形全等，小正方形的边长等于直角三角形长直角边与短直角边的差。先设直角三角形短直角边为x，长直角边为y，结合已知EF=1、BG=4求出x、y的值，再用勾股定理求出大正方形边长AD，最后在Rt△DEF中用勾股定理求出DF的长度，计算两者比值即可。
【解析】
设全等直角三角形的短直角边长为x，长直角边长为y。
∵四边形EFGH是正方形，EF=1，
∴小正方形边长为1，即$ y - x = 1 $。
由赵爽弦图的性质可知，BG是直角三角形的长直角边，因此$ y = BG = 4 $，
代入$ y - x = 1 $得：$ x = 4 - 1 = 3 $。
大正方形ABCD的边AD是直角三角形的斜边，由勾股定理得：
$ AD = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $。
由赵爽弦图性质可知$ ∠ DEF = 90° $，且$ DE = BG = 4 $，EF=1，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
$ DF = \sqrt{DE^2 + EF^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17} $。
因此$ DF:AD = \sqrt{17}:5 $。
【答案】
B
【知识点】
赵爽弦图的性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，解题的核心是理清弦图中各线段的数量关系，找到对应直角三角形用勾股定理计算线段长度即可。
【难度系数】
0.7
首先利用赵爽弦图的性质：四个直角三角形全等，小正方形的边长等于直角三角形长直角边与短直角边的差。先设直角三角形短直角边为x，长直角边为y，结合已知EF=1、BG=4求出x、y的值，再用勾股定理求出大正方形边长AD，最后在Rt△DEF中用勾股定理求出DF的长度，计算两者比值即可。
【解析】
设全等直角三角形的短直角边长为x，长直角边长为y。
∵四边形EFGH是正方形，EF=1，
∴小正方形边长为1，即$ y - x = 1 $。
由赵爽弦图的性质可知，BG是直角三角形的长直角边，因此$ y = BG = 4 $，
代入$ y - x = 1 $得：$ x = 4 - 1 = 3 $。
大正方形ABCD的边AD是直角三角形的斜边，由勾股定理得：
$ AD = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $。
由赵爽弦图性质可知$ ∠ DEF = 90° $，且$ DE = BG = 4 $，EF=1，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
$ DF = \sqrt{DE^2 + EF^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17} $。
因此$ DF:AD = \sqrt{17}:5 $。
【答案】
B
【知识点】
赵爽弦图的性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，解题的核心是理清弦图中各线段的数量关系，找到对应直角三角形用勾股定理计算线段长度即可。
【难度系数】
0.7
2.“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现.如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成.若$AH⊥HF$，$BF=1$，则阴影部分$△ DHF$的面积为
$\frac{1}{2}$
.答案：2.$\frac{1}{2}$
解析：
【分析】
解题思路如下：1. 利用赵爽弦图中四个直角三角形全等的性质，可得对应短直角边相等，即$AE=BF=1$；2. 小正方形$EFGH$的内角为直角，因此$△ HEF$是等腰直角三角形，$∠ EHF=45°$；3. 结合$AH⊥ HF$，可得$∠ AHE=∠ AHF-∠ EHF=45°$，又$∠ AEH$是直角三角形的直角为$90°$，因此$△ AHE$是等腰直角三角形，得$EH=AE=1$，即小正方形边长$EF=1$；4. 由$∠ HAE=45°$可知$AH$在正方形$ABCD$的对角线$AC$上，$AC$是正方形的对称轴，点$B$与点$D$关于$AC$对称，因此$△ DHF$和$△ BHF$面积相等；5. 计算$△ BHF$的面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：$\because$大正方形$ABCD$由四个全等的直角三角形和小正方形$EFGH$组成，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF≌\mathrm{Rt}△ DAE$，$\therefore AE=BF=1$，且$∠ AEH=90°$。
$\because$四边形$EFGH$是正方形，
$\therefore EH=EF$，$∠ HEF=90°$，$\therefore △ HEF$是等腰直角三角形，$∠ EHF=45°$。
$\because AH⊥ HF$，$\therefore ∠ AHF=90°$，
$\therefore ∠ AHE=∠ AHF-∠ EHF=90°-45°=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ AHE$中，$∠ AHE=45°$，$\therefore △ AHE$是等腰直角三角形，
$\therefore EH=AE=1$，即小正方形边长$EF=EH=1$。
$\because ∠ HAE=45°$，正方形$ABCD$中$∠ BAC=45°$，
$\therefore$点$H$在对角线$AC$上，$AC$是正方形$ABCD$的对称轴，点$B$与点$D$关于$AC$对称，
$\therefore S_{△ DHF}=S_{△ BHF}$。
$\because ∠ BFE=90°$，即$BF⊥ EF$，
$\therefore S_{△ BHF}=\frac{1}{2}× BF× EF=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
$\therefore S_{△ DHF}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
赵爽弦图的性质，正方形的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题结合赵爽弦图考查正方形、全等三角形的相关性质，解题关键是通过角度关系推导点$H$的位置，利用对称性转化阴影部分面积，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 利用赵爽弦图中四个直角三角形全等的性质，可得对应短直角边相等，即$AE=BF=1$；2. 小正方形$EFGH$的内角为直角，因此$△ HEF$是等腰直角三角形，$∠ EHF=45°$；3. 结合$AH⊥ HF$，可得$∠ AHE=∠ AHF-∠ EHF=45°$，又$∠ AEH$是直角三角形的直角为$90°$，因此$△ AHE$是等腰直角三角形，得$EH=AE=1$，即小正方形边长$EF=1$；4. 由$∠ HAE=45°$可知$AH$在正方形$ABCD$的对角线$AC$上，$AC$是正方形的对称轴，点$B$与点$D$关于$AC$对称，因此$△ DHF$和$△ BHF$面积相等；5. 计算$△ BHF$的面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：$\because$大正方形$ABCD$由四个全等的直角三角形和小正方形$EFGH$组成，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF≌\mathrm{Rt}△ DAE$，$\therefore AE=BF=1$，且$∠ AEH=90°$。
$\because$四边形$EFGH$是正方形，
$\therefore EH=EF$，$∠ HEF=90°$，$\therefore △ HEF$是等腰直角三角形，$∠ EHF=45°$。
$\because AH⊥ HF$，$\therefore ∠ AHF=90°$，
$\therefore ∠ AHE=∠ AHF-∠ EHF=90°-45°=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ AHE$中，$∠ AHE=45°$，$\therefore △ AHE$是等腰直角三角形，
$\therefore EH=AE=1$，即小正方形边长$EF=EH=1$。
$\because ∠ HAE=45°$，正方形$ABCD$中$∠ BAC=45°$，
$\therefore$点$H$在对角线$AC$上，$AC$是正方形$ABCD$的对称轴，点$B$与点$D$关于$AC$对称，
$\therefore S_{△ DHF}=S_{△ BHF}$。
$\because ∠ BFE=90°$，即$BF⊥ EF$，
$\therefore S_{△ BHF}=\frac{1}{2}× BF× EF=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
$\therefore S_{△ DHF}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
赵爽弦图的性质，正方形的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题结合赵爽弦图考查正方形、全等三角形的相关性质，解题关键是通过角度关系推导点$H$的位置，利用对称性转化阴影部分面积，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
3.(1)如图①,在$3×3$的方格图中,画出面积为5的正方形;
(2)如图②,你能把5个小正方形组成的图形纸片剪开并拼成正方形吗?若能,画出剪拼示意图,并写出拼成的正方形的边长;
(3)如图③,你能把10个小正方形组成的图形纸片剪开并拼成正方形吗?若能,请写出拼成的正方形的边长.
(2)如图②,你能把5个小正方形组成的图形纸片剪开并拼成正方形吗?若能,画出剪拼示意图,并写出拼成的正方形的边长;
(3)如图③,你能把10个小正方形组成的图形纸片剪开并拼成正方形吗?若能,请写出拼成的正方形的边长.
答案：
3.解:(1)如答图①所示.
(2)如答图②所示,正方形的边长为$\sqrt{5}$.
(3)如答图③所示,正方形的边长为$\sqrt{10}$.
3.解:(1)如答图①所示.
(2)如答图②所示,正方形的边长为$\sqrt{5}$.
(3)如答图③所示,正方形的边长为$\sqrt{10}$.
解析：
【分析】
（1）要画面积为5的正方形，由正方形面积公式可知其边长为√5，根据勾股定理，直角边为1和2的直角三角形斜边长为√5，因此只需以该斜边为正方形的边，在3×3方格中连接对应顶点即可。
（2）5个小正方形的总面积为5，剪拼前后图形面积不变，因此拼成的正方形面积为5，可得边长为√5，按照边长为√5的线段剪裁原图形，再拼接即可得到正方形。
（3）10个小正方形的总面积为10，同理剪拼后正方形面积为10，由正方形面积公式即可算出边长为√10。
【解析】
（1）首先计算面积为5的正方形的边长：由$S=a^2=5$，得$a=\sqrt{5}$，根据勾股定理，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，因此在3×3方格中，选取互相垂直的两条长度为$\sqrt{5}$的线段为邻边，依次画出四条边长为$\sqrt{5}$的边，即可得到所求正方形。
（2）原图形共5个小正方形，每个小正方形面积为1，总面积为$5×1=5$，剪拼前后面积不变，因此拼成的正方形面积为5，边长为$\sqrt{5}$。
（3）原图形共10个小正方形，总面积为$10×1=10$，剪拼后正方形面积为10，因此边长为$\sqrt{10}$。
【答案】
(1)如答图①所示.
(2)如答图②所示,正方形的边长为$\sqrt{5}$.
(3)如答图③所示,正方形的边长为$\sqrt{10}$.
【知识点】
勾股定理的应用，图形剪拼，正方形面积计算
【点评】
本题结合方格纸和图形剪拼问题，考查了勾股定理的实际应用，解题核心是抓住剪拼前后图形面积不变的特点，利用勾股定理构造对应长度的线段，对学生的图形感知能力和动手操作能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
（1）要画面积为5的正方形，由正方形面积公式可知其边长为√5，根据勾股定理，直角边为1和2的直角三角形斜边长为√5，因此只需以该斜边为正方形的边，在3×3方格中连接对应顶点即可。
（2）5个小正方形的总面积为5，剪拼前后图形面积不变，因此拼成的正方形面积为5，可得边长为√5，按照边长为√5的线段剪裁原图形，再拼接即可得到正方形。
（3）10个小正方形的总面积为10，同理剪拼后正方形面积为10，由正方形面积公式即可算出边长为√10。
【解析】
（1）首先计算面积为5的正方形的边长：由$S=a^2=5$，得$a=\sqrt{5}$，根据勾股定理，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，因此在3×3方格中，选取互相垂直的两条长度为$\sqrt{5}$的线段为邻边，依次画出四条边长为$\sqrt{5}$的边，即可得到所求正方形。
（2）原图形共5个小正方形，每个小正方形面积为1，总面积为$5×1=5$，剪拼前后面积不变，因此拼成的正方形面积为5，边长为$\sqrt{5}$。
（3）原图形共10个小正方形，总面积为$10×1=10$，剪拼后正方形面积为10，因此边长为$\sqrt{10}$。
【答案】
(1)如答图①所示.
(2)如答图②所示,正方形的边长为$\sqrt{5}$.
(3)如答图③所示,正方形的边长为$\sqrt{10}$.
【知识点】
勾股定理的应用，图形剪拼，正方形面积计算
【点评】
本题结合方格纸和图形剪拼问题，考查了勾股定理的实际应用，解题核心是抓住剪拼前后图形面积不变的特点，利用勾股定理构造对应长度的线段，对学生的图形感知能力和动手操作能力有一定要求。
【难度系数】
0.7