1.如图是某公园内滑雪场U型池的示意图,该U型池可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成,它的横截面半圆的半径为$\frac{12}{π}$ m,其边缘$AB=CD=20$ m,点E在CD上,$CE=4$ m,一名滑雪爱好者从点A滑到点E,他滑行的最短路线长为
20
m.答案：1. 20
解析：
【分析】
求解立体图形表面的最短路径问题，需先将立体图形的侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定最短路径为两点连线，再通过勾股定理计算连线长度即可。本题中先将U型池的半圆柱侧面展开得到长方形，再定位A、E两点在展开图中的位置，最后代入勾股定理计算即可。
【解析】
将U型池的半个圆柱侧面展开，得到长方形：
1. 计算半圆弧长：已知半圆半径$r=\frac{12}{π}\ \mathrm{m}$，半圆弧长为$π r = π × \frac{12}{π}=12\ \mathrm{m}$，即展开后长方形的一条边长为12m。
2. 确定另一条直角边长度：已知$CD=20\ \mathrm{m}$，$CE=4\ \mathrm{m}$，可得$DE=CD-CE=20-4=16\ \mathrm{m}$。
3. 由两点之间线段最短，可知展开图中线段$AE$为最短滑行路线，$AE$为直角三角形的斜边，两条直角边分别为12m和16m，根据勾股定理：
$AE=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$。
【答案】
20
【知识点】
立体图形展开图，两点之间线段最短，勾股定理
【点评】
本题是立体表面最短路径的典型题型，核心解题思路是将空间问题转化为平面问题求解，需要熟练掌握圆柱侧面展开的特点及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
求解立体图形表面的最短路径问题，需先将立体图形的侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定最短路径为两点连线，再通过勾股定理计算连线长度即可。本题中先将U型池的半圆柱侧面展开得到长方形，再定位A、E两点在展开图中的位置，最后代入勾股定理计算即可。
【解析】
将U型池的半个圆柱侧面展开，得到长方形：
1. 计算半圆弧长：已知半圆半径$r=\frac{12}{π}\ \mathrm{m}$，半圆弧长为$π r = π × \frac{12}{π}=12\ \mathrm{m}$，即展开后长方形的一条边长为12m。
2. 确定另一条直角边长度：已知$CD=20\ \mathrm{m}$，$CE=4\ \mathrm{m}$，可得$DE=CD-CE=20-4=16\ \mathrm{m}$。
3. 由两点之间线段最短，可知展开图中线段$AE$为最短滑行路线，$AE$为直角三角形的斜边，两条直角边分别为12m和16m，根据勾股定理：
$AE=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$。
【答案】
20
【知识点】
立体图形展开图，两点之间线段最短，勾股定理
【点评】
本题是立体表面最短路径的典型题型，核心解题思路是将空间问题转化为平面问题求解，需要熟练掌握圆柱侧面展开的特点及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
2.(1)如图①,长方体的长为4 cm,宽为3 cm,高为12 cm. ①求该长方体中能放入木棒的最大长度;②现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处,求它爬行的最短路程.
(2)如图②,若将题中的长方体换成透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计),圆柱形容器的高为12 cm,底面周长为12 cm,在容器内壁离底部5 cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿1 cm与饭粒相对的点A处.求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程.
(2)如图②,若将题中的长方体换成透明圆柱形容器(容器厚度忽略不计),圆柱形容器的高为12 cm,底面周长为12 cm,在容器内壁离底部5 cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿1 cm与饭粒相对的点A处.求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程.
答案：
2.解:(1)①如答图①
,$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{cm}),$
$DF=\sqrt{BD^2+BF^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13(\mathrm{cm}),$即该长方体中能放入木棒的最大长度是13 cm.
②分以下三种情况讨论:如答图②
,当蚂蚁经过左侧面和上面时,$AG=\sqrt{(4+12)^2+3^2}=\sqrt{265}(\mathrm{cm}),$
如答图③
,当蚂蚁经过正面和上面时,$AG=\sqrt{(3+12)^2+4^2}=\sqrt{241}(\mathrm{cm}),$
如答图④
,当蚂蚁经过正面和右侧面时,$AG=\sqrt{(3+4)^2+12^2}=\sqrt{193}(\mathrm{cm}),$
$\because \sqrt{265} ＞ \sqrt{241} ＞ \sqrt{193} ,$
$\therefore$最短路程为$\sqrt{193}\ \mathrm{cm}.$
(2)如答图⑤,将容器沿侧面展开,作点A关于EF的对称点$A',$
由题意,得$A'D=6\ \mathrm{cm},BD=12-5+1=8(\mathrm{cm}),$
连接$A'B$,则$A'B$的长即为最短路程,
$\therefore A'B=\sqrt{A'D^2+BD^2}=10(\mathrm{cm}).$
2.解:(1)①如答图①
,$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{cm}),$$DF=\sqrt{BD^2+BF^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13(\mathrm{cm}),$即该长方体中能放入木棒的最大长度是13 cm.
②分以下三种情况讨论:如答图②
,当蚂蚁经过左侧面和上面时,$AG=\sqrt{(4+12)^2+3^2}=\sqrt{265}(\mathrm{cm}),$如答图③
,当蚂蚁经过正面和上面时,$AG=\sqrt{(3+12)^2+4^2}=\sqrt{241}(\mathrm{cm}),$如答图④
,当蚂蚁经过正面和右侧面时,$AG=\sqrt{(3+4)^2+12^2}=\sqrt{193}(\mathrm{cm}),$$\because \sqrt{265} ＞ \sqrt{241} ＞ \sqrt{193} ,$
$\therefore$最短路程为$\sqrt{193}\ \mathrm{cm}.$
(2)如答图⑤
,将容器沿侧面展开,作点A关于EF的对称点$A',$由题意,得$A'D=6\ \mathrm{cm},BD=12-5+1=8(\mathrm{cm}),$
连接$A'B$,则$A'B$的长即为最短路程,
$\therefore A'B=\sqrt{A'D^2+BD^2}=10(\mathrm{cm}).$
解析：
【分析】
(1)①求长方体内可放入木棒的最大长度，本质是求长方体的体对角线长度：先利用勾股定理计算底面矩形的对角线长度，再将该对角线与长方体的高作为直角边，再次用勾股定理即可求出体对角线，即木棒的最大长度。
②蚂蚁沿长方体表面爬行的最短路程，需将长方体相邻两个面展开为同一平面，根据“两点之间线段最短”，用勾股定理计算A、G两点的线段长度；由于共有3种不同的相邻面展开方式，需分别计算三种情况的线段长度，比较后得到最小值。
(2)圆柱表面的最短路径问题，先将圆柱侧面展开为长方形；因蚂蚁在容器外壁、饭粒在内壁，蚂蚁需先爬到容器上沿再进入内壁，故作点A关于容器上沿的对称点A'，将路径转化为A'到B的线段长度，结合已知条件用勾股定理计算即可得到最短路程。
【解析】
(1)①如答图①，先计算底面矩形的对角线BD：
在Rt△ABD中，AB=4cm，AD=3cm，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{cm})$
再在Rt△BDF中，BF为长方体的高12cm，由勾股定理得体对角线：
$DF=\sqrt{BD^2+BF^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13(\mathrm{cm})$
②分三种展开情况计算AG的长度：
情况1：蚂蚁经过左侧面和上面，展开如答图②，直角边分别为$(4+12)\mathrm{cm}$和$3\mathrm{cm}$：
$AG=\sqrt{(4+12)^2+3^2}=\sqrt{265}(\mathrm{cm})$
情况2：蚂蚁经过正面和上面，展开如答图③，直角边分别为$(3+12)\mathrm{cm}$和$4\mathrm{cm}$：
$AG=\sqrt{(3+12)^2+4^2}=\sqrt{241}(\mathrm{cm})$
情况3：蚂蚁经过正面和右侧面，展开如答图④，直角边分别为$(3+4)\mathrm{cm}$和$12\mathrm{cm}$：
$AG=\sqrt{(3+4)^2+12^2}=\sqrt{193}(\mathrm{cm})$
比较得$\sqrt{265}＞\sqrt{241}＞\sqrt{193}$，因此最短路程为$\sqrt{193}\ \mathrm{cm}$。
(2)如答图⑤，将圆柱侧面展开为长方形，作点A关于容器上沿EF的对称点$A'$，此时$A'B$的长度即为蚂蚁爬行的最短路程。
由题意得：圆柱底面周长为12cm，A、B相对，因此水平距离$A'D=\frac{12}{2}=6\ \mathrm{cm}$；
竖直方向：B离底部5cm，A离上沿1cm，因此竖直距离$BD=12-5+1=8(\mathrm{cm})$
在Rt△A'DB中，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{A'D^2+BD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{cm})$
【答案】
(1)①$\boxed{13\ \mathrm{cm}}$；②$\boxed{\sqrt{193}\ \mathrm{cm}}$；(2)$\boxed{10\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
勾股定理，立体图形展开，最短路径求解
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的经典题型，核心运用了“化立体为平面、化曲为直”的转化思想，将立体表面的路径问题转化为平面内两点间线段最短问题，再结合勾股定理计算求解。解题时需注意长方体展开的分类讨论，以及圆柱内外壁路径的对称转化，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1)①求长方体内可放入木棒的最大长度，本质是求长方体的体对角线长度：先利用勾股定理计算底面矩形的对角线长度，再将该对角线与长方体的高作为直角边，再次用勾股定理即可求出体对角线，即木棒的最大长度。
②蚂蚁沿长方体表面爬行的最短路程，需将长方体相邻两个面展开为同一平面，根据“两点之间线段最短”，用勾股定理计算A、G两点的线段长度；由于共有3种不同的相邻面展开方式，需分别计算三种情况的线段长度，比较后得到最小值。
(2)圆柱表面的最短路径问题，先将圆柱侧面展开为长方形；因蚂蚁在容器外壁、饭粒在内壁，蚂蚁需先爬到容器上沿再进入内壁，故作点A关于容器上沿的对称点A'，将路径转化为A'到B的线段长度，结合已知条件用勾股定理计算即可得到最短路程。
【解析】
(1)①如答图①
，先计算底面矩形的对角线BD：在Rt△ABD中，AB=4cm，AD=3cm，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{cm})$
再在Rt△BDF中，BF为长方体的高12cm，由勾股定理得体对角线：
$DF=\sqrt{BD^2+BF^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13(\mathrm{cm})$
②分三种展开情况计算AG的长度：
情况1：蚂蚁经过左侧面和上面，展开如答图②
，直角边分别为$(4+12)\mathrm{cm}$和$3\mathrm{cm}$：$AG=\sqrt{(4+12)^2+3^2}=\sqrt{265}(\mathrm{cm})$
情况2：蚂蚁经过正面和上面，展开如答图③
，直角边分别为$(3+12)\mathrm{cm}$和$4\mathrm{cm}$：$AG=\sqrt{(3+12)^2+4^2}=\sqrt{241}(\mathrm{cm})$
情况3：蚂蚁经过正面和右侧面，展开如答图④
，直角边分别为$(3+4)\mathrm{cm}$和$12\mathrm{cm}$：$AG=\sqrt{(3+4)^2+12^2}=\sqrt{193}(\mathrm{cm})$
比较得$\sqrt{265}＞\sqrt{241}＞\sqrt{193}$，因此最短路程为$\sqrt{193}\ \mathrm{cm}$。
(2)如答图⑤
，将圆柱侧面展开为长方形，作点A关于容器上沿EF的对称点$A'$，此时$A'B$的长度即为蚂蚁爬行的最短路程。由题意得：圆柱底面周长为12cm，A、B相对，因此水平距离$A'D=\frac{12}{2}=6\ \mathrm{cm}$；
竖直方向：B离底部5cm，A离上沿1cm，因此竖直距离$BD=12-5+1=8(\mathrm{cm})$
在Rt△A'DB中，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{A'D^2+BD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{cm})$
【答案】
(1)①$\boxed{13\ \mathrm{cm}}$；②$\boxed{\sqrt{193}\ \mathrm{cm}}$；(2)$\boxed{10\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
勾股定理，立体图形展开，最短路径求解
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的经典题型，核心运用了“化立体为平面、化曲为直”的转化思想，将立体表面的路径问题转化为平面内两点间线段最短问题，再结合勾股定理计算求解。解题时需注意长方体展开的分类讨论，以及圆柱内外壁路径的对称转化，避免漏解。
【难度系数】
0.6