1. 如图,正方形ABCD的边长为2,E是BC的中点,P是AC边上的一个动点,连接BP,EP,则$BP+EP$的最小值为________.
答案：1.$\sqrt{5}$
解析：
【分析】
本题属于最短路径中的“将军饮马”问题，解题核心是利用轴对称将折线段的和转化为两点之间的线段长度。首先观察到动点P在正方形的对角线AC上，正方形关于对角线AC对称，因此点B的对称点是点D，可将BP转化为与之相等的DP，此时BP+EP就转化为DP+EP，根据“两点之间线段最短”，当D、P、E三点共线时，DP+EP的和最小，最小值即为线段DE的长度，最后利用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线
∴ 点B与点D关于直线AC对称，因此BP=DP
∴ BP+EP = DP+EP
根据两点之间线段最短，当D、P、E三点共线时，DP+EP取得最小值，最小值为线段DE的长度
∵ 正方形边长为2，E是BC的中点
∴ DC=2，EC=½BC=1，∠C=90°
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
DE = √(DC² + EC²) = √(2² + 1²) = √5
故BP+EP的最小值为√5。
【答案】
√5
【知识点】
将军饮马模型；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是最短路径问题的经典考法，解题关键是利用图形的轴对称性实现线段的等量转化，将折线段和的最值问题转化为两点之间的线段长度计算，再结合勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
本题属于最短路径中的“将军饮马”问题，解题核心是利用轴对称将折线段的和转化为两点之间的线段长度。首先观察到动点P在正方形的对角线AC上，正方形关于对角线AC对称，因此点B的对称点是点D，可将BP转化为与之相等的DP，此时BP+EP就转化为DP+EP，根据“两点之间线段最短”，当D、P、E三点共线时，DP+EP的和最小，最小值即为线段DE的长度，最后利用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线
∴ 点B与点D关于直线AC对称，因此BP=DP
∴ BP+EP = DP+EP
根据两点之间线段最短，当D、P、E三点共线时，DP+EP取得最小值，最小值为线段DE的长度
∵ 正方形边长为2，E是BC的中点
∴ DC=2，EC=½BC=1，∠C=90°
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
DE = √(DC² + EC²) = √(2² + 1²) = √5
故BP+EP的最小值为√5。
【答案】
√5
【知识点】
将军饮马模型；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是最短路径问题的经典考法，解题关键是利用图形的轴对称性实现线段的等量转化，将折线段和的最值问题转化为两点之间的线段长度计算，再结合勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在长方形ABCD中,AB=15,AD=8,E,F分别是AB和DC上的两个动点,M为BC的中点,则$DE+EF+FM$的最小值是
25
.答案：
2. 25 点拨:作点 D 关于AB 的对称点 D',作点 M 关于CD的对称点 M',连接 D'M',D'E,FM',则 DE+EF+FM=D'E+EF+FM',
∴当点 D',E,F,M'在同一条直线上时,所求的 DE+EF+FM 最小,最小值即为 D'M'的长. 过点M'作 AD 的垂线,交 AD 的延长线于点 H,
∴HM'=AB=15.
∵M 为 BC 的中点,AD=BC=8,
∴MC=CM'=DH=4,AD'=AD=8,
∴HD'=20,
∴D'M'=$\sqrt{HD'^2+HM'^2}$=$\sqrt{20^2+15^2}=25$,
∴DE+EF+FM 的最小值是 25.
2. 25 点拨:作点 D 关于AB 的对称点 D',作点 M 关于CD的对称点 M',连接 D'M',D'E,FM',则 DE+EF+FM=D'E+EF+FM',
∴当点 D',E,F,M'在同一条直线上时,所求的 DE+EF+FM 最小,最小值即为 D'M'的长. 过点M'作 AD 的垂线,交 AD 的延长线于点 H,
∴HM'=AB=15.
∵M 为 BC 的中点,AD=BC=8,
∴MC=CM'=DH=4,AD'=AD=8,
∴HD'=20,
∴D'M'=$\sqrt{HD'^2+HM'^2}$=$\sqrt{20^2+15^2}=25$,
∴DE+EF+FM 的最小值是 25.
解析：
【分析】
本题属于最短路径类问题，解题核心是利用轴对称将折线段的和转化为可直接计算的直线段长度。首先观察到DE、EF、FM是三条首尾相连的折线段，动点E在AB上、F在DC上，因此我们通过作对称点替换等长线段：作点D关于AB的对称点D'，可得DE=D'E；作点M关于DC的对称点M'，可得FM=FM'，此时DE+EF+FM转化为D'E+EF+FM'。根据“两点之间线段最短”，当D'、E、F、M'四点共线时，三条线段的和最小，最小值就是线段D'M'的长度，最后构造直角三角形用勾股定理计算D'M'即可。
【解析】
解：作点D关于AB的对称点D'，作点M关于CD的对称点M'，连接D'M'、D'E、FM'。
根据轴对称的性质可知：$DE=D'E$，$FM=FM'$，因此$DE+EF+FM = D'E+EF+FM'$。
根据两点之间线段最短，当点D'、E、F、M'共线时，$DE+EF+FM$的值最小，最小值为线段$D'M'$的长度。
过点M'作AD的垂线，交AD的延长线于点H，易知四边形AHM'B为长方形，因此$HM'=AB=15$。
∵M是BC的中点，$AD=BC=8$，
∴$MC=4$，由对称性质得$CM'=MC=4$，即$DH=CM'=4$。
又由对称性质得$AD'=AD=8$，因此$HD'=AD'+AD+DH=8+8+4=20$。
在$Rt△ D'HM'$中，由勾股定理得：
$D'M'=\sqrt{HD'^2+HM'^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{625}=25$。
【答案】
25
【知识点】
将军饮马模型、轴对称的性质、勾股定理
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，通过轴对称将折线段和的最值转化为两点间线段长度，结合勾股定理求解，考查了几何模型识别能力和转化思想。
【难度系数】
0.6
本题属于最短路径类问题，解题核心是利用轴对称将折线段的和转化为可直接计算的直线段长度。首先观察到DE、EF、FM是三条首尾相连的折线段，动点E在AB上、F在DC上，因此我们通过作对称点替换等长线段：作点D关于AB的对称点D'，可得DE=D'E；作点M关于DC的对称点M'，可得FM=FM'，此时DE+EF+FM转化为D'E+EF+FM'。根据“两点之间线段最短”，当D'、E、F、M'四点共线时，三条线段的和最小，最小值就是线段D'M'的长度，最后构造直角三角形用勾股定理计算D'M'即可。
【解析】
解：作点D关于AB的对称点D'，作点M关于CD的对称点M'，连接D'M'、D'E、FM'。
根据轴对称的性质可知：$DE=D'E$，$FM=FM'$，因此$DE+EF+FM = D'E+EF+FM'$。
根据两点之间线段最短，当点D'、E、F、M'共线时，$DE+EF+FM$的值最小，最小值为线段$D'M'$的长度。
过点M'作AD的垂线，交AD的延长线于点H，易知四边形AHM'B为长方形，因此$HM'=AB=15$。
∵M是BC的中点，$AD=BC=8$，
∴$MC=4$，由对称性质得$CM'=MC=4$，即$DH=CM'=4$。
又由对称性质得$AD'=AD=8$，因此$HD'=AD'+AD+DH=8+8+4=20$。
在$Rt△ D'HM'$中，由勾股定理得：
$D'M'=\sqrt{HD'^2+HM'^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{625}=25$。
【答案】
25
【知识点】
将军饮马模型、轴对称的性质、勾股定理
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，通过轴对称将折线段和的最值转化为两点间线段长度，结合勾股定理求解，考查了几何模型识别能力和转化思想。
【难度系数】
0.6
3. 如图，$C$为线段$BD$上一动点，分别过点$B,D$作$AB⊥ BD$，$ED⊥ BD$，连接$AC,EC$，已知$AB=5$，$DE=1$，$BD=8$，设$CD=x$.
(1)用含$x$的代数式表示$AC+CE$的长为$\underline{\hspace{10cm}}$；
(2)利用图形探究，$AC+CE$的最小值为$\underline{\hspace{3cm}}$；
(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$的最小值.（画图，并写出计算过程）
(1)用含$x$的代数式表示$AC+CE$的长为$\underline{\hspace{10cm}}$；
(2)利用图形探究，$AC+CE$的最小值为$\underline{\hspace{3cm}}$；
(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$的最小值.（画图，并写出计算过程）
答案：
3. (1)$\sqrt{(8-x)^2+25}+\sqrt{x^2+1}$
(2)10
(3)解:如答图所示,作 BD=12,过点 B 作 AB⊥BD,过点 D作 ED⊥BD,使 AB=2,ED=3,
连接 AE 交 BD 于点 C,设 BC=x,则 AE 的长即为代数式$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$的最小值.
过点 A 作 AF//BD 交 ED 的延长线于点 F,得矩形 ABDF,
则 AB=DF=2,AF=BD=12,EF=ED+DF=3+2=5,
所以 AE=$\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$,
即$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$的最小值为 13.
3. (1)$\sqrt{(8-x)^2+25}+\sqrt{x^2+1}$
(2)10
(3)解:如答图所示,作 BD=12,过点 B 作 AB⊥BD,过点 D作 ED⊥BD,使 AB=2,ED=3,
连接 AE 交 BD 于点 C,设 BC=x,则 AE 的长即为代数式$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$的最小值.
过点 A 作 AF//BD 交 ED 的延长线于点 F,得矩形 ABDF,
则 AB=DF=2,AF=BD=12,EF=ED+DF=3+2=5,
所以 AE=$\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$,
即$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$的最小值为 13.
解析：
【分析】
(1) 第一问可结合勾股定理求解：先根据BD的长度和CD=x求出BC的长度，再分别在Rt△ABC和Rt△CDE中用勾股定理表示AC、CE的长度，相加即可得到AC+CE的表达式。
(2) 第二问求线段和的最小值，依据两点之间线段最短，当A、C、E三点共线时AC+CE取最小值，此时通过构造直角三角形，用勾股定理计算共线时线段AE的长度即可。
(3) 第三问类比前两问的模型：将两个根号分别对应两个直角三角形的斜边，$\sqrt{x^2+4}$对应直角边为x、2的直角三角形斜边，$\sqrt{(12-x)^2+9}$对应直角边为$12-x$、3的直角三角形斜边，仿照题干构图方法构造图形，再用勾股定理计算最小值即可。
【解析】
(1) $\because BD=8$，$CD=x$，$\therefore BC=8-x$。
$\because AB⊥ BD$，$ED⊥ BD$，$\therefore △ ABC$和$△ CDE$均为直角三角形。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{(8-x)^2+5^2}=\sqrt{(8-x)^2+25}$，$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{x^2+1^2}=\sqrt{x^2+1}$，
$\therefore AC+CE=\sqrt{(8-x)^2+25}+\sqrt{x^2+1}$。
(2) 当A、C、E三点共线时，$AC+CE$的值最小，等于线段AE的长度。
过点E作$EF⊥ AB$，交AB的延长线于点F，则四边形BDEF为矩形，
$\therefore EF=BD=8$，$BF=DE=1$，$\therefore AF=AB+BF=5+1=6$。
在$Rt△ AEF$中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
即$AC+CE$的最小值为10。
(3) 构图：作线段$BD=12$，过点B作$AB⊥ BD$，过点D作$ED⊥ BD$，使$AB=2$，$ED=3$，连接AE交BD于点C，设$BC=x$，则$CD=12-x$，此时AE的长即为代数式$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$的最小值。
过点A作$AF// BD$交ED的延长线于点F，可得矩形ABDF，
$\therefore AB=DF=2$，$AF=BD=12$，$\therefore EF=ED+DF=3+2=5$。
在$Rt△ AEF$中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$，
即代数式的最小值为13。
【答案】
(1) $\sqrt{(8-x)^2+25}+\sqrt{x^2+1}$
(2) $10$
(3) 最小值为$\boldsymbol{13}$，构图见
【知识点】
勾股定理，最短路径问题，数形结合思想
【点评】
本题以将军饮马模型为载体，将代数式最值问题与几何线段长度求解相结合，既考查了勾股定理的应用，也考查了类比建模的能力，解题的关键是根据根号的形式对应构造直角三角形，将代数问题转化为几何问题求解。
【难度系数】
0.5
(1) 第一问可结合勾股定理求解：先根据BD的长度和CD=x求出BC的长度，再分别在Rt△ABC和Rt△CDE中用勾股定理表示AC、CE的长度，相加即可得到AC+CE的表达式。
(2) 第二问求线段和的最小值，依据两点之间线段最短，当A、C、E三点共线时AC+CE取最小值，此时通过构造直角三角形，用勾股定理计算共线时线段AE的长度即可。
(3) 第三问类比前两问的模型：将两个根号分别对应两个直角三角形的斜边，$\sqrt{x^2+4}$对应直角边为x、2的直角三角形斜边，$\sqrt{(12-x)^2+9}$对应直角边为$12-x$、3的直角三角形斜边，仿照题干构图方法构造图形，再用勾股定理计算最小值即可。
【解析】
(1) $\because BD=8$，$CD=x$，$\therefore BC=8-x$。
$\because AB⊥ BD$，$ED⊥ BD$，$\therefore △ ABC$和$△ CDE$均为直角三角形。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{(8-x)^2+5^2}=\sqrt{(8-x)^2+25}$，$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{x^2+1^2}=\sqrt{x^2+1}$，
$\therefore AC+CE=\sqrt{(8-x)^2+25}+\sqrt{x^2+1}$。
(2) 当A、C、E三点共线时，$AC+CE$的值最小，等于线段AE的长度。
过点E作$EF⊥ AB$，交AB的延长线于点F，则四边形BDEF为矩形，
$\therefore EF=BD=8$，$BF=DE=1$，$\therefore AF=AB+BF=5+1=6$。
在$Rt△ AEF$中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
即$AC+CE$的最小值为10。
(3) 构图：作线段$BD=12$，过点B作$AB⊥ BD$，过点D作$ED⊥ BD$，使$AB=2$，$ED=3$，连接AE交BD于点C，设$BC=x$，则$CD=12-x$，此时AE的长即为代数式$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$的最小值。
过点A作$AF// BD$交ED的延长线于点F，可得矩形ABDF，
$\therefore AB=DF=2$，$AF=BD=12$，$\therefore EF=ED+DF=3+2=5$。
在$Rt△ AEF$中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$，
即代数式的最小值为13。
【答案】
(1) $\sqrt{(8-x)^2+25}+\sqrt{x^2+1}$
(2) $10$
(3) 最小值为$\boldsymbol{13}$，构图见
【知识点】
勾股定理，最短路径问题，数形结合思想
【点评】
本题以将军饮马模型为载体，将代数式最值问题与几何线段长度求解相结合，既考查了勾股定理的应用，也考查了类比建模的能力，解题的关键是根据根号的形式对应构造直角三角形，将代数问题转化为几何问题求解。
【难度系数】
0.5