1.为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为$ x $轴，$ y $轴的正方向，点$ A $的坐标为$(1,-1)$，点$ B $的坐标为$(3,2)$，则其他点的坐标正确的是 （
A.$ C(-1,0) $
B.$ D(-3,1) $
C.$ E(-2,-5) $
D.$ F(5,2) $
B
）A.$ C(-1,0) $
B.$ D(-3,1) $
C.$ E(-2,-5) $
D.$ F(5,2) $
答案：1.B
解析：
【分析】
解题首先需要根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点位置：已知坐标系以正东为x轴正方向、正北为y轴正方向，点A坐标为$(1,-1)$，说明原点在点A的正西（左侧）1个单位、正北（上方）1个单位的位置。确定原点后，每个网格边长代表1个单位长度，再依次计算各选项对应点的坐标，和选项内容对比即可选出正确答案。
【解析】
1. 确定原点位置：已知点$A(1,-1)$，x轴正方向向右、y轴正方向向上，因此原点$(0,0)$的位置为点A向左平移1个单位、向上平移1个单位的网格交点处。
2. 验证坐标系：点$B$坐标为$(3,2)$，从原点向右平移3个单位、向上平移2个单位恰好到达点B位置，说明坐标系建立正确，每个网格边长为1个单位长度。
3. 逐一判断选项：
A选项：点C的坐标为$(2,0)$，与选项中$(-1,0)$不符，错误；
B选项：点D的坐标为$(-3,1)$，与选项表述一致，正确；
C选项：点E的坐标为$(-2,-2)$，与选项中$(-2,-5)$不符，错误；
D选项：点F的坐标为$(5,-1)$，与选项中$(5,2)$不符，错误。
【答案】
B
【知识点】
平面直角坐标系；点的坐标表示
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定方法，解题核心是先根据已知点坐标找准原点位置，再结合坐标轴正方向判断其余点的坐标，属于坐标类基础题型。
【难度系数】
0.7
解题首先需要根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点位置：已知坐标系以正东为x轴正方向、正北为y轴正方向，点A坐标为$(1,-1)$，说明原点在点A的正西（左侧）1个单位、正北（上方）1个单位的位置。确定原点后，每个网格边长代表1个单位长度，再依次计算各选项对应点的坐标，和选项内容对比即可选出正确答案。
【解析】
1. 确定原点位置：已知点$A(1,-1)$，x轴正方向向右、y轴正方向向上，因此原点$(0,0)$的位置为点A向左平移1个单位、向上平移1个单位的网格交点处。
2. 验证坐标系：点$B$坐标为$(3,2)$，从原点向右平移3个单位、向上平移2个单位恰好到达点B位置，说明坐标系建立正确，每个网格边长为1个单位长度。
3. 逐一判断选项：
A选项：点C的坐标为$(2,0)$，与选项中$(-1,0)$不符，错误；
B选项：点D的坐标为$(-3,1)$，与选项表述一致，正确；
C选项：点E的坐标为$(-2,-2)$，与选项中$(-2,-5)$不符，错误；
D选项：点F的坐标为$(5,-1)$，与选项中$(5,2)$不符，错误。
【答案】
B
【知识点】
平面直角坐标系；点的坐标表示
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定方法，解题核心是先根据已知点坐标找准原点位置，再结合坐标轴正方向判断其余点的坐标，属于坐标类基础题型。
【难度系数】
0.7
2.小明去A市旅游,在从景点回酒店的路上迷路了,他连续问了3人,得到3种回答:
甲:你住的酒店在这儿的东面;
乙:从这儿到你住的酒店大约要走两站路;
丙:你从这儿往东走,大约走两站路的距离就是你住的酒店.
你认为
甲:你住的酒店在这儿的东面;
乙:从这儿到你住的酒店大约要走两站路;
丙:你从这儿往东走,大约走两站路的距离就是你住的酒店.
你认为
丙
的回答能帮助小明准确找到所住的酒店.答案：2.丙
解析：
【分析】
要准确找到酒店的位置，首先要明确：在平面内确定一个地点的具体位置，必须同时具备方向和距离两个条件，二者缺一不可。我们只需要分别判断三个人的回答是否同时包含这两个条件，就能得出正确结论。
【解析】
平面内确定一个点的准确位置，需要同时给出方向和距离两个信息：
1. 甲的回答仅给出了酒店在当前位置的东面，只有方向没有距离，无法确定酒店的具体位置；
2. 乙的回答仅给出了到酒店需要走两站路，只有距离没有方向，也无法确定酒店的具体位置；
3. 丙的回答既说明了行走方向是往东，又说明了行走距离是大约两站路，同时满足确定位置的两个条件，可以帮助小明准确找到酒店。
【答案】
丙
【知识点】
位置的确定
【点评】
本题结合生活中问路的实际场景，考查了确定位置所需的必要条件，体现了数学知识在生活中的实用性，易于理解。
【难度系数】
0.9
要准确找到酒店的位置，首先要明确：在平面内确定一个地点的具体位置，必须同时具备方向和距离两个条件，二者缺一不可。我们只需要分别判断三个人的回答是否同时包含这两个条件，就能得出正确结论。
【解析】
平面内确定一个点的准确位置，需要同时给出方向和距离两个信息：
1. 甲的回答仅给出了酒店在当前位置的东面，只有方向没有距离，无法确定酒店的具体位置；
2. 乙的回答仅给出了到酒店需要走两站路，只有距离没有方向，也无法确定酒店的具体位置；
3. 丙的回答既说明了行走方向是往东，又说明了行走距离是大约两站路，同时满足确定位置的两个条件，可以帮助小明准确找到酒店。
【答案】
丙
【知识点】
位置的确定
【点评】
本题结合生活中问路的实际场景，考查了确定位置所需的必要条件，体现了数学知识在生活中的实用性，易于理解。
【难度系数】
0.9
3. 对于平面直角坐标系 $xOy$ 中的点 $A(x,y)$，给出如下定义，若存在点 $B(x\pm a,y\pm a)$（$a$ 为正数），则称点 $B$ 为点 $A$ 的等距点. 例如，如图，对于点 $A(1,1)$，存在点 $B(3,3)$，$C(-1,3)$，$D(-1,-1)$，$E(3,-1)$，则点 $B,C,D,E$ 均为点 $A$ 的等距点.
(1)若点 $A$ 的坐标是 $(0,1)$，写出 $a=4$ 时，点 $A$ 在第一象限的等距点的坐标.
(2)若点 $A$ 的等距点 $B$ 的坐标是 $(-3,1)$，求点 $A$ 的横、纵坐标相同时，点 $A$ 的坐标.
(3)是否存在适当的 $a$ 值，使将某个点 $A(x,y)$ 的所有等距点用线段依次连接起来所得到的图形的周长不大于 $\frac{25}{4}$？若不存在，请说明理由；若存在，请求出 $a$ 的取值范围.
(1)若点 $A$ 的坐标是 $(0,1)$，写出 $a=4$ 时，点 $A$ 在第一象限的等距点的坐标.
(2)若点 $A$ 的等距点 $B$ 的坐标是 $(-3,1)$，求点 $A$ 的横、纵坐标相同时，点 $A$ 的坐标.
(3)是否存在适当的 $a$ 值，使将某个点 $A(x,y)$ 的所有等距点用线段依次连接起来所得到的图形的周长不大于 $\frac{25}{4}$？若不存在，请说明理由；若存在，请求出 $a$ 的取值范围.
答案：3.解:(1)点 A 的坐标是(0,1),a=4,则点 A 的等距点为
(0+4,1+4),(0+4,1-4),(0-4,1+4),(0-4,1-4),
即(4,5),(4,-3),(-4,5),(-4,-3),
∴当 a=4 时,点 A 在第一象限的等距点的坐标为(4,5).
(2)
∵a 是正数,点 A 的横、纵坐标相同,
∴-3+a=1-a,解得 a=2,
∴点 A 的坐标为(-1,-1).
(3)存在. 点 A(x,y) 的所有等距点的坐标分别为(x+a,y+a),(x+a,y-a),(x-a,y+a),(x-a,y-a),
则所有等距点用线段依次连接起来所得到的图形的周长为 8a,由题意,得 0＜8a≤$\frac{25}{4}$,解得 0＜a≤$\frac{25}{32}$.
(0+4,1+4),(0+4,1-4),(0-4,1+4),(0-4,1-4),
即(4,5),(4,-3),(-4,5),(-4,-3),
∴当 a=4 时,点 A 在第一象限的等距点的坐标为(4,5).
(2)
∵a 是正数,点 A 的横、纵坐标相同,
∴-3+a=1-a,解得 a=2,
∴点 A 的坐标为(-1,-1).
(3)存在. 点 A(x,y) 的所有等距点的坐标分别为(x+a,y+a),(x+a,y-a),(x-a,y+a),(x-a,y-a),
则所有等距点用线段依次连接起来所得到的图形的周长为 8a,由题意,得 0＜8a≤$\frac{25}{4}$,解得 0＜a≤$\frac{25}{32}$.
解析：
【分析】
本题为平面直角坐标系下的新定义题型，解题核心是先准确理解“等距点”的定义：点$A(x,y)$的等距点为$(x+a,y+a)$、$(x+a,y-a)$、$(x-a,y+a)$、$(x-a,y-a)$（$a$为正数）。
(1) 先根据定义写出$a=4$时点$A(0,1)$的所有等距点，再结合第一象限内点的横、纵坐标均为正的特征筛选即可。
(2) 设点$A$的坐标为$(t,t)$（因横、纵坐标相同），根据等距点的坐标关系可知，$B$的横、纵坐标分别对应$t\pm a$，联立等式求解$a$和$t$即可得到$A$的坐标。
(3) 先写出点$A$的4个等距点坐标，观察可知依次连接后是边长为$2a$的正方形，计算出周长为$8a$，再根据周长不大于$\frac{25}{4}$列不等式求解，注意$a$为正数的隐含条件。
【解析】
(1) 已知点$A$坐标为$(0,1)$，$a=4$，根据等距点定义，所有等距点为：
$(0+4,1+4)=(4,5)$，$(0+4,1-4)=(4,-3)$，$(0-4,1+4)=(-4,5)$，$(0-4,1-4)=(-4,-3)$
第一象限内的点横、纵坐标均大于0，符合条件的是$(4,5)$。
(2) 设点$A$的坐标为$(t,t)$（点$A$横、纵坐标相同），点$B(-3,1)$是$A$的等距点，因此存在正数$a$使得$t\pm a=-3$且$t\pm a=1$，结合$a＞0$可得：$-3+a=1-a$，解得$a=2$，代入得$t=-3+2=-1$，故点$A$坐标为$(-1,-1)$。
(3) 存在，理由如下：
点$A(x,y)$的所有等距点为$(x+a,y+a)$、$(x+a,y-a)$、$(x-a,y+a)$、$(x-a,y-a)$，依次连接四点得到的图形是边长为$2a$的正方形，其周长为$4×2a=8a$。
根据题意周长不大于$\frac{25}{4}$，且$a$为正数，列不等式：
$0＜8a≤\frac{25}{4}$
解得$0＜a≤\frac{25}{32}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(4,5)}$
(2) $\boldsymbol{(-1,-1)}$
(3) 存在，$\boldsymbol{0＜a≤\frac{25}{32}}$
【知识点】
新定义理解，点的坐标特征，一元一次不等式应用
【点评】
本题围绕新定义“等距点”展开考查，需要先吃透定义内容，再结合平面直角坐标系的坐标性质、图形周长计算和不等式求解逐步作答，能有效考查知识迁移应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
本题为平面直角坐标系下的新定义题型，解题核心是先准确理解“等距点”的定义：点$A(x,y)$的等距点为$(x+a,y+a)$、$(x+a,y-a)$、$(x-a,y+a)$、$(x-a,y-a)$（$a$为正数）。
(1) 先根据定义写出$a=4$时点$A(0,1)$的所有等距点，再结合第一象限内点的横、纵坐标均为正的特征筛选即可。
(2) 设点$A$的坐标为$(t,t)$（因横、纵坐标相同），根据等距点的坐标关系可知，$B$的横、纵坐标分别对应$t\pm a$，联立等式求解$a$和$t$即可得到$A$的坐标。
(3) 先写出点$A$的4个等距点坐标，观察可知依次连接后是边长为$2a$的正方形，计算出周长为$8a$，再根据周长不大于$\frac{25}{4}$列不等式求解，注意$a$为正数的隐含条件。
【解析】
(1) 已知点$A$坐标为$(0,1)$，$a=4$，根据等距点定义，所有等距点为：
$(0+4,1+4)=(4,5)$，$(0+4,1-4)=(4,-3)$，$(0-4,1+4)=(-4,5)$，$(0-4,1-4)=(-4,-3)$
第一象限内的点横、纵坐标均大于0，符合条件的是$(4,5)$。
(2) 设点$A$的坐标为$(t,t)$（点$A$横、纵坐标相同），点$B(-3,1)$是$A$的等距点，因此存在正数$a$使得$t\pm a=-3$且$t\pm a=1$，结合$a＞0$可得：$-3+a=1-a$，解得$a=2$，代入得$t=-3+2=-1$，故点$A$坐标为$(-1,-1)$。
(3) 存在，理由如下：
点$A(x,y)$的所有等距点为$(x+a,y+a)$、$(x+a,y-a)$、$(x-a,y+a)$、$(x-a,y-a)$，依次连接四点得到的图形是边长为$2a$的正方形，其周长为$4×2a=8a$。
根据题意周长不大于$\frac{25}{4}$，且$a$为正数，列不等式：
$0＜8a≤\frac{25}{4}$
解得$0＜a≤\frac{25}{32}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(4,5)}$
(2) $\boldsymbol{(-1,-1)}$
(3) 存在，$\boldsymbol{0＜a≤\frac{25}{32}}$
【知识点】
新定义理解，点的坐标特征，一元一次不等式应用
【点评】
本题围绕新定义“等距点”展开考查，需要先吃透定义内容，再结合平面直角坐标系的坐标性质、图形周长计算和不等式求解逐步作答，能有效考查知识迁移应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65