【分析】
解题思路如下：①首先根据旋转的性质，明确旋转前后对应边长度相等、三角形面积不变，先求出AB的长度；②由A'B'平行于x轴，可知A'和B'的纵坐标相同，利用三角形面积相等求出该纵坐标的值；③再用勾股定理求出A'到y轴的水平距离；④最后结合B'在第一象限的条件，确定A'横坐标的符号，最终得到A'的坐标。
【解析】
1. 由旋转性质可知：$OA'=OA=3$，$OB'=OB=4$，$A'B'=AB$，$S_{△ A'OB'}=S_{△ AOB}$。
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，故$A'B'=5$。
2. 因为$A'B'// x$轴，所以$A'$、$B'$两点纵坐标相等，设为$h$，过点$O$作$OC⊥ A'B'$于点$C$，则$OC=h$。
由三角形面积公式：$S_{△ A'OB'}=\frac{1}{2}× A'B'× h = S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB$，代入数值：
$\frac{1}{2}×5h=\frac{1}{2}×3×4$，解得$h=\frac{12}{5}$，即$A'$的纵坐标为$\frac{12}{5}$。
3. 在$Rt△ OA'C$中，由勾股定理得：$|x_{A'}|=\sqrt{OA'^2 - OC^2}=\sqrt{3^2 - (\frac{12}{5})^2}=\sqrt{9-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$。
同理可求得$B'$到y轴的水平距离为$\sqrt{OB'^2 - OC^2}=\sqrt{4^2 - (\frac{12}{5})^2}=\frac{16}{5}$，因为$B'$在第一象限，故$B'$的横坐标为$\frac{16}{5}$。
4. 因为$A'B'=5=\frac{25}{5}$，所以$A'$的横坐标为$\frac{16}{5}-\frac{25}{5}=-\frac{9}{5}$，故$A'$的坐标为$(-\frac{9}{5},\frac{12}{5})$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；勾股定理；坐标与图形性质
【点评】
本题解题核心是抓住旋转前后图形的不变量，结合平行线的坐标特点用面积法快速求出纵坐标，再通过勾股定理和点的位置确定横坐标，解题时要注意坐标符号的判断，避免符号错误。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题可根据平移的性质求解：线段平移时，线段上所有对应点的横坐标变化量相同，纵坐标变化量也相同。首先通过已知点A、A₁的纵坐标差和点B、B₁的横坐标差，确定平移的方向和单位长度，再据此计算a、b的值，最后代入代数式计算结果即可。
【解析】
解：已知点A(0,2)平移后得到A₁(a,3)，点B(3,0)平移后得到B₁(5,b)。
1. 求平移规律：
纵坐标变化量：$3-2=1$，说明线段向上平移了1个单位；
横坐标变化量：$5-3=2$，说明线段向右平移了2个单位。
即平移规则为：所有点横坐标加2，纵坐标加1。
2. 计算a、b的值：
$a=0+2=2$，
$b=0+1=1$。
3. 计算代数式的值：
$a^2 + b^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
1. 点的平移规律
2. 代数式求值
【点评】
本题是平移类基础常考题，核心考查平移前后对应点的坐标变化规律，只要掌握平移过程中横、纵坐标的变化量对所有点一致，就能快速解题，易错点是容易搞反平移的方向导致坐标计算错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先根据非负数的性质，算术平方根和平方数均为非负数，二者和为0则各自为0，求出a、b的值，得到点A、B的坐标；再根据平移的坐标变化规律，由A到B的平移方式推出点C的坐标，直接用底乘高计算△AOH的面积。第二问用割补法将△AOH拆分为两个小三角形，分别计算面积求和得到含m、n的表达式，再结合△AOH的面积定值推导m、n的关系。第三问为动点问题，先表示出t秒后与点P、Q相关的线段长度，分点P在y轴右侧和左侧两种情况，根据两三角形面积相等列方程求解，得到对应t值和P点坐标。
【解析】
(1) 由$\sqrt{4-a}+(b-3)^2=0$，且$\sqrt{4-a}≥0$，$(b-3)^2≥0$，可得$4-a=0$，$b-3=0$，解得$a=4$，$b=3$，即$A(1,4)$，$B(3,0)$。
① 线段AO平移至BC，点A到B的平移规律为：横坐标加$3-1=2$，纵坐标减$4-0=4$，则点O(0,0)平移后得点C的坐标为$(0+2,0-4)=(2,-4)$。
② $AH⊥ x$轴，$OH=1$，$AH=4$，$S_{△ AOH}=\frac{1}{2}× OH× AH=\frac{1}{2}×1×4=2$。
(2) ① 连接DH，$△ AOH$的面积可拆分为$△ ODH$和$△ ADH$的面积和：
$S_{△ ODH}=\frac{1}{2}× OH× n=\frac{1}{2}×1× n=\frac{1}{2}n$，
$S_{△ ADH}=\frac{1}{2}× AH×(1-m)=\frac{1}{2}×4×(1-m)=2(1-m)$，
因此$S_{△ AOH}=\frac{1}{2}n+2(1-m)=\frac{1}{2}n+2-2m$。
② 由(1)知$S_{△ AOH}=2$，代入上式得：
$\frac{1}{2}n+2-2m=2$，整理得$\frac{1}{2}n=2m$，即$4m=n$，得证。
(3) t秒后，点P的坐标为$(3-2t,0)$，$OP=|3-2t|$，点Q的坐标为$(0,-t)$，$OQ=t$。
$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OP× y_A=\frac{1}{2}×|3-2t|×4=2|3-2t|$，
$S_{△ COQ}=\frac{1}{2}× OQ× |x_C|=\frac{1}{2}× t×2=t$。
令$S_{△ AOP}=S_{△ COQ}$，即$2|3-2t|=t$，分两种情况讨论：
当点P在y轴右侧，即$3-2t＞0$，$t＜\frac{3}{2}$时，$2(3-2t)=t$，解得$t=\frac{6}{5}$，此时点P横坐标为$3-2×\frac{6}{5}=\frac{3}{5}$，即$P(\frac{3}{5},0)$；
当点P在y轴左侧，即$3-2t＜0$，$t＞\frac{3}{2}$时，$2(2t-3)=t$，解得$t=2$，此时点P横坐标为$3-2×2=-1$，即$P(-1,0)$。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{(2,-4)}$；②$\boldsymbol{2}$
(2) ①$S_{△ AOH}=\boldsymbol{\frac{1}{2}n+2-2m}$；②$4m=n$，得证
(3) $t=\boldsymbol{\frac{6}{5}}$时$P(\boldsymbol{\frac{3}{5},0})$；$t=\boldsymbol{2}$时$P(\boldsymbol{-1,0})$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 坐标平移规律
3. 坐标系面积计算
【点评】
本题综合性较强，既考查了基础的非负数性质、平移坐标变化规律，又涉及割补法求面积和动点分类讨论思想，解题时需注意动点位置的不确定性，避免漏解。
【难度系数】
0.65