1.【问题提出】(1)如图①，$△ ABC$是等边三角形，点$D$在线段$AB$上，点$E$在直线$BC$上，且$∠ DEC=∠ DCE$. 求证：$BE=AD$；
【类比学习】(2)如图②，将(1)中的条件“点$D$在线段$AB$上”改为“点$D$在线段$AB$的延长线上”，其他条件不变. 判断线段$AB$，$BE$，$BD$之间的数量关系，并说明理由.
【类比学习】(2)如图②，将(1)中的条件“点$D$在线段$AB$上”改为“点$D$在线段$AB$的延长线上”，其他条件不变. 判断线段$AB$，$BE$，$BD$之间的数量关系，并说明理由.
答案：
1.(1)证明:过点 D 作 DF//BC 交 AC 于点 F,如答图①所示,
则∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠DBE=120°,∠ADF=∠AFD=60°=∠A,
∴△ADF 是等边三角形,∠DFC=120°,
∴AD=FD.
∵∠DEC=∠DCE,
∴∠FDC=∠DEC,ED=CD.
在△DBE 和△CFD 中,
$\begin{cases}∠DEB=∠CDF,\\∠DBE=∠CFD,\\ED=DC,\end{cases}$
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴BE=FD,
∴BE=AD.
(2)解:EB=AB+BD.理由如下:
过点 D 作 DF//BC 交 AC 的延长线于点 F,如答图②所示,
同(1)可得 AD=FD,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,
ED=CD,∠DBE=∠DFC=60°.
在△DBE 和△CFD 中,
$\begin{cases}∠DEB=∠CDF,\\∠DBE=∠DFC,\\ED=DC,\end{cases}$
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴BE=FD,
∴BE=AD,
∴BE=AB+BD.
1.(1)证明:过点 D 作 DF//BC 交 AC 于点 F,如答图①所示,
则∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠DBE=120°,∠ADF=∠AFD=60°=∠A,
∴△ADF 是等边三角形,∠DFC=120°,
∴AD=FD.
∵∠DEC=∠DCE,
∴∠FDC=∠DEC,ED=CD.
在△DBE 和△CFD 中,
$\begin{cases}∠DEB=∠CDF,\\∠DBE=∠CFD,\\ED=DC,\end{cases}$
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴BE=FD,
∴BE=AD.
(2)解:EB=AB+BD.理由如下:
过点 D 作 DF//BC 交 AC 的延长线于点 F,如答图②所示,
同(1)可得 AD=FD,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,
ED=CD,∠DBE=∠DFC=60°.
在△DBE 和△CFD 中,
$\begin{cases}∠DEB=∠CDF,\\∠DBE=∠DFC,\\ED=DC,\end{cases}$
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴BE=FD,
∴BE=AD,
∴BE=AB+BD.
解析：
【分析】
(1) 要证BE=AD，可构造全等三角形建立二者的等量关系：结合等边△ABC的特征，过点D作DF//BC交AC于点F，先利用平行线性质和等边三角形判定得出△ADF是等边三角形，得到AD=FD；再由∠DEC=∠DCE推出ED=CD，最后证明△DBE≌△CFD，得到BE=FD，即可证得BE=AD。
(2) 判断线段关系可沿用第一问的解题思路：过点D作DF//BC交AC的延长线于点F，同理可证△ADF为等边三角形、△DBE≌△CFD，得到BE=AD，再结合AD=AB+BD，即可推导出AB、BE、BD的数量关系。
【解析】
(1) 证明:过点 D 作 DF//BC 交 AC 于点 F,如答图①所示,
则∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠DBE=120°,∠ADF=∠AFD=60°=∠A,
∴△ADF 是等边三角形,∠DFC=120°,
∴AD=FD.
∵∠DEC=∠DCE,
∴∠FDC=∠DEC,ED=CD.
在△DBE 和△CFD 中,
$\begin{cases}∠DEB=∠CDF,\\∠DBE=∠CFD,\\ED=DC,\end{cases}$
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴BE=FD,
∴BE=AD.
(2) 线段关系为EB=AB+BD，理由如下:
过点 D 作 DF//BC 交 AC 的延长线于点 F,如答图②所示,
同(1)可得 AD=FD,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,
ED=CD,∠DBE=∠DFC=60°.
在△DBE 和△CFD 中,
$\begin{cases}∠DEB=∠CDF,\\∠DBE=∠DFC,\\ED=DC,\end{cases}$
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴BE=FD,
∴BE=AD,
∴BE=AB+BD.
【答案】
(1) BE=AD得证，证明过程见解析；(2) 线段数量关系为$\boldsymbol{EB=AB+BD}$，理由见解析。
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是典型的几何图形变式题，两问的解题思路一致，均通过作平行线构造等边三角形与全等三角形完成线段的等量转化，体现了“形变法不变”的变式题解题规律，能有效训练辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证BE=AD，可构造全等三角形建立二者的等量关系：结合等边△ABC的特征，过点D作DF//BC交AC于点F，先利用平行线性质和等边三角形判定得出△ADF是等边三角形，得到AD=FD；再由∠DEC=∠DCE推出ED=CD，最后证明△DBE≌△CFD，得到BE=FD，即可证得BE=AD。
(2) 判断线段关系可沿用第一问的解题思路：过点D作DF//BC交AC的延长线于点F，同理可证△ADF为等边三角形、△DBE≌△CFD，得到BE=AD，再结合AD=AB+BD，即可推导出AB、BE、BD的数量关系。
【解析】
(1) 证明:过点 D 作 DF//BC 交 AC 于点 F,如答图①所示,
则∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠DBE=120°,∠ADF=∠AFD=60°=∠A,
∴△ADF 是等边三角形,∠DFC=120°,
∴AD=FD.
∵∠DEC=∠DCE,
∴∠FDC=∠DEC,ED=CD.
在△DBE 和△CFD 中,
$\begin{cases}∠DEB=∠CDF,\\∠DBE=∠CFD,\\ED=DC,\end{cases}$
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴BE=FD,
∴BE=AD.
(2) 线段关系为EB=AB+BD，理由如下:
过点 D 作 DF//BC 交 AC 的延长线于点 F,如答图②所示,
同(1)可得 AD=FD,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,
ED=CD,∠DBE=∠DFC=60°.
在△DBE 和△CFD 中,
$\begin{cases}∠DEB=∠CDF,\\∠DBE=∠DFC,\\ED=DC,\end{cases}$
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴BE=FD,
∴BE=AD,
∴BE=AB+BD.
【答案】
(1) BE=AD得证，证明过程见解析；(2) 线段数量关系为$\boldsymbol{EB=AB+BD}$，理由见解析。
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是典型的几何图形变式题，两问的解题思路一致，均通过作平行线构造等边三角形与全等三角形完成线段的等量转化，体现了“形变法不变”的变式题解题规律，能有效训练辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
2. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，过点$C$的直线$CD$与边$AB$平行，$P$是$BC$上一点，连接$AP$，过点$P$作$∠ APE=∠ BAC$，交$CD$于点$E$，$F$是$EC$延长线上一点.
(1)如图①，当$∠ BAC=90°$时.
求证:①$∠ BCA=∠ BCF$；
②$AP=EP$.
(2)如图②，当$∠ BAC$是任意锐角时，线段$AP$与$EP$仍相等吗？请说明理由.
(1)如图①，当$∠ BAC=90°$时.
求证:①$∠ BCA=∠ BCF$；
②$AP=EP$.
(2)如图②，当$∠ BAC$是任意锐角时，线段$AP$与$EP$仍相等吗？请说明理由.
答案：
2.(1)证明:①
∵CD//AB,
∴∠BAC+∠ACF=180°.
∵∠BAC=90°,
∴∠ACF=90°.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠BCA=45°,
∴∠BCF=∠ACF-∠BCA=45°,
∴∠BCA=∠BCF.
②如答图①,过点 P 作 PM⊥AC,垂足为 M,作 PN⊥CD,垂足为 N.
∵∠ACB=∠BCF=45°,PM⊥AC,PN⊥CD,
∴PM=PN.
∵∠PMC=∠PNC=90°,∠ACB=∠BCN=45°,
∴△PMC 与△PNC 都为等腰直角三角形,
∴∠MPC=∠NPC=45°,即∠MPN=90°.
∵∠APE=∠BAC=90°,
∴∠APE-∠MPE=∠MPN-∠MPE,即∠APM=∠EPN.
在△APM 和△EPN 中,
$\begin{cases}∠AMP=∠ENP,\\PM=PN,\\∠APM=∠EPN,\end{cases}$
∴△APM≌△EPN(ASA),
∴AP=EP.
(2)解:线段 AP 与 EP 仍相等,理由如下:
如答图②,过点 P 作 PM⊥AC,垂足为 M,作 PN⊥CF,垂足为 N.
∵CD//AB,
∴∠B=∠BCF.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠ACB=∠BCF.
∵PM⊥AC,PN⊥CF,
∴PM=PN.
在四边形 PNCM 中,∠PMC=∠PNC=90°,
∴∠MPN+∠MCN=360°-90°-90°=180°.
∵∠MCN+∠ACE=180°,
∴∠ACE=∠MPN.
∵CD//AB,
∴∠BAC=∠ACE,
∴∠BAC=∠MPN.
∵∠APE=∠BAC,
∴∠APE=∠MPN,
∴∠APE+∠EPM=∠MPN+∠EPM,
即∠APM=∠EPN.
在△APM 和△EPN 中,
$\begin{cases}∠APM=∠EPN,\\PM=PN,\\∠PMA=∠PNE,\end{cases}$
∴△APM≌△EPN(ASA),
∴AP=EP.
2.(1)证明:①
∵CD//AB,
∴∠BAC+∠ACF=180°.
∵∠BAC=90°,
∴∠ACF=90°.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠BCA=45°,
∴∠BCF=∠ACF-∠BCA=45°,
∴∠BCA=∠BCF.
②如答图①,过点 P 作 PM⊥AC,垂足为 M,作 PN⊥CD,垂足为 N.
∵∠ACB=∠BCF=45°,PM⊥AC,PN⊥CD,
∴PM=PN.
∵∠PMC=∠PNC=90°,∠ACB=∠BCN=45°,
∴△PMC 与△PNC 都为等腰直角三角形,
∴∠MPC=∠NPC=45°,即∠MPN=90°.
∵∠APE=∠BAC=90°,
∴∠APE-∠MPE=∠MPN-∠MPE,即∠APM=∠EPN.
在△APM 和△EPN 中,
$\begin{cases}∠AMP=∠ENP,\\PM=PN,\\∠APM=∠EPN,\end{cases}$
∴△APM≌△EPN(ASA),
∴AP=EP.
(2)解:线段 AP 与 EP 仍相等,理由如下:
如答图②,过点 P 作 PM⊥AC,垂足为 M,作 PN⊥CF,垂足为 N.
∵CD//AB,
∴∠B=∠BCF.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠ACB=∠BCF.
∵PM⊥AC,PN⊥CF,
∴PM=PN.
在四边形 PNCM 中,∠PMC=∠PNC=90°,
∴∠MPN+∠MCN=360°-90°-90°=180°.
∵∠MCN+∠ACE=180°,
∴∠ACE=∠MPN.
∵CD//AB,
∴∠BAC=∠ACE,
∴∠BAC=∠MPN.
∵∠APE=∠BAC,
∴∠APE=∠MPN,
∴∠APE+∠EPM=∠MPN+∠EPM,
即∠APM=∠EPN.
在△APM 和△EPN 中,
$\begin{cases}∠APM=∠EPN,\\PM=PN,\\∠PMA=∠PNE,\end{cases}$
∴△APM≌△EPN(ASA),
∴AP=EP.
解析：
【分析】
(1)①证明两角相等可先分别计算两角的度数：先利用平行线的同旁内角互补性质，结合∠BAC=90°求出∠ACF=90°；再根据等腰直角△ABC的底角为45°得到∠BCA=45°，进而算出∠BCF=∠ACF-∠BCA=45°，即可证明两角相等。②证明两条线段相等通常可证线段所在的三角形全等：过点P作PM⊥AC、PN⊥CD，由①的结论可知PC平分∠ACF，根据角平分线的性质得PM=PN；再结合∠APE=∠MPN=90°，推导得到∠APM=∠EPN，即可用ASA证明△APM≌△EPN，从而得到AP=EP。
(2)∠BAC为任意锐角时，可沿用(1)②的解题思路：先由AB=AC得∠B=∠ACB，结合AB//CD得∠B=∠BCF，从而推出∠ACB=∠BCF，同理可得PM=PN；再通过角的和差推导得到∠APM=∠EPN，证明△APM≌△EPN，即可判断AP与EP仍相等。
【解析】
(1)证明:①
∵CD//AB,
∴∠BAC+∠ACF=180°.
∵∠BAC=90°,
∴∠ACF=90°.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠BCA=45°,
∴∠BCF=∠ACF-∠BCA=45°,
∴∠BCA=∠BCF.
②如答图①,过点 P 作 PM⊥AC,垂足为 M,作 PN⊥CD,垂足为 N.
∵∠ACB=∠BCF=45°,PM⊥AC,PN⊥CD,
∴PM=PN.
∵∠PMC=∠PNC=90°,∠ACB=∠BCN=45°,
∴△PMC 与△PNC 都为等腰直角三角形,
∴∠MPC=∠NPC=45°,即∠MPN=90°.
∵∠APE=∠BAC=90°,
∴∠APE-∠MPE=∠MPN-∠MPE,即∠APM=∠EPN.
在△APM 和△EPN 中,
$\begin{cases}∠AMP=∠ENP,\\PM=PN,\\∠APM=∠EPN,\end{cases}$
∴△APM≌△EPN(ASA),
∴AP=EP.
(2)解:线段 AP 与 EP 仍相等,理由如下:
如答图②,过点 P 作 PM⊥AC,垂足为 M,作 PN⊥CF,垂足为 N.
∵CD//AB,
∴∠B=∠BCF.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠ACB=∠BCF.
∵PM⊥AC,PN⊥CF,
∴PM=PN.
在四边形 PNCM 中,∠PMC=∠PNC=90°,
∴∠MPN+∠MCN=360°-90°-90°=180°.
∵∠MCN+∠ACE=180°,
∴∠ACE=∠MPN.
∵CD//AB,
∴∠BAC=∠ACE,
∴∠BAC=∠MPN.
∵∠APE=∠BAC,
∴∠APE=∠MPN,
∴∠APE+∠EPM=∠MPN+∠EPM,
即∠APM=∠EPN.
在△APM 和△EPN 中,
$\begin{cases}∠APM=∠EPN,\\PM=PN,\\∠PMA=∠PNE,\end{cases}$
∴△APM≌△EPN(ASA),
∴AP=EP.
【答案】
(1)①证明成立；②AP=EP，证明成立；
(2)线段AP与EP仍相等，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何变式探究题，从特殊的等腰直角三角形场景推广到一般的等腰三角形场景，解题方法具有可迁移性，核心是通过作垂线构造全等三角形，考查了对几何核心性质的综合运用能力和从特殊到一般的数学思维。
【难度系数】
0.6
(1)①证明两角相等可先分别计算两角的度数：先利用平行线的同旁内角互补性质，结合∠BAC=90°求出∠ACF=90°；再根据等腰直角△ABC的底角为45°得到∠BCA=45°，进而算出∠BCF=∠ACF-∠BCA=45°，即可证明两角相等。②证明两条线段相等通常可证线段所在的三角形全等：过点P作PM⊥AC、PN⊥CD，由①的结论可知PC平分∠ACF，根据角平分线的性质得PM=PN；再结合∠APE=∠MPN=90°，推导得到∠APM=∠EPN，即可用ASA证明△APM≌△EPN，从而得到AP=EP。
(2)∠BAC为任意锐角时，可沿用(1)②的解题思路：先由AB=AC得∠B=∠ACB，结合AB//CD得∠B=∠BCF，从而推出∠ACB=∠BCF，同理可得PM=PN；再通过角的和差推导得到∠APM=∠EPN，证明△APM≌△EPN，即可判断AP与EP仍相等。
【解析】
(1)证明:①
∵CD//AB,
∴∠BAC+∠ACF=180°.
∵∠BAC=90°,
∴∠ACF=90°.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠BCA=45°,
∴∠BCF=∠ACF-∠BCA=45°,
∴∠BCA=∠BCF.
②如答图①,过点 P 作 PM⊥AC,垂足为 M,作 PN⊥CD,垂足为 N.
∵∠ACB=∠BCF=45°,PM⊥AC,PN⊥CD,
∴PM=PN.
∵∠PMC=∠PNC=90°,∠ACB=∠BCN=45°,
∴△PMC 与△PNC 都为等腰直角三角形,
∴∠MPC=∠NPC=45°,即∠MPN=90°.
∵∠APE=∠BAC=90°,
∴∠APE-∠MPE=∠MPN-∠MPE,即∠APM=∠EPN.
在△APM 和△EPN 中,
$\begin{cases}∠AMP=∠ENP,\\PM=PN,\\∠APM=∠EPN,\end{cases}$
∴△APM≌△EPN(ASA),
∴AP=EP.
(2)解:线段 AP 与 EP 仍相等,理由如下:
如答图②,过点 P 作 PM⊥AC,垂足为 M,作 PN⊥CF,垂足为 N.
∵CD//AB,
∴∠B=∠BCF.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠ACB=∠BCF.
∵PM⊥AC,PN⊥CF,
∴PM=PN.
在四边形 PNCM 中,∠PMC=∠PNC=90°,
∴∠MPN+∠MCN=360°-90°-90°=180°.
∵∠MCN+∠ACE=180°,
∴∠ACE=∠MPN.
∵CD//AB,
∴∠BAC=∠ACE,
∴∠BAC=∠MPN.
∵∠APE=∠BAC,
∴∠APE=∠MPN,
∴∠APE+∠EPM=∠MPN+∠EPM,
即∠APM=∠EPN.
在△APM 和△EPN 中,
$\begin{cases}∠APM=∠EPN,\\PM=PN,\\∠PMA=∠PNE,\end{cases}$
∴△APM≌△EPN(ASA),
∴AP=EP.
【答案】
(1)①证明成立；②AP=EP，证明成立；
(2)线段AP与EP仍相等，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何变式探究题，从特殊的等腰直角三角形场景推广到一般的等腰三角形场景，解题方法具有可迁移性，核心是通过作垂线构造全等三角形，考查了对几何核心性质的综合运用能力和从特殊到一般的数学思维。
【难度系数】
0.6