【分析】
本题围绕中线倍长法展开考查：
(1) 已知AD是BC边上的中线，可得BD=CD，结合对顶角相等、DM=AD，可证△ADC≌△MDB，利用全等性质即可得到AC和BM的数量、位置关系；
(2) 直接在原三角形中无法求AD的取值范围，因此使用倍长中线法构造全等，将AC转化为BM，把AB、BM、2AD集中在同一个△ABM中，利用三角形三边关系即可求解；
(3) 仍采用倍长中线法构造全等，先将AC转化为BM，结合已知条件推出BM=AF，再推导角相等证明△ABM≌△EAF，即可得到EF与AD的数量关系，最后通过角的等量代换证明垂直关系；
(4) D是BC中点，属于类中线结构，延长ED到G使DG=DE，构造全等将BE转化为CG，结合DE⊥DF可得DF是EG的垂直平分线，故EF=GF，最后在△CFG中利用三边关系即可证明不等式。
【解析】
(1) 在$△ ADC$和$△ MDB$中：
$\begin{cases} CD=BD \\ ∠ CDA=∠ BDM \\ AD=MD \end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ MDB(\mathrm{SAS})$
$\therefore AC=BM$，$∠ C=∠ DBM$，$\therefore AC// BM$。
(2) 延长AD到点M，使$DM=AD$，连接BM。
∵AD是$△ ABC$的中线，$\therefore BD=CD$。
在$△ ADC$和$△ MDB$中：
$\begin{cases} CD=BD \\ ∠ CDA=∠ BDM \\ AD=MD \end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ MDB(\mathrm{SAS})$，$\therefore BM=AC=8$。
在$△ ABM$中，由三角形三边关系得：$AB-BM＜AM＜AB+BM$，
代入$AB=12$、$BM=8$、$AM=2AD$得：$12-8＜2AD＜12+8$，
化简得$2＜AD＜10$。
(3) $EF=2AD$，$EF⊥ AD$，理由如下：
延长AD到点M，使得$DM=AD$，连接BM。
由(2)可知$△ BDM≌△ CDA(\mathrm{SAS})$，$\therefore BM=AC$，
∵$AC=AF$，$\therefore BM=AF$。
由(1)可知$AC// BM$，$\therefore ∠ BAC+∠ ABM=180°$。
∵$AE⊥ AB$，$AF⊥ AC$，$\therefore ∠ BAE=∠ FAC=90°$，
$\therefore ∠ BAC+∠ EAF=180°$，$\therefore ∠ ABM=∠ EAF$。
在$△ ABM$和$△ EAF$中：
$\begin{cases} AB=EA \\ ∠ ABM=∠ EAF \\ BM=AF \end{cases}$
$\therefore △ ABM≌△ EAF(\mathrm{SAS})$，$\therefore AM=EF$，$∠ BAM=∠ E$。
∵$AD=DM$，$\therefore AM=2AD$，$\therefore EF=2AD$。
∵$∠ EAM=∠ BAM+∠ BAE=∠ E+∠ APE$，
$\therefore ∠ APE=∠ BAE=90°$，$\therefore EF⊥ AD$。
(4) 证明：延长ED到点G，使$GD=ED$，连接CG、GF。
∵D是BC边上的中点，$\therefore CD=BD$。
在$△ CDG$和$△ BDE$中：
$\begin{cases} GD=ED \\ ∠ CDG=∠ BDE \\ CD=BD \end{cases}$
$\therefore △ CDG≌△ BDE(\mathrm{SAS})$，$\therefore CG=BE$。
在$△ CFG$中，由三角形三边关系得：$CG+CF＞GF$，$\therefore BE+CF＞GF$。
∵$DE⊥ DF$，$GD=ED$，$\therefore DF$垂直平分EG，$\therefore GF=EF$，
$\therefore BE+CF＞EF$。
【答案】
(1) $AC=BM$，$AC// BM$
(2) $2＜AD＜10$
(3) $EF=2AD$，$EF⊥ AD$
(4) 证明如上
【知识点】
中线倍长法；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题是中线倍长辅助线的典型应用，通过倍长中线（或类中线）构造全等三角形，可实现边、角的转移，将分散的条件整合到同一个三角形中，进而解决线段的数量关系、取值范围、位置关系及不等式证明等问题，该辅助线作法是三角形相关问题中的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6