1.在直线$m$上依次取互不重合的三个点$D,A,E$,在直线$m$上方有$AB=AC$,且满足$∠ BDA=∠ AEC=∠ BAC=α$.
(1)如图①,当$α=90°$时,线段$DE,BD,CE$之间的数量关系是________.
(2)如图②,当$0°＜α＜180°$时,(1)中结论是否仍然成立? 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:如图③,当$α=120°$时,$F$为$∠ BAC$平分线上的一点,且$AB=AF$,分别连接$FB,FD,FE,FC$,试判断$△ DEF$的形状,并说明理由.
(1)如图①,当$α=90°$时,线段$DE,BD,CE$之间的数量关系是________.
(2)如图②,当$0°＜α＜180°$时,(1)中结论是否仍然成立? 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:如图③,当$α=120°$时,$F$为$∠ BAC$平分线上的一点,且$AB=AF$,分别连接$FB,FD,FE,FC$,试判断$△ DEF$的形状,并说明理由.
答案：1.(1)$DE=BD+CE$
(2)解:$DE=BD+CE$仍然成立.
证明:$\because ∠ BDA=∠ BAC=∠ AEC=α$,
$\therefore ∠ BAD+∠ EAC=∠ BAD+∠ DBA=180°-α$,
$\therefore ∠ DBA=∠ EAC. \because AB=CA$,
$\therefore △ DBA≌ △ EAC(\mathrm{AAS}), \therefore BD=AE, AD=CE$,
$\therefore DE=AD+AE=BD+CE$.
(3)解:$△ DEF$是等边三角形.理由如下:
$\because α=120°$,AF平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ BAF=∠ CAF=60°$.
$\because AB=AF=AC$,$\therefore △ ABF$和$△ ACF$都是等边三角形,
$\therefore FA=FC, ∠ FCA=∠ FAB=∠ AFC=60°$,
同(2)可得,$△ BDA≌ △ AEC$,
$\therefore ∠ BAD=∠ ACE. AD=CE$,
$\therefore ∠ FAD=∠ FCE, \therefore △ FAD≌ △ FCE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore DF=EF, ∠ DFA=∠ EFC$,
$\therefore ∠ DFE = ∠ DFA + ∠ AFE = ∠ EFC + ∠ AFE = ∠ AFC=60°$,$\therefore △ DEF$是等边三角形.
(2)解:$DE=BD+CE$仍然成立.
证明:$\because ∠ BDA=∠ BAC=∠ AEC=α$,
$\therefore ∠ BAD+∠ EAC=∠ BAD+∠ DBA=180°-α$,
$\therefore ∠ DBA=∠ EAC. \because AB=CA$,
$\therefore △ DBA≌ △ EAC(\mathrm{AAS}), \therefore BD=AE, AD=CE$,
$\therefore DE=AD+AE=BD+CE$.
(3)解:$△ DEF$是等边三角形.理由如下:
$\because α=120°$,AF平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ BAF=∠ CAF=60°$.
$\because AB=AF=AC$,$\therefore △ ABF$和$△ ACF$都是等边三角形,
$\therefore FA=FC, ∠ FCA=∠ FAB=∠ AFC=60°$,
同(2)可得,$△ BDA≌ △ AEC$,
$\therefore ∠ BAD=∠ ACE. AD=CE$,
$\therefore ∠ FAD=∠ FCE, \therefore △ FAD≌ △ FCE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore DF=EF, ∠ DFA=∠ EFC$,
$\therefore ∠ DFE = ∠ DFA + ∠ AFE = ∠ EFC + ∠ AFE = ∠ AFC=60°$,$\therefore △ DEF$是等边三角形.
解析：
【分析】
(1) 当$α=90°$时，$∠ BDA$、$∠ AEC$、$∠ BAC$均为直角，根据同角的余角相等可推出$∠ DBA=∠ EAC$，结合$AB=AC$即可证明$△ DBA≌△ EAC$，将对应边等量代换后就能得到$DE$、$BD$、$CE$的数量关系。
(2) 对于$0°＜α＜180°$的一般情况，思路与(1)一致：利用三角形内角和与平角的性质，可推出$∠ DBA=∠ EAC$，再通过AAS证明$△ DBA≌△ EAC$，转化对应边即可验证(1)的结论是否成立。
(3) 首先根据$α=120°$、$AF$平分$∠ BAC$且$AB=AF=AC$，可证$△ ABF$和$△ ACF$都是等边三角形，得到边、角的等量关系；再沿用(2)的全等结论，推导得到$∠ FAD=∠ FCE$，通过SAS证明$△ FAD≌△ FCE$，可得$DF=EF$且$∠ DFE=60°$，即可判断$△ DEF$的形状。
【解析】
(1) 当$α=90°$时，$∠ BDA=∠ BAC=∠ AEC=90°$，
$\therefore ∠ BAD+∠ DBA=90°$，$∠ BAD+∠ EAC=90°$，
$\therefore ∠ DBA=∠ EAC$，
又$\because AB=AC$，
$\therefore △ DBA≌△ EAC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=AE$，$AD=CE$，
$\therefore DE=AD+AE=BD+CE$。
(2) $DE=BD+CE$仍然成立，证明如下：
$\because ∠ BDA=∠ BAC=∠ AEC=α$，
$\therefore ∠ BAD+∠ EAC=∠ BAD+∠ DBA=180°-α$，
$\therefore ∠ DBA=∠ EAC$，
$\because AB=CA$，
$\therefore △ DBA≌△ EAC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=AE$，$AD=CE$，
$\therefore DE=AD+AE=BD+CE$。
(3) $△ DEF$是等边三角形，理由如下：
$\because α=120°$，$AF$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAF=∠ CAF=60°$，
$\because AB=AF=AC$，
$\therefore △ ABF$和$△ ACF$都是等边三角形，
$\therefore FA=FC$，$∠ FCA=∠ FAB=∠ AFC=60°$，
同(2)可得，$△ BDA≌△ AEC$，
$\therefore ∠ BAD=∠ ACE$，$AD=CE$，
$\therefore ∠ FAD=∠ FAB+∠ BAD=60°+∠ BAD$，$∠ FCE=∠ FCA+∠ ACE=60°+∠ ACE$，
$\therefore ∠ FAD=∠ FCE$，
$\therefore △ FAD≌△ FCE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DF=EF$，$∠ DFA=∠ EFC$，
$\therefore ∠ DFE=∠ DFA+∠ AFE=∠ EFC+∠ AFE=∠ AFC=60°$，
$\therefore △ DEF$是等边三角形。
【答案】
(1)$DE=BD+CE$
(2)$DE=BD+CE$仍然成立，证明见解析
(3)$△ DEF$是等边三角形，理由见解析
【知识点】
一线三等角模型、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定
【点评】
本题围绕“一线三等角”全等模型递进设问，从特殊角度到一般角度推导共性结论，最后拓展应用结论判断特殊三角形，既考察了全等三角形的证明和性质应用，也考察了等边三角形的判定，解题时可通过类比迁移，找到不同条件下不变的边角等量关系即可求解。
【难度系数】
0.6
(1) 当$α=90°$时，$∠ BDA$、$∠ AEC$、$∠ BAC$均为直角，根据同角的余角相等可推出$∠ DBA=∠ EAC$，结合$AB=AC$即可证明$△ DBA≌△ EAC$，将对应边等量代换后就能得到$DE$、$BD$、$CE$的数量关系。
(2) 对于$0°＜α＜180°$的一般情况，思路与(1)一致：利用三角形内角和与平角的性质，可推出$∠ DBA=∠ EAC$，再通过AAS证明$△ DBA≌△ EAC$，转化对应边即可验证(1)的结论是否成立。
(3) 首先根据$α=120°$、$AF$平分$∠ BAC$且$AB=AF=AC$，可证$△ ABF$和$△ ACF$都是等边三角形，得到边、角的等量关系；再沿用(2)的全等结论，推导得到$∠ FAD=∠ FCE$，通过SAS证明$△ FAD≌△ FCE$，可得$DF=EF$且$∠ DFE=60°$，即可判断$△ DEF$的形状。
【解析】
(1) 当$α=90°$时，$∠ BDA=∠ BAC=∠ AEC=90°$，
$\therefore ∠ BAD+∠ DBA=90°$，$∠ BAD+∠ EAC=90°$，
$\therefore ∠ DBA=∠ EAC$，
又$\because AB=AC$，
$\therefore △ DBA≌△ EAC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=AE$，$AD=CE$，
$\therefore DE=AD+AE=BD+CE$。
(2) $DE=BD+CE$仍然成立，证明如下：
$\because ∠ BDA=∠ BAC=∠ AEC=α$，
$\therefore ∠ BAD+∠ EAC=∠ BAD+∠ DBA=180°-α$，
$\therefore ∠ DBA=∠ EAC$，
$\because AB=CA$，
$\therefore △ DBA≌△ EAC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD=AE$，$AD=CE$，
$\therefore DE=AD+AE=BD+CE$。
(3) $△ DEF$是等边三角形，理由如下：
$\because α=120°$，$AF$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAF=∠ CAF=60°$，
$\because AB=AF=AC$，
$\therefore △ ABF$和$△ ACF$都是等边三角形，
$\therefore FA=FC$，$∠ FCA=∠ FAB=∠ AFC=60°$，
同(2)可得，$△ BDA≌△ AEC$，
$\therefore ∠ BAD=∠ ACE$，$AD=CE$，
$\therefore ∠ FAD=∠ FAB+∠ BAD=60°+∠ BAD$，$∠ FCE=∠ FCA+∠ ACE=60°+∠ ACE$，
$\therefore ∠ FAD=∠ FCE$，
$\therefore △ FAD≌△ FCE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DF=EF$，$∠ DFA=∠ EFC$，
$\therefore ∠ DFE=∠ DFA+∠ AFE=∠ EFC+∠ AFE=∠ AFC=60°$，
$\therefore △ DEF$是等边三角形。
【答案】
(1)$DE=BD+CE$
(2)$DE=BD+CE$仍然成立，证明见解析
(3)$△ DEF$是等边三角形，理由见解析
【知识点】
一线三等角模型、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定
【点评】
本题围绕“一线三等角”全等模型递进设问，从特殊角度到一般角度推导共性结论，最后拓展应用结论判断特殊三角形，既考察了全等三角形的证明和性质应用，也考察了等边三角形的判定，解题时可通过类比迁移，找到不同条件下不变的边角等量关系即可求解。
【难度系数】
0.6