1. 如图，$AP// BC$，$∠ PAB$ 的平分线与 $∠ CBA$ 的平分线相交于点 $E$，$CE$ 的延长线交 $AP$ 于点 $D$，求证：$AD+BC=AB$。
答案：
1. 证明:如答图,在AB上截取AF=AD,连接EF.
∵AE平分∠PAB,
∴∠DAE=∠FAE.
在△DAE和△FAE中,$\begin{cases} AD=AF, \\ ∠DAE=∠FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△DAE≌△FAE(SAS),
∴∠AFE=∠ADE.
∵AD//BC,
∴∠ADE+∠C=180°.
∵∠AFE+∠EFB=180°,
∴∠EFB=∠C.
∵BE平分∠ABC,
∴∠EBF=∠EBC.
在△BEF和△BEC中,$\begin{cases} ∠EFB=∠C, \\ ∠EBF=∠EBC, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴△BEF≌△BEC(AAS),
∴BC=BF,
∴AD+BC=AF+BF=AB.
第1题答图
1. 证明:如答图,在AB上截取AF=AD,连接EF.
∵AE平分∠PAB,
∴∠DAE=∠FAE.
在△DAE和△FAE中,$\begin{cases} AD=AF, \\ ∠DAE=∠FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△DAE≌△FAE(SAS),
∴∠AFE=∠ADE.
∵AD//BC,
∴∠ADE+∠C=180°.
∵∠AFE+∠EFB=180°,
∴∠EFB=∠C.
∵BE平分∠ABC,
∴∠EBF=∠EBC.
在△BEF和△BEC中,$\begin{cases} ∠EFB=∠C, \\ ∠EBF=∠EBC, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴△BEF≌△BEC(AAS),
∴BC=BF,
∴AD+BC=AF+BF=AB.
第1题答图解析：
【分析】
要证明$AD+BC=AB$，属于线段和差类证明题，常用截长补短法求解。本题选用截长法：首先在AB上截取$AF=AD$，将问题转化为证明$BC=BF$即可。首先利用角平分线的性质和公共边，证明$△ DAE≌△ FAE$，得到对应角相等；再结合$AP// BC$的平行线性质，推导出$∠ EFB=∠ C$，再次利用角平分线性质和公共边证明$△ BEF≌△ BEC$，即可得到$BC=BF$，最终通过线段和的关系得出结论。
【解析】
证明:如答图,在AB上截取$AF=AD$,连接$EF$.
∵AE平分$∠ PAB$,
∴$∠ DAE=∠ FAE$.
在$△ DAE$和$△ FAE$中,$\begin{cases} AD=AF, \\ ∠ DAE=∠ FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴$△ DAE≌△ FAE(\mathrm{SAS})$,
∴$∠ AFE=∠ ADE$.
∵$AD// BC$,
∴$∠ ADE+∠ C=180°$.
∵$∠ AFE+∠ EFB=180°$,
∴$∠ EFB=∠ C$.
∵BE平分$∠ ABC$,
∴$∠ EBF=∠ EBC$.
在$△ BEF$和$△ BEC$中,$\begin{cases} ∠ EFB=∠ C, \\ ∠ EBF=∠ EBC, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴$△ BEF≌△ BEC(\mathrm{AAS})$,
∴$BC=BF$,
∴$AD+BC=AF+BF=AB$.
【答案】
证明:如答图,在AB上截取AF=AD,连接EF.
∵AE平分∠PAB,
∴∠DAE=∠FAE.
在△DAE和△FAE中,$\begin{cases} AD=AF, \\ ∠DAE=∠FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△DAE≌△FAE(SAS),
∴∠AFE=∠ADE.
∵AD//BC,
∴∠ADE+∠C=180°.
∵∠AFE+∠EFB=180°,
∴∠EFB=∠C.
∵BE平分∠ABC,
∴∠EBF=∠EBC.
在△BEF和△BEC中,$\begin{cases} ∠EFB=∠C, \\ ∠EBF=∠EBC, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴△BEF≌△BEC(AAS),
∴BC=BF,
∴AD+BC=AF+BF=AB.
第1题答图
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是典型的线段和差证明问题，运用截长法构造全等三角形是解题的核心思路，解题过程中需要结合角平分线、平行线的性质推导角的等量关系，对全等三角形的判定掌握程度要求较高，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
要证明$AD+BC=AB$，属于线段和差类证明题，常用截长补短法求解。本题选用截长法：首先在AB上截取$AF=AD$，将问题转化为证明$BC=BF$即可。首先利用角平分线的性质和公共边，证明$△ DAE≌△ FAE$，得到对应角相等；再结合$AP// BC$的平行线性质，推导出$∠ EFB=∠ C$，再次利用角平分线性质和公共边证明$△ BEF≌△ BEC$，即可得到$BC=BF$，最终通过线段和的关系得出结论。
【解析】
证明:如答图,在AB上截取$AF=AD$,连接$EF$.
∵AE平分$∠ PAB$,
∴$∠ DAE=∠ FAE$.
在$△ DAE$和$△ FAE$中,$\begin{cases} AD=AF, \\ ∠ DAE=∠ FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴$△ DAE≌△ FAE(\mathrm{SAS})$,
∴$∠ AFE=∠ ADE$.
∵$AD// BC$,
∴$∠ ADE+∠ C=180°$.
∵$∠ AFE+∠ EFB=180°$,
∴$∠ EFB=∠ C$.
∵BE平分$∠ ABC$,
∴$∠ EBF=∠ EBC$.
在$△ BEF$和$△ BEC$中,$\begin{cases} ∠ EFB=∠ C, \\ ∠ EBF=∠ EBC, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴$△ BEF≌△ BEC(\mathrm{AAS})$,
∴$BC=BF$,
∴$AD+BC=AF+BF=AB$.
【答案】
证明:如答图,在AB上截取AF=AD,连接EF.
∵AE平分∠PAB,
∴∠DAE=∠FAE.
在△DAE和△FAE中,$\begin{cases} AD=AF, \\ ∠DAE=∠FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△DAE≌△FAE(SAS),
∴∠AFE=∠ADE.
∵AD//BC,
∴∠ADE+∠C=180°.
∵∠AFE+∠EFB=180°,
∴∠EFB=∠C.
∵BE平分∠ABC,
∴∠EBF=∠EBC.
在△BEF和△BEC中,$\begin{cases} ∠EFB=∠C, \\ ∠EBF=∠EBC, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴△BEF≌△BEC(AAS),
∴BC=BF,
∴AD+BC=AF+BF=AB.
第1题答图【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是典型的线段和差证明问题，运用截长法构造全等三角形是解题的核心思路，解题过程中需要结合角平分线、平行线的性质推导角的等量关系，对全等三角形的判定掌握程度要求较高，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
2. 如图，直线$PA// QB$，$∠ PAB$与$∠ QBA$的平分线交于点$C$，过点$C$作一条直线$l$与两直线$PA$，$QB$分别相交于点$D$，$E$.
(1)如图①，当直线$l$与$PA$垂直时，求证：$AD+BE=AB$.
(2)如图②，当直线$l$与$PA$不垂直且交点$D$，$E$都在$AB$同侧时，(1)中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.
(3)当直线$l$与$PA$不垂直且交点$D$，$E$在$AB$异侧时，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出$AD$，$BE$，$AB$之间的数量关系.（不用证明）
(1)如图①，当直线$l$与$PA$垂直时，求证：$AD+BE=AB$.
(2)如图②，当直线$l$与$PA$不垂直且交点$D$，$E$都在$AB$同侧时，(1)中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.
(3)当直线$l$与$PA$不垂直且交点$D$，$E$在$AB$异侧时，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出$AD$，$BE$，$AB$之间的数量关系.（不用证明）
答案：
2. (1)证明:如答图①,过点C作CF⊥AB于点F.
∵AC平分∠PAB,BC平分∠QBA,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵l⊥AP,PA//BQ,
∴∠EDA=∠DEB=90°.
∵CF⊥AB,
∴∠AFC=90°,
∴∠1+∠5=90°.
又
∵∠2+∠6=90°,
∴∠5=∠6.
在△ACD与△ACF中,$\begin{cases} ∠2=∠1, \\ AC=AC, \\ ∠6=∠5, \end{cases}$
∴△ACD≌△ACF,
∴AD=AF.
同理BF=BE.
∵AB=AF+BF,
∴AB=AD+BE.
(2)解:(1)中结论成立,证明如下:
如答图②,在AB上截取AG=AD,连接CG.
∵AC平分∠PAB,
∴∠DAC=∠CAB.
在△ADC与△AGC中,$\begin{cases} AD=AG, \\ ∠DAC=∠GAC, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ADC≌△AGC(SAS),
∴∠DCA=∠ACG.
∵AP//BQ,
∴∠DAC+∠CAB+∠GBC+∠CBE=180°.
∵∠DAC=∠CAB,∠GBC=∠CBE,
∴∠CAB+∠GBC=90°,
∴∠ACB=90°,即∠ACG+∠GCB=90°.
∵∠DCA+∠ACG+∠GCB+∠BCE=180°,
∴∠DCA+∠BCE=90°,
∴∠GCB=∠ECB.
在△BGC与△BEC中,$\begin{cases} ∠GCB=∠ECB, \\ BC=BC, \\ ∠GBC=∠EBC, \end{cases}$
∴△BGC≌△BEC(ASA),
∴BG=BE,
∴AD+BE=AG+BG=AB.
(3)解:(1)中结论不成立.
当点D在射线AP上,点E在射线BQ的反向延长线上时,如答图③,AD−BE=AB;
当点D在射线AP的反向延长线上,点E在射线BQ上时,如答图④,BE−AD=AB.
第2题答图
2. (1)证明:如答图①,过点C作CF⊥AB于点F.
∵AC平分∠PAB,BC平分∠QBA,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵l⊥AP,PA//BQ,
∴∠EDA=∠DEB=90°.
∵CF⊥AB,
∴∠AFC=90°,
∴∠1+∠5=90°.
又
∵∠2+∠6=90°,
∴∠5=∠6.
在△ACD与△ACF中,$\begin{cases} ∠2=∠1, \\ AC=AC, \\ ∠6=∠5, \end{cases}$
∴△ACD≌△ACF,
∴AD=AF.
同理BF=BE.
∵AB=AF+BF,
∴AB=AD+BE.
(2)解:(1)中结论成立,证明如下:
如答图②,在AB上截取AG=AD,连接CG.
∵AC平分∠PAB,
∴∠DAC=∠CAB.
在△ADC与△AGC中,$\begin{cases} AD=AG, \\ ∠DAC=∠GAC, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ADC≌△AGC(SAS),
∴∠DCA=∠ACG.
∵AP//BQ,
∴∠DAC+∠CAB+∠GBC+∠CBE=180°.
∵∠DAC=∠CAB,∠GBC=∠CBE,
∴∠CAB+∠GBC=90°,
∴∠ACB=90°,即∠ACG+∠GCB=90°.
∵∠DCA+∠ACG+∠GCB+∠BCE=180°,
∴∠DCA+∠BCE=90°,
∴∠GCB=∠ECB.
在△BGC与△BEC中,$\begin{cases} ∠GCB=∠ECB, \\ BC=BC, \\ ∠GBC=∠EBC, \end{cases}$
∴△BGC≌△BEC(ASA),
∴BG=BE,
∴AD+BE=AG+BG=AB.
(3)解:(1)中结论不成立.
当点D在射线AP上,点E在射线BQ的反向延长线上时,如答图③,AD−BE=AB;
当点D在射线AP的反向延长线上,点E在射线BQ上时,如答图④,BE−AD=AB.
第2题答图解析：
【分析】
(1) 要证明AD+BE=AB，可将AB拆分为两段，分别与AD、BE相等。已知AC平分∠PAB、BC平分∠QBA，且直线l垂直PA，结合PA//QB可知l也垂直QB，过点C作CF⊥AB，利用角平分线的性质构造全等三角形，分别证明△ACD≌△ACF、△BCE≌△BCF，即可得到AD=AF、BE=BF，从而推出结论。
(2) 当直线l与PA不垂直时，采用截长补短法，在AB上截取AG=AD，先通过SAS证明△ADC≌△AGC，再结合平行线的性质和角平分线的定义推出∠ACB=90°，进而得到相等角证明△BGC≌△BEC，得到BG=BE，即可验证AD+BE=AB仍然成立。
(3) 当D、E在AB异侧时，原和的结论不成立，需根据交点在射线的不同位置分类讨论，得到对应的差的数量关系。
【解析】
(1) 证明：如答图①，过点C作CF⊥AB于点F。
∵AC平分∠PAB，BC平分∠QBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4。
∵l⊥AP，PA//BQ，
∴∠EDA=∠DEB=90°。
∵CF⊥AB，
∴∠AFC=90°，
∴∠1+∠5=90°。
又
∵∠2+∠6=90°，
∴∠5=∠6。
在△ACD与△ACF中，
$\begin{cases} ∠2=∠1, \\ AC=AC, \\ ∠6=∠5, \end{cases}$
∴△ACD≌△ACF，
∴AD=AF。
同理可得BF=BE。
∵AB=AF+BF，
∴AB=AD+BE。
(2) 解：(1)中结论成立，证明如下：
如答图②，在AB上截取AG=AD，连接CG。
∵AC平分∠PAB，
∴∠DAC=∠CAB。
在△ADC与△AGC中，
$\begin{cases} AD=AG, \\ ∠DAC=∠GAC, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ADC≌△AGC(SAS)，
∴∠DCA=∠ACG。
∵AP//BQ，
∴∠DAC+∠CAB+∠GBC+∠CBE=180°。
∵∠DAC=∠CAB，∠GBC=∠CBE，
∴∠CAB+∠GBC=90°，
∴∠ACB=90°，即∠ACG+∠GCB=90°。
∵∠DCA+∠ACG+∠GCB+∠BCE=180°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠GCB=∠ECB。
在△BGC与△BEC中，
$\begin{cases} ∠GCB=∠ECB, \\ BC=BC, \\ ∠GBC=∠EBC, \end{cases}$
∴△BGC≌△BEC(ASA)，
∴BG=BE，
∴AD+BE=AG+BG=AB。
(3) 解：(1)中结论不成立。
当点D在射线AP上，点E在射线BQ的反向延长线上时，如答图③，$AD-BE=AB$；
当点D在射线AP的反向延长线上，点E在射线BQ上时，如答图④，$BE-AD=AB$。
【答案】
(1) 证明成立，$AD+BE=AB$；
(2) 成立，证明见解析；
(3) 不成立，数量关系为：当D在射线AP、E在射线BQ反向延长线时，$AD-BE=AB$；当D在射线AP反向延长线、E在射线BQ时，$BE-AD=AB$。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是线段和差问题的典型考法，核心考查截长补短的构造思想，融合了平行线、角平分线、全等三角形的相关知识点，第三问需要结合交点位置分类讨论，能有效锻炼图形分析能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明AD+BE=AB，可将AB拆分为两段，分别与AD、BE相等。已知AC平分∠PAB、BC平分∠QBA，且直线l垂直PA，结合PA//QB可知l也垂直QB，过点C作CF⊥AB，利用角平分线的性质构造全等三角形，分别证明△ACD≌△ACF、△BCE≌△BCF，即可得到AD=AF、BE=BF，从而推出结论。
(2) 当直线l与PA不垂直时，采用截长补短法，在AB上截取AG=AD，先通过SAS证明△ADC≌△AGC，再结合平行线的性质和角平分线的定义推出∠ACB=90°，进而得到相等角证明△BGC≌△BEC，得到BG=BE，即可验证AD+BE=AB仍然成立。
(3) 当D、E在AB异侧时，原和的结论不成立，需根据交点在射线的不同位置分类讨论，得到对应的差的数量关系。
【解析】
(1) 证明：如答图①，过点C作CF⊥AB于点F。
∵AC平分∠PAB，BC平分∠QBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4。
∵l⊥AP，PA//BQ，
∴∠EDA=∠DEB=90°。
∵CF⊥AB，
∴∠AFC=90°，
∴∠1+∠5=90°。
又
∵∠2+∠6=90°，
∴∠5=∠6。
在△ACD与△ACF中，
$\begin{cases} ∠2=∠1, \\ AC=AC, \\ ∠6=∠5, \end{cases}$
∴△ACD≌△ACF，
∴AD=AF。
同理可得BF=BE。
∵AB=AF+BF，
∴AB=AD+BE。
(2) 解：(1)中结论成立，证明如下：
如答图②，在AB上截取AG=AD，连接CG。
∵AC平分∠PAB，
∴∠DAC=∠CAB。
在△ADC与△AGC中，
$\begin{cases} AD=AG, \\ ∠DAC=∠GAC, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ADC≌△AGC(SAS)，
∴∠DCA=∠ACG。
∵AP//BQ，
∴∠DAC+∠CAB+∠GBC+∠CBE=180°。
∵∠DAC=∠CAB，∠GBC=∠CBE，
∴∠CAB+∠GBC=90°，
∴∠ACB=90°，即∠ACG+∠GCB=90°。
∵∠DCA+∠ACG+∠GCB+∠BCE=180°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠GCB=∠ECB。
在△BGC与△BEC中，
$\begin{cases} ∠GCB=∠ECB, \\ BC=BC, \\ ∠GBC=∠EBC, \end{cases}$
∴△BGC≌△BEC(ASA)，
∴BG=BE，
∴AD+BE=AG+BG=AB。
(3) 解：(1)中结论不成立。
当点D在射线AP上，点E在射线BQ的反向延长线上时，如答图③，$AD-BE=AB$；
当点D在射线AP的反向延长线上，点E在射线BQ上时，如答图④，$BE-AD=AB$。
【答案】
(1) 证明成立，$AD+BE=AB$；
(2) 成立，证明见解析；
(3) 不成立，数量关系为：当D在射线AP、E在射线BQ反向延长线时，$AD-BE=AB$；当D在射线AP反向延长线、E在射线BQ时，$BE-AD=AB$。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是线段和差问题的典型考法，核心考查截长补短的构造思想，融合了平行线、角平分线、全等三角形的相关知识点，第三问需要结合交点位置分类讨论，能有效锻炼图形分析能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6