1.【综合实践】在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形. 兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”. 因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”. 如图①，$△ ABC$与$△ ADE$都是等腰三角形，其中$∠ BAC=∠ DAE$，则$△ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$.
【初步把握】如图②，$△ ABC$与$△ ADE$都是等腰三角形，$AB=AC$，$AD=AE$，且$∠ BAC=∠ DAE$，则有$\_\_\_\_\_\_≌\_\_\_\_\_\_$；
【深入研究】如图③，已知$△ ABC$，以$AB$，$AC$为边分别向外作等边$△ ABD$和等边$△ ACE$，并连接$BE$，$CD$，求证：$BE=CD$；
【拓展延伸】如图④，在$△ ABC$和$△ ADE$中，$AB=AC$，$AE=AD$，$∠ BAC=∠ DAE=90°$，连接$BD$，$CE$交于点$P$，请判断$BD$和$CE$的关系，并说明理由.
【初步把握】如图②，$△ ABC$与$△ ADE$都是等腰三角形，$AB=AC$，$AD=AE$，且$∠ BAC=∠ DAE$，则有$\_\_\_\_\_\_≌\_\_\_\_\_\_$；
【深入研究】如图③，已知$△ ABC$，以$AB$，$AC$为边分别向外作等边$△ ABD$和等边$△ ACE$，并连接$BE$，$CD$，求证：$BE=CD$；
【拓展延伸】如图④，在$△ ABC$和$△ ADE$中，$AB=AC$，$AE=AD$，$∠ BAC=∠ DAE=90°$，连接$BD$，$CE$交于点$P$，请判断$BD$和$CE$的关系，并说明理由.
答案：1.【初步把握】$△ ABD \quad △ ACE$
【深入研究】证明:$\because △ ABD$和$△ ACE$都是等边三角形，
$\therefore AB=AD,AE=AC,∠ BAD=∠ CAE=60°$，
$\therefore ∠ BAD+∠ BAC=∠ CAE+∠ BAC$，
即$∠ DAC=∠ BAE$.
在$△ ABE$和$△ ADC$中,$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ BAE=∠ DAC, \\ AE=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ADC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BE=CD$.
【拓展延伸】解:$BD=CE,BD⊥ CE$.理由如下:
$\because ∠ BAC=∠ DAE=90°$，
$\therefore ∠ BAC+∠ BAE=∠ DAE+∠ BAE$，
即$∠ CAE=∠ BAD$. 在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BD=CE,∠ ABD=∠ ACE$.
$\because ∠ BPC+∠ ABD=∠ BAC+∠ ACE$，
$\therefore ∠ BPC=∠ BAC=90°,\therefore BD⊥ CE$.
【深入研究】证明:$\because △ ABD$和$△ ACE$都是等边三角形，
$\therefore AB=AD,AE=AC,∠ BAD=∠ CAE=60°$，
$\therefore ∠ BAD+∠ BAC=∠ CAE+∠ BAC$，
即$∠ DAC=∠ BAE$.
在$△ ABE$和$△ ADC$中,$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ BAE=∠ DAC, \\ AE=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ADC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BE=CD$.
【拓展延伸】解:$BD=CE,BD⊥ CE$.理由如下:
$\because ∠ BAC=∠ DAE=90°$，
$\therefore ∠ BAC+∠ BAE=∠ DAE+∠ BAE$，
即$∠ CAE=∠ BAD$. 在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BD=CE,∠ ABD=∠ ACE$.
$\because ∠ BPC+∠ ABD=∠ BAC+∠ ACE$，
$\therefore ∠ BPC=∠ BAC=90°,\therefore BD⊥ CE$.
解析：
【分析】
本题围绕手拉手全等模型设置三层问题，解题思路如下：
1. 初步把握：已知两个共顶点的等腰△ABC和△ADE，顶角∠BAC=∠DAE，两个角同时减去公共角∠CAD即可得到夹角∠BAD=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE，用SAS即可判定对应的全等三角形。
2. 深入研究：等边三角形三边相等、内角均为60°，因此可得AB=AD、AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，两个角同时加公共角∠BAC得到夹角∠DAC=∠BAE，用SAS证△ABE≌△ADC，由全等三角形对应边相等即可得BE=CD。
3. 拓展延伸：先仿照前序思路，利用∠BAC=∠DAE=90°加公共角∠BAE，得到夹角∠BAD=∠CAE，证△ABD≌△ACE，可得BD=CE；再利用全等对应角相等，结合三角形外角性质推导BD与CE的夹角为90°，即可得到垂直关系。
【解析】
初步把握
已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，因此∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中满足SAS全等判定条件。
深入研究
证明：
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE。
在△ABE和△ADC中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAE=∠DAC, \\ AE=AC, \end{cases}$
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=CD。
拓展延伸
BD和CE的关系为BD=CE，BD⊥CE，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
即∠CAE=∠BAD。
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE。
∵∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE（三角形外角性质），
∴∠BPC=∠BAC=90°，
∴BD⊥CE。
【答案】
【初步把握】$\boldsymbol{△ABD}$；$\boldsymbol{△ACE}$
【深入研究】BE=CD，证明见解析
【拓展延伸】$\boldsymbol{BD=CE且BD⊥CE}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等边三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题以手拉手全等模型为载体，从基础识别到性质证明再到拓展探究，层层递进，核心考查全等三角形的判定和性质的应用，解题的关键是掌握共顶点等角的角的转化方法，有助于提升几何逻辑推理和综合探究能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕手拉手全等模型设置三层问题，解题思路如下：
1. 初步把握：已知两个共顶点的等腰△ABC和△ADE，顶角∠BAC=∠DAE，两个角同时减去公共角∠CAD即可得到夹角∠BAD=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE，用SAS即可判定对应的全等三角形。
2. 深入研究：等边三角形三边相等、内角均为60°，因此可得AB=AD、AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，两个角同时加公共角∠BAC得到夹角∠DAC=∠BAE，用SAS证△ABE≌△ADC，由全等三角形对应边相等即可得BE=CD。
3. 拓展延伸：先仿照前序思路，利用∠BAC=∠DAE=90°加公共角∠BAE，得到夹角∠BAD=∠CAE，证△ABD≌△ACE，可得BD=CE；再利用全等对应角相等，结合三角形外角性质推导BD与CE的夹角为90°，即可得到垂直关系。
【解析】
初步把握
已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，因此∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中满足SAS全等判定条件。
深入研究
证明：
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE。
在△ABE和△ADC中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAE=∠DAC, \\ AE=AC, \end{cases}$
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=CD。
拓展延伸
BD和CE的关系为BD=CE，BD⊥CE，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
即∠CAE=∠BAD。
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE。
∵∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE（三角形外角性质），
∴∠BPC=∠BAC=90°，
∴BD⊥CE。
【答案】
【初步把握】$\boldsymbol{△ABD}$；$\boldsymbol{△ACE}$
【深入研究】BE=CD，证明见解析
【拓展延伸】$\boldsymbol{BD=CE且BD⊥CE}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等边三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题以手拉手全等模型为载体，从基础识别到性质证明再到拓展探究，层层递进，核心考查全等三角形的判定和性质的应用，解题的关键是掌握共顶点等角的角的转化方法，有助于提升几何逻辑推理和综合探究能力。
【难度系数】
0.7