1.模型建立:如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过点A作AD⊥ED于点D,过点B作BE⊥ED于点E.
(1)求证:△BEC≌△CDA;
(2)模型应用:已知直线$l_1:y=-\frac{4}{3}x-4$与y轴交于点A.将直线$l_1$绕着点A逆时针旋转45°至直线$l_2$,如图②,求直线$l_2$的函数表达式.
(1)求证:△BEC≌△CDA;
(2)模型应用:已知直线$l_1:y=-\frac{4}{3}x-4$与y轴交于点A.将直线$l_1$绕着点A逆时针旋转45°至直线$l_2$,如图②,求直线$l_2$的函数表达式.
答案：
1.(1)证明:如答图①,
∵AD⊥ED,BE⊥ED,
∴∠E=∠D=90°,
∴∠3+∠1=90°.
又∠ACB=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2.
在△BEC和△CDA中,$\begin{cases} ∠E=∠D, \\ ∠1=∠2, \\ BC=CA, \end{cases}$
∴△BEC≌△CDA(AAS).
(2)解:过点B作BM⊥AB于点B,交直线$l_2$于点M,过点M作MN⊥x轴于点N,如答图②,
由条件知∠BAM=45°,
∴△ABM为等腰直角三角形.
同理(1)可知△ABO≌△BMN(AAS),
∴MN=BO,NB=OA.
∵直线$l_1:y=-\frac{4}{3}x-4$,
∴点A,B的坐标分别为(0,-4),(-3,0),
∴MN=BO=3,BN=OA=4,则ON=7,
∴M(-7,-3).
设直线$l_2$的函数表达式为y=kx+b,
将M(-7,-3),A(0,-4)代入,得$\begin{cases} -3=-7k+b, \\ b=-4, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-\frac{1}{7}, \\ b=-4, \end{cases}$
∴直线$l_2$的函数表达式为$y=-\frac{1}{7}x-4$.
1.(1)证明:如答图①,
∵AD⊥ED,BE⊥ED,
∴∠E=∠D=90°,
∴∠3+∠1=90°.
又∠ACB=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2.
在△BEC和△CDA中,$\begin{cases} ∠E=∠D, \\ ∠1=∠2, \\ BC=CA, \end{cases}$
∴△BEC≌△CDA(AAS).
(2)解:过点B作BM⊥AB于点B,交直线$l_2$于点M,过点M作MN⊥x轴于点N,如答图②,
由条件知∠BAM=45°,
∴△ABM为等腰直角三角形.
同理(1)可知△ABO≌△BMN(AAS),
∴MN=BO,NB=OA.
∵直线$l_1:y=-\frac{4}{3}x-4$,
∴点A,B的坐标分别为(0,-4),(-3,0),
∴MN=BO=3,BN=OA=4,则ON=7,
∴M(-7,-3).
设直线$l_2$的函数表达式为y=kx+b,
将M(-7,-3),A(0,-4)代入,得$\begin{cases} -3=-7k+b, \\ b=-4, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-\frac{1}{7}, \\ b=-4, \end{cases}$
∴直线$l_2$的函数表达式为$y=-\frac{1}{7}x-4$.
解析：
【分析】
(1) 要证明△BEC≌△CDA，首先由AD⊥ED、BE⊥ED可得两个直角相等，再结合∠ACB=90°，利用同角的余角相等推出一组锐角相等，最后结合已知CB=CA，即可用AAS判定两个三角形全等。
(2) 求直线$l_2$的解析式需要先确定$l_2$上两个点的坐标，已知$l_2$过点A，因此只需再找一个点即可。由旋转45°的性质可得∠BAM=45°，可构造等腰直角△ABM，迁移(1)中的全等模型，过B作BM⊥AB交$l_2$于M，再作MN⊥x轴，证明△ABO≌△BMN得到M点坐标，最后用待定系数法代入两点坐标即可求出$l_2$的解析式。
【解析】
(1) 证明:如答图①,
∵AD⊥ED,BE⊥ED,
∴∠E=∠D=90°,
∴∠3+∠1=90°.
又∠ACB=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2.
在△BEC和△CDA中,$\begin{cases} ∠E=∠D, \\ ∠1=∠2, \\ BC=CA, \end{cases}$
∴△BEC≌△CDA(AAS).
(2) 解:过点B作BM⊥AB于点B,交直线$l_2$于点M,过点M作MN⊥x轴于点N,如答图②,
由旋转性质知∠BAM=45°，又BM⊥AB，
∴△ABM为等腰直角三角形，AB=BM。
同理(1)的全等结论可证△ABO≌△BMN(AAS),
∴MN=BO,NB=OA.
对于直线$l_1:y=-\frac{4}{3}x-4$,
令x=0，得y=-4，即A(0,-4)，OA=4；
令y=0，解得x=-3，即B(-3,0)，BO=3。
∴MN=BO=3，BN=OA=4，
可得点M的横坐标为-3-4=-7，纵坐标为0-3=-3，即M(-7,-3)。
设直线$l_2$的函数表达式为y=kx+b,
将M(-7,-3)、A(0,-4)代入得$\begin{cases} -3=-7k+b, \\ b=-4, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-\frac{1}{7}, \\ b=-4, \end{cases}$
∴直线$l_2$的函数表达式为$y=-\frac{1}{7}x-4$。
【答案】
1.(1)证明:如答图①,
∵AD⊥ED,BE⊥ED,
∴∠E=∠D=90°,
∴∠3+∠1=90°.
又∠ACB=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2.
在△BEC和△CDA中,$\begin{cases} ∠E=∠D, \\ ∠1=∠2, \\ BC=CA, \end{cases}$
∴△BEC≌△CDA(AAS).
(2)直线$l_2$的函数表达式为$y=-\frac{1}{7}x-4$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，一次函数解析式求解，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何模型与一次函数的综合题，第一问是经典的一线三等角（K型）全等模型的基础证明，难度较低；第二问需要灵活迁移第一问的几何模型构造辅助线，结合一次函数的性质求点坐标，既考查了模型迁移能力，也考查了待定系数法的应用，对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△BEC≌△CDA，首先由AD⊥ED、BE⊥ED可得两个直角相等，再结合∠ACB=90°，利用同角的余角相等推出一组锐角相等，最后结合已知CB=CA，即可用AAS判定两个三角形全等。
(2) 求直线$l_2$的解析式需要先确定$l_2$上两个点的坐标，已知$l_2$过点A，因此只需再找一个点即可。由旋转45°的性质可得∠BAM=45°，可构造等腰直角△ABM，迁移(1)中的全等模型，过B作BM⊥AB交$l_2$于M，再作MN⊥x轴，证明△ABO≌△BMN得到M点坐标，最后用待定系数法代入两点坐标即可求出$l_2$的解析式。
【解析】
(1) 证明:如答图①,
∵AD⊥ED,BE⊥ED,
∴∠E=∠D=90°,
∴∠3+∠1=90°.
又∠ACB=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2.
在△BEC和△CDA中,$\begin{cases} ∠E=∠D, \\ ∠1=∠2, \\ BC=CA, \end{cases}$
∴△BEC≌△CDA(AAS).
(2) 解:过点B作BM⊥AB于点B,交直线$l_2$于点M,过点M作MN⊥x轴于点N,如答图②,
由旋转性质知∠BAM=45°，又BM⊥AB，
∴△ABM为等腰直角三角形，AB=BM。
同理(1)的全等结论可证△ABO≌△BMN(AAS),
∴MN=BO,NB=OA.
对于直线$l_1:y=-\frac{4}{3}x-4$,
令x=0，得y=-4，即A(0,-4)，OA=4；
令y=0，解得x=-3，即B(-3,0)，BO=3。
∴MN=BO=3，BN=OA=4，
可得点M的横坐标为-3-4=-7，纵坐标为0-3=-3，即M(-7,-3)。
设直线$l_2$的函数表达式为y=kx+b,
将M(-7,-3)、A(0,-4)代入得$\begin{cases} -3=-7k+b, \\ b=-4, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-\frac{1}{7}, \\ b=-4, \end{cases}$
∴直线$l_2$的函数表达式为$y=-\frac{1}{7}x-4$。
【答案】
1.(1)证明:如答图①,
∵AD⊥ED,BE⊥ED,
∴∠E=∠D=90°,
∴∠3+∠1=90°.
又∠ACB=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2.
在△BEC和△CDA中,$\begin{cases} ∠E=∠D, \\ ∠1=∠2, \\ BC=CA, \end{cases}$
∴△BEC≌△CDA(AAS).
(2)直线$l_2$的函数表达式为$y=-\frac{1}{7}x-4$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，一次函数解析式求解，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何模型与一次函数的综合题，第一问是经典的一线三等角（K型）全等模型的基础证明，难度较低；第二问需要灵活迁移第一问的几何模型构造辅助线，结合一次函数的性质求点坐标，既考查了模型迁移能力，也考查了待定系数法的应用，对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
2. 如图,直线 $y=-\dfrac{1}{2}x-6$ 与 $x$ 轴交于点 $A$,点 $B(-6,m)$ 也在该直线上,点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $C$,直线 $BC$ 交 $x$ 轴于点 $D$,点 $E$ 的坐标为 $(0,\dfrac{11}{2})$,连接 $AC,CE$.
(1)$m$ 的值为 ______,点 $C$ 的坐标为 ______;
(2)求直线 $AC$ 的函数表达式;
(3)晶晶有个想法:“设 $S=S_{△ ABD}+S_{\mathrm{四边形}DCEO}$. 由点 $B$ 与点 $C$ 关于 $x$ 轴对称易得 $S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$,而 $△ ACD$ 与四边形 $DCEO$ 拼接后可看成 $△ AOE$,这样求 $S$ 便转化为直接求 $△ AOE$ 的面积.”但经反复演算,发现 $S_{△ AOE}≠ S$,请通过计算解释她的想法错在哪里.
(1)$m$ 的值为 ______,点 $C$ 的坐标为 ______;
(2)求直线 $AC$ 的函数表达式;
(3)晶晶有个想法:“设 $S=S_{△ ABD}+S_{\mathrm{四边形}DCEO}$. 由点 $B$ 与点 $C$ 关于 $x$ 轴对称易得 $S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$,而 $△ ACD$ 与四边形 $DCEO$ 拼接后可看成 $△ AOE$,这样求 $S$ 便转化为直接求 $△ AOE$ 的面积.”但经反复演算,发现 $S_{△ AOE}≠ S$,请通过计算解释她的想法错在哪里.
答案：2.(1)-3 (-6,3)
(2)解:
∵直线$y=-\frac{1}{2}x-6$与x轴交于点A,
∴A(-12,0).
设直线AC的函数表达式为y=kx+b,由题意,得
$\begin{cases} -12k+b=0, \\ -6k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\frac{1}{2}, \\ b=6, \end{cases}$
∴直线AC的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+6$.
(3)解:由(2)知直线AC的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+6$.
令x=0,得y=6,
∴直线AC与y轴的交点坐标为(0,6).
而点E的坐标为$(0,\frac{11}{2})$,
∴点E不在直线AC上,即点A,C,E不在同一条直线上,
∴$S_{△AOE}≠S$.
(2)解:
∵直线$y=-\frac{1}{2}x-6$与x轴交于点A,
∴A(-12,0).
设直线AC的函数表达式为y=kx+b,由题意,得
$\begin{cases} -12k+b=0, \\ -6k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\frac{1}{2}, \\ b=6, \end{cases}$
∴直线AC的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+6$.
(3)解:由(2)知直线AC的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+6$.
令x=0,得y=6,
∴直线AC与y轴的交点坐标为(0,6).
而点E的坐标为$(0,\frac{11}{2})$,
∴点E不在直线AC上,即点A,C,E不在同一条直线上,
∴$S_{△AOE}≠S$.
解析：
【分析】
(1) 求m时，点B在已知直线上，将B的横坐标代入直线解析式即可算出m的值；点C是B关于x轴的对称点，根据关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数的规律，就能得到C的坐标。
(2) 求直线AC的解析式，首先求A点坐标：A是已知直线与x轴的交点，令y=0代入直线方程求出x即可得到A的坐标；再用待定系数法，设直线AC解析式为y=kx+b，将A、C两点坐标代入得到二元一次方程组，解出k、b即可得到解析式。
(3) 晶晶的思路成立的前提是A、C、E三点共线，这样△ACD和四边形DCEO才能拼接成△AOE。只需要验证点E是否在直线AC上即可：先求出直线AC与y轴的交点坐标，和E的坐标对比，若不相等则说明E不在AC上，三点不共线，因此面积不相等。
【解析】
(1) 将x=-6代入$y=-\dfrac{1}{2}x-6$，得$m=-\dfrac{1}{2}×(-6)-6=-3$，即B(-6,-3)；因为C与B关于x轴对称，所以C的坐标为(-6,3)。
(2) 对于直线$y=-\dfrac{1}{2}x-6$，令y=0，得$0=-\dfrac{1}{2}x-6$，解得x=-12，即A(-12,0)。
设直线AC的函数表达式为y=kx+b，将A(-12,0)、C(-6,3)代入得：
$\begin{cases} -12k+b=0 \\ -6k+b=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{2} \\ b=6 \end{cases}$
因此直线AC的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}x+6$。
(3) 对于直线AC的解析式$y=\dfrac{1}{2}x+6$，令x=0，得y=6，即直线AC与y轴的交点为(0,6)，而点E的坐标为$(0,\dfrac{11}{2})$，与(0,6)不相等，说明点E不在直线AC上，即A、C、E三点不共线，因此$S_{△ AOE}≠S$。
【答案】
(1) $-3$；$(-6,3)$
(2) $y=\dfrac{1}{2}x+6$
(3) 点E不在直线AC上，A、C、E三点不共线，故$S_{△ AOE}≠S$。
【知识点】
一次函数点坐标特征，待定系数法求解析式，轴对称坐标规律
【点评】
本题综合考查一次函数的相关应用，解题关键是熟练掌握坐标求解、待定系数法的操作，涉及图形拼接类的结论要注意验证前提条件是否成立，避免想当然出错。
【难度系数】
0.7
(1) 求m时，点B在已知直线上，将B的横坐标代入直线解析式即可算出m的值；点C是B关于x轴的对称点，根据关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数的规律，就能得到C的坐标。
(2) 求直线AC的解析式，首先求A点坐标：A是已知直线与x轴的交点，令y=0代入直线方程求出x即可得到A的坐标；再用待定系数法，设直线AC解析式为y=kx+b，将A、C两点坐标代入得到二元一次方程组，解出k、b即可得到解析式。
(3) 晶晶的思路成立的前提是A、C、E三点共线，这样△ACD和四边形DCEO才能拼接成△AOE。只需要验证点E是否在直线AC上即可：先求出直线AC与y轴的交点坐标，和E的坐标对比，若不相等则说明E不在AC上，三点不共线，因此面积不相等。
【解析】
(1) 将x=-6代入$y=-\dfrac{1}{2}x-6$，得$m=-\dfrac{1}{2}×(-6)-6=-3$，即B(-6,-3)；因为C与B关于x轴对称，所以C的坐标为(-6,3)。
(2) 对于直线$y=-\dfrac{1}{2}x-6$，令y=0，得$0=-\dfrac{1}{2}x-6$，解得x=-12，即A(-12,0)。
设直线AC的函数表达式为y=kx+b，将A(-12,0)、C(-6,3)代入得：
$\begin{cases} -12k+b=0 \\ -6k+b=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{2} \\ b=6 \end{cases}$
因此直线AC的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}x+6$。
(3) 对于直线AC的解析式$y=\dfrac{1}{2}x+6$，令x=0，得y=6，即直线AC与y轴的交点为(0,6)，而点E的坐标为$(0,\dfrac{11}{2})$，与(0,6)不相等，说明点E不在直线AC上，即A、C、E三点不共线，因此$S_{△ AOE}≠S$。
【答案】
(1) $-3$；$(-6,3)$
(2) $y=\dfrac{1}{2}x+6$
(3) 点E不在直线AC上，A、C、E三点不共线，故$S_{△ AOE}≠S$。
【知识点】
一次函数点坐标特征，待定系数法求解析式，轴对称坐标规律
【点评】
本题综合考查一次函数的相关应用，解题关键是熟练掌握坐标求解、待定系数法的操作，涉及图形拼接类的结论要注意验证前提条件是否成立，避免想当然出错。
【难度系数】
0.7