【分析】
(1) 先根据等腰三角形性质得到底角相等，结合角平分线的定义表示出各角，再根据“内好线”的定义可知分割出的两个三角形均为等腰三角形，设未知角利用三角形内角和列方程求解，即可得到∠BDC的度数。
(2) 要证明AE是内好线，需证明AE将△ABC分成两个等腰三角形：先根据线段垂直平分线的性质得到△EAC为等腰三角形，再利用外角性质结合已知∠B=2∠C，证明△EAB也为等腰三角形即可。
(3) 已知∠A=24°，∠B为钝角，需分类讨论内好线的出发顶点，以及分割后两个等腰三角形的腰的对应关系，计算出∠B的度数后筛选出符合钝角要求的结果，注意舍去不符合条件的情况。
【解析】
(1) 设∠A=x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=$\frac{180° - x}{2}$。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{180° - x}{4}$。
∵BD是内好线，
∴△ABD、△BCD均为等腰三角形，结合AB＞BC可得AD=BD、BD=BC，
∴∠A=∠ABD=x，即$x=\frac{180° - x}{4}$，解得x=36°，
∴∠C=$\frac{180° - 36°}{2}=72°$，
∴∠BDC=∠C=72°。
(2) 证明：
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC=∠C，
由三角形外角性质得∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，
∴AB=AE，即△EAB是等腰三角形，
∴AE将△ABC分为两个等腰三角形，故AE是△ABC的一条内好线。
(3) 分情况讨论：
① 内好线从B出发交AC于E：
当AE=BE时，如答图①，∠A=∠EBA=24°，∠CEB=24°+24°=48°。若BC=BE，则∠C=48°，∠ABC=180°-24°-48°=108°（钝角，符合）；若BC=CE，∠CBE=48°，∠ABC=24°+48°=72°＜90°，舍去；若CE=BE，∠C=∠CBE=66°，∠ABC=24°+66°=90°，不是钝角，舍去。
当AE=AB时，如答图②，∠AEB=∠ABE=$\frac{180° -24°}{2}=78°$，∠CEB=180°-78°=102°＞90°，则CE=BE，∠C=∠CBE=39°，∠ABC=78°+39°=117°（钝角，符合）。
当AB=BE时，如答图③，∠AEB=∠A=24°，∠ABE=180°-2×24°=132°，∠CEB=180°-24°=156°＞90°，则BE=CE，∠C=∠CBE=12°，∠ABC=132°+12°=144°（钝角，符合）。
② 内好线从C出发交AB于E：CE=AE时∠A=∠ACE=24°，∠BEC=48°，若BC=BE，∠ABC=84°＜90°，舍去。
③ 内好线从A出发交BC于E，如答图⑤：CE=AE，则∠C=∠CAE，∠AEB=2∠CAE，又BE=AB，故∠BAE=∠AEB=2∠CAE，∠BAC=3∠CAE=24°，得∠CAE=8°，∠BAE=16°，∠ABC=180°-2×16°=148°（钝角，符合）。
综上可得符合条件的∠B的度数。
【答案】
(1) $\boxed{72}$
(2) 证明过程见解析
(3) $\boxed{108°}$或$\boxed{117°}$或$\boxed{144°}$或$\boxed{148°}$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内外角性质
【点评】
本题属于新定义题型，解题核心是准确理解新定义的含义，结合等腰三角形的性质进行分类讨论，第三问分类时要注意覆盖所有可能的情况，同时根据∠B为钝角的约束条件排除不符合的结果，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.3

【分析】
(1) 根据勾股分割点的定义，已知MN是三条边中最长的边，因此MN为直角三角形的斜边，直接代入勾股定理计算即可得到BN的长度。
(2) ①要证明M、N是线段AB的勾股分割点，需证AM、MN、BN满足勾股定理关系。可通过构造全等三角形，将BN转化为等长线段，与AM、MN放到同一个直角三角形中：构造∠PCN=90°且CP=CN，先证△APC≌△BNC得PA=BN，再证△PCM≌△NCM得PM=MN，最后证明∠PAM为直角，即可推出三条线段的勾股关系。
②当N在AB延长线上时，同样用旋转构造全等的思路：将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAE，先证△MCE≌△MCN得ME=MN，再证∠MAE为直角，得到MN²=AM²+BN²，结合MN=BM+BN列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵点M,N是线段AB的勾股分割点，且MN为最长边，
∴MN是以AM、MN、BN为边的直角三角形的斜边，
由勾股定理得：$AM^2 + BN^2 = MN^2$，
代入$AM=12$，$MN=13$，得$12^2 + BN^2 =13^2$，
解得$BN=5$（线段长度为正，舍去负值）。
(2) ①证明：如答图①，作$∠ PCN=90°$且$CP=CN$，连接$AP$，$MP$。
$\because ∠ PCN=∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ PCN-∠ ACN=∠ ACB-∠ ACN$，即$∠ PCA=∠ NCB$。
在$△ APC$和$△ BNC$中：
$\begin{cases} CP=CN, \\ ∠ PCA=∠ NCB, \\ AC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ APC≌△ BNC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore PA=NB$，$∠ PAC=∠ B$。
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ BAC+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ PAM=∠ BAC+∠ PAC=∠ BAC+∠ B=90°$。
$\because ∠ MCN=45°$，
$\therefore ∠ PCM=90°-∠ MCN=45°=∠ MCN$。
在$△ PCM$和$△ NCM$中：
$\begin{cases} CP=CN, \\ ∠ PCM=∠ NCM, \\ CM=CM, \end{cases}$
$\therefore △ PCM≌△ NCM(\mathrm{SAS})$，
$\therefore PM=NM$。
在$\mathrm{Rt}△ PAM$中，由勾股定理得$PA^2+AM^2=PM^2$，
$\therefore BN^2+AM^2=MN^2$，
$\therefore$点$M,N$是线段$AB$的勾股分割点。
②解：如答图②，将$△ CBN$绕点$C$逆时针旋转$90°$得到$△ CAE$，连接$ME$。
由旋转性质得：$AE=BN=8$，$CE=CN$，$∠ ACE=∠ BCN$，$∠ CAE=∠ CBN$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，
$\therefore ∠ CAB=∠ CBA=45°$，
$\therefore ∠ CBN=180°-45°=135°$，即$∠ CAE=135°$，
$\therefore ∠ MAE=∠ CAE-∠ CAB=135°-45°=90°$。
$\because ∠ ACE+∠ ECB=90°$，
$\therefore ∠ BCN+∠ ECB=90°$，即$∠ ECN=90°$。
$\because ∠ MCN=45°$，
$\therefore ∠ ECM=∠ ECN-∠ MCN=90°-45°=45°=∠ MCN$。
在$△ MCE$和$△ MCN$中：
$\begin{cases} CM=CM, \\ ∠ ECM=∠ NCM, \\ CE=CN, \end{cases}$
$\therefore △ MCE≌△ MCN(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ME=MN$。
在$\mathrm{Rt}△ MAE$中，由勾股定理得$ME^2=AM^2+AE^2$，
$\therefore MN^2=AM^2+BN^2$。
$\because$点$N$在线段$AB$的延长线上，
$\therefore MN=BM+BN=BM+8$，
代入$AM=6$，$BN=8$得：$(BM+8)^2=6^2+8^2$，
即$(BM+8)^2=100$，
解得$BM=2$（舍去负值）。
【答案】
2.(1)$5$
(2)①证明见上述解析；②$BM$的长为$2$

【知识点】
勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题为新定义类几何综合题，解题的关键是准确理解“勾股分割点”的定义，通过旋转构造全等三角形将分散的线段转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理完成证明或计算，重点考查了转化思想和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6