【模型积累】我们知道“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”不能证明三角形全等，现举反例说明。
反例1
反例2
反例3
在$△ ABC$与$△ ABD$中，
$\begin{cases}AB=AB, \\AD=AC, \\∠ B=∠ B,\end{cases}$
$△ ABC$与$△ ABD$显然不全等
在$△ ABD$与$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB=AC, \\AD=AD, \\∠ B=∠ C,\end{cases}$
$△ ABD$与$△ ACD$显然不全等
在$△ ABD$与$△ ACD$中，
$\begin{cases}BD=CD, \\AD=AD, \\∠ BAD=∠ CAD,\end{cases}$
$△ ABD$与$△ ACD$显然不全等
反例1
反例2
反例3
在$△ ABC$与$△ ABD$中，
$\begin{cases}AB=AB, \\AD=AC, \\∠ B=∠ B,\end{cases}$
$△ ABC$与$△ ABD$显然不全等
在$△ ABD$与$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB=AC, \\AD=AD, \\∠ B=∠ C,\end{cases}$
$△ ABD$与$△ ACD$显然不全等
在$△ ABD$与$△ ACD$中，
$\begin{cases}BD=CD, \\AD=AD, \\∠ BAD=∠ CAD,\end{cases}$
$△ ABD$与$△ ACD$显然不全等
答案：解：
1. 验证反例1：
点D在边BC上，可得$BD＜BC$，
已知$\begin{cases}AB=AB \\ AD=AC \\ ∠B=∠B\end{cases}$，两个三角形的第三边$BC≠BD$，因此$△ ABC$与$△ ABD$不全等。
2. 验证反例2：
点D在边BC上，可得$BD＜CD$，
已知$\begin{cases}AB=AC \\ AD=AD \\ ∠B=∠C\end{cases}$，两个三角形的第三边$BD≠CD$，因此$△ ABD$与$△ ACD$不全等。
3. 验证反例3：
由图可得$AB＜AC$，
已知$\begin{cases}BD=CD \\ AD=AD \\ ∠BAD=∠CAD\end{cases}$，两个三角形的第三边$AB≠AC$，因此$△ ABD$与$△ ACD$不全等。
综上，仅满足两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，"SSA"不能作为三角形全等的判定依据。
1. 验证反例1：
点D在边BC上，可得$BD＜BC$，
已知$\begin{cases}AB=AB \\ AD=AC \\ ∠B=∠B\end{cases}$，两个三角形的第三边$BC≠BD$，因此$△ ABC$与$△ ABD$不全等。
2. 验证反例2：
点D在边BC上，可得$BD＜CD$，
已知$\begin{cases}AB=AC \\ AD=AD \\ ∠B=∠C\end{cases}$，两个三角形的第三边$BD≠CD$，因此$△ ABD$与$△ ACD$不全等。
3. 验证反例3：
由图可得$AB＜AC$，
已知$\begin{cases}BD=CD \\ AD=AD \\ ∠BAD=∠CAD\end{cases}$，两个三角形的第三边$AB≠AC$，因此$△ ABD$与$△ ACD$不全等。
综上，仅满足两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，"SSA"不能作为三角形全等的判定依据。
解析：
【分析】
本题旨在验证“两边及其中一边的对角对应相等（SSA）不能判定三角形全等”。解题时可按以下思路思考：首先明确全等三角形的本质是所有对应边、对应角都相等，只要两个三角形存在一组对应边不相等，就一定不全等。我们依次分析三个反例：先确认每个反例中两个三角形的相等条件属于SSA类型，再结合图形找到两个三角形不相等的一组对应边，即可证明它们不全等，最后归纳得出通用结论。
【解析】
1. 验证反例1：
观察图形可知点D在边BC上，可得$BD＜BC$，即$BC≠BD$。
已知$\begin{cases}AB=AB \\ AD=AC \\ ∠B=∠B\end{cases}$，两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等，但第三边$BC≠BD$，因此$△ ABC$与$△ ABD$不全等。
2. 验证反例2：
观察图形可知点D在边BC上，可得$BD＜CD$，即$BD≠CD$。
已知$\begin{cases}AB=AC \\ AD=AD \\ ∠B=∠C\end{cases}$，两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等，但第三边$BD≠CD$，因此$△ ABD$与$△ ACD$不全等。
3. 验证反例3：
观察图形可得$AB＜AC$，即$AB≠AC$。
已知$\begin{cases}BD=CD \\ AD=AD \\ ∠BAD=∠CAD\end{cases}$，两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等，但第三边$AB≠AC$，因此$△ ABD$与$△ ACD$不全等。
综上，仅满足两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，"SSA"不能作为三角形全等的判定依据。
【答案】
仅满足两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，"SSA"不能作为三角形全等的判定依据。
【知识点】
三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题通过三个直观的反例，清晰地证明了SSA不能作为三角形全等的判定依据，能帮助同学们准确区分全等三角形的有效判定方法和错误判定，加深对全等判定条件的理解，避免后续解题中误用SSA证明三角形全等。
【难度系数】
0.7
本题旨在验证“两边及其中一边的对角对应相等（SSA）不能判定三角形全等”。解题时可按以下思路思考：首先明确全等三角形的本质是所有对应边、对应角都相等，只要两个三角形存在一组对应边不相等，就一定不全等。我们依次分析三个反例：先确认每个反例中两个三角形的相等条件属于SSA类型，再结合图形找到两个三角形不相等的一组对应边，即可证明它们不全等，最后归纳得出通用结论。
【解析】
1. 验证反例1：
观察图形可知点D在边BC上，可得$BD＜BC$，即$BC≠BD$。
已知$\begin{cases}AB=AB \\ AD=AC \\ ∠B=∠B\end{cases}$，两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等，但第三边$BC≠BD$，因此$△ ABC$与$△ ABD$不全等。
2. 验证反例2：
观察图形可知点D在边BC上，可得$BD＜CD$，即$BD≠CD$。
已知$\begin{cases}AB=AC \\ AD=AD \\ ∠B=∠C\end{cases}$，两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等，但第三边$BD≠CD$，因此$△ ABD$与$△ ACD$不全等。
3. 验证反例3：
观察图形可得$AB＜AC$，即$AB≠AC$。
已知$\begin{cases}BD=CD \\ AD=AD \\ ∠BAD=∠CAD\end{cases}$，两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等，但第三边$AB≠AC$，因此$△ ABD$与$△ ACD$不全等。
综上，仅满足两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，"SSA"不能作为三角形全等的判定依据。
【答案】
仅满足两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，"SSA"不能作为三角形全等的判定依据。
【知识点】
三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题通过三个直观的反例，清晰地证明了SSA不能作为三角形全等的判定依据，能帮助同学们准确区分全等三角形的有效判定方法和错误判定，加深对全等判定条件的理解，避免后续解题中误用SSA证明三角形全等。
【难度系数】
0.7
1.【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示:在$△ ABC$和$△ DEF$中，$AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E$，然后对$∠ B$进行分类，可分为“$∠ B$是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】
第一种情况:当$∠ B$是直角时，$△ ABC≌△ DEF$.
(1)如图①，在$△ ABC$和$△ DEF$中，$AC=DF,BC=EF,∠ B =∠ E= 90°$，根据
第二种情况:当$∠ B$是钝角时，$△ ABC≌△ DEF$.
(2)如图②，在$△ ABC$和$△ DEF$中，$AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E$，且$∠ B,∠ E$都是钝角，求证:$△ ABC≌△ DEF$.
第三种情况:当$∠ B$是锐角时，$△ ABC$和$△ DEF$不一定全等.
(3)在$△ ABC$和$△ DEF$中，$AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E$，且$∠ B,∠ E$都是锐角，请你用尺规在图③中作出$△ DEF$，使$△ DEF$和$△ ABC$不全等.(不写作法，保留作图痕迹)
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示:在$△ ABC$和$△ DEF$中，$AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E$，然后对$∠ B$进行分类，可分为“$∠ B$是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】
第一种情况:当$∠ B$是直角时，$△ ABC≌△ DEF$.
(1)如图①，在$△ ABC$和$△ DEF$中，$AC=DF,BC=EF,∠ B =∠ E= 90°$，根据
HL
，可以知道$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF$.第二种情况:当$∠ B$是钝角时，$△ ABC≌△ DEF$.
(2)如图②，在$△ ABC$和$△ DEF$中，$AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E$，且$∠ B,∠ E$都是钝角，求证:$△ ABC≌△ DEF$.
第三种情况:当$∠ B$是锐角时，$△ ABC$和$△ DEF$不一定全等.
(3)在$△ ABC$和$△ DEF$中，$AC=DF,BC=EF,∠ B=∠ E$，且$∠ B,∠ E$都是锐角，请你用尺规在图③中作出$△ DEF$，使$△ DEF$和$△ ABC$不全等.(不写作法，保留作图痕迹)
答案：
1.(1)HL
(2)证明:如答图①,过点 C 作$CG⊥AB$交 AB 的延长线于点G,过点 F 作$FH⊥DE$交 DE 的延长线于点 H.
$\because ∠ABC=∠DEF$,且$∠ABC,∠DEF$都是钝角,$\therefore 180^{\circ }-∠ABC=180^{\circ }-∠DEF$,即$∠CBG=∠FEH$.
在$△CBG$和$△FEH$中,$\begin{cases} ∠G=∠H=90^{\circ }, \\ ∠CBG=∠FEH, \\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore △CBG≌△FEH(AAS),\therefore CG=FH.$
在$\mathrm{Rt}△ACG$和$\mathrm{Rt}△DFH$中,$\begin{cases} AC=DF, \\ CG=FH, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ACG≌\mathrm{Rt}△DFH(HL),\therefore ∠A=∠D.$
在$△ABC$和$△DEF$中,$\begin{cases} ∠ABC=∠DEF, \\ ∠A=∠D, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△DEF(AAS).$
(3)解:如答图②所示.
1.(1)HL
(2)证明:如答图①,过点 C 作$CG⊥AB$交 AB 的延长线于点G,过点 F 作$FH⊥DE$交 DE 的延长线于点 H.
$\because ∠ABC=∠DEF$,且$∠ABC,∠DEF$都是钝角,$\therefore 180^{\circ }-∠ABC=180^{\circ }-∠DEF$,即$∠CBG=∠FEH$.
在$△CBG$和$△FEH$中,$\begin{cases} ∠G=∠H=90^{\circ }, \\ ∠CBG=∠FEH, \\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore △CBG≌△FEH(AAS),\therefore CG=FH.$
在$\mathrm{Rt}△ACG$和$\mathrm{Rt}△DFH$中,$\begin{cases} AC=DF, \\ CG=FH, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ACG≌\mathrm{Rt}△DFH(HL),\therefore ∠A=∠D.$
在$△ABC$和$△DEF$中,$\begin{cases} ∠ABC=∠DEF, \\ ∠A=∠D, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△DEF(AAS).$
(3)解:如答图②所示.
解析：
【分析】
(1) 小问中两个三角形均为直角三角形，已知斜边$AC=DF$、一组直角边$BC=EF$，对应直角三角形全等的“HL”判定条件，可直接得出结论。
(2) 小问要证明钝角下两边及其中一边对角相等的两个三角形全等，没有直接适用的全等判定定理，因此考虑作高构造直角三角形：先利用等角的补角相等得到一组锐角相等，证高所在的小直角三角形全等，得到高相等后再用HL证另一组直角三角形全等，推出一组对应角相等，最后用AAS即可证明原三角形全等。
(3) 小问利用锐角下“SSA”不能判定全等的特点，以C为圆心、AC长为半径画弧，与AB交于异于A的另一点D，得到的$△ BCD$就满足两边及其中一边对角对应相等但和$△ ABC$不全等，即为所求。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ B=∠ E=90°$，斜边$AC=DF$，直角边$BC=EF$，符合直角三角形全等的HL判定规则，因此可依据HL证明两三角形全等。
(2) 证明：如答图①，过点$C$作$CG⊥ AB$交$AB$的延长线于点$G$，过点$F$作$FH⊥ DE$交$DE$的延长线于点$H$。
$\because ∠ABC=∠DEF$，且$∠ABC,∠DEF$都是钝角，
$\therefore 180^{\circ }-∠ABC=180^{\circ }-∠DEF$，即$∠CBG=∠FEH$。
在$△CBG$和$△FEH$中，
$\begin{cases} ∠G=∠H=90^{\circ }, \\ ∠CBG=∠FEH, \\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore △CBG≌△FEH(AAS)$，$\therefore CG=FH$。
在$\mathrm{Rt}△ACG$和$\mathrm{Rt}△DFH$中，
$\begin{cases} AC=DF, \\ CG=FH, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ACG≌\mathrm{Rt}△DFH(HL)$，$\therefore ∠A=∠D$。
在$△ABC$和$△DEF$中，
$\begin{cases} ∠ABC=∠DEF, \\ ∠A=∠D, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△DEF(AAS)$。
(3) 作图方法：以点$C$为圆心，$AC$长度为半径画弧，与$AB$边交于除点$A$外的另一个交点$D$，连接$CD$，$△ DBC$即为满足条件且和$△ ABC$不全等的$△ DEF$。
【答案】
(1) $\mathrm{HL}$
(2) 证明过程如上，$△ ABC≌△ DEF$得证。
(3)
【知识点】
三角形全等的判定；直角三角形全等的判定；尺规作图
【点评】
本题针对三角形全等判定中"SSA"的适用情况展开分类探究，通过对已知角分直角、钝角、锐角三类分别讨论，明确了SSA不能作为一般三角形全等的判定定理，仅在已知角为直角或钝角时成立，很好地锻炼了分类讨论的数学思想与辅助线构造、逻辑推理的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 小问中两个三角形均为直角三角形，已知斜边$AC=DF$、一组直角边$BC=EF$，对应直角三角形全等的“HL”判定条件，可直接得出结论。
(2) 小问要证明钝角下两边及其中一边对角相等的两个三角形全等，没有直接适用的全等判定定理，因此考虑作高构造直角三角形：先利用等角的补角相等得到一组锐角相等，证高所在的小直角三角形全等，得到高相等后再用HL证另一组直角三角形全等，推出一组对应角相等，最后用AAS即可证明原三角形全等。
(3) 小问利用锐角下“SSA”不能判定全等的特点，以C为圆心、AC长为半径画弧，与AB交于异于A的另一点D，得到的$△ BCD$就满足两边及其中一边对角对应相等但和$△ ABC$不全等，即为所求。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ B=∠ E=90°$，斜边$AC=DF$，直角边$BC=EF$，符合直角三角形全等的HL判定规则，因此可依据HL证明两三角形全等。
(2) 证明：如答图①，过点$C$作$CG⊥ AB$交$AB$的延长线于点$G$，过点$F$作$FH⊥ DE$交$DE$的延长线于点$H$。
$\because ∠ABC=∠DEF$，且$∠ABC,∠DEF$都是钝角，
$\therefore 180^{\circ }-∠ABC=180^{\circ }-∠DEF$，即$∠CBG=∠FEH$。
在$△CBG$和$△FEH$中，
$\begin{cases} ∠G=∠H=90^{\circ }, \\ ∠CBG=∠FEH, \\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore △CBG≌△FEH(AAS)$，$\therefore CG=FH$。
在$\mathrm{Rt}△ACG$和$\mathrm{Rt}△DFH$中，
$\begin{cases} AC=DF, \\ CG=FH, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ACG≌\mathrm{Rt}△DFH(HL)$，$\therefore ∠A=∠D$。
在$△ABC$和$△DEF$中，
$\begin{cases} ∠ABC=∠DEF, \\ ∠A=∠D, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△DEF(AAS)$。
(3) 作图方法：以点$C$为圆心，$AC$长度为半径画弧，与$AB$边交于除点$A$外的另一个交点$D$，连接$CD$，$△ DBC$即为满足条件且和$△ ABC$不全等的$△ DEF$。
【答案】
(1) $\mathrm{HL}$
(2) 证明过程如上，$△ ABC≌△ DEF$得证。
(3)
【知识点】
三角形全等的判定；直角三角形全等的判定；尺规作图
【点评】
本题针对三角形全等判定中"SSA"的适用情况展开分类探究，通过对已知角分直角、钝角、锐角三类分别讨论，明确了SSA不能作为一般三角形全等的判定定理，仅在已知角为直角或钝角时成立，很好地锻炼了分类讨论的数学思想与辅助线构造、逻辑推理的能力。
【难度系数】
0.6