【分析】
要证明$BC=ED$，可通过证明两条边所在的三角形全等实现，即证$△ BAC ≌ △ EAD$。已知$AB=AE$，还需要得到$AC=AD$、$∠ BAC=∠ EAD$两个条件。结合题中“$F$为$CD$中点，$AF ⊥ CD$”的条件，我们可以先连接$AC$、$AD$，先证明$△ ACF ≌ △ ADF$，得到$AC=AD$以及$∠ CAF=∠ DAF$，再结合已知的$∠ BAF=∠ EAF$，即可推出$∠ BAC=∠ EAD$，进而证明$△ BAC ≌ △ EAD$，得到$BC=ED$。
【解析】
证明：如答图，连接$AC$、$AD$。
$\because F$为$CD$的中点，
$\therefore CF=DF$。
$\because AF ⊥ CD$，
$\therefore ∠ AFC=∠ AFD=90°$。
在$△ ACF$和$△ ADF$中，
$\begin{cases} AF=AF, \\ ∠ AFC=∠ AFD, \\ CF=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ACF ≌ △ ADF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AC=AD$，$∠ CAF=∠ DAF$。
$\because ∠ BAF = ∠ BAC + ∠ CAF$，$∠ EAF = ∠ EAD + ∠ DAF$，且$∠ BAF=∠ EAF$，
$\therefore ∠ BAC=∠ EAD$。
在$△ BAC$和$△ EAD$中，
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠ BAC=∠ EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
$\therefore △ BAC ≌ △ EAD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BC=ED$。
【答案】
证明:如答图,连接AC,AD.
∵F为CD的中点,
∴CF=DF.
∵AF⊥CD,
∴∠AFC=∠AFD=90°.
在△ACF和△ADF中,$\begin{cases} AF=AF, \\ ∠AFC=∠AFD, \\ CF=DF, \end{cases}$
∴△ACF≌△ADF(SAS),
∴AC=AD,∠CAF=∠DAF.
∵∠BAF = ∠BAC + ∠CAF, ∠EAF = ∠EAD + ∠DAF,∠BAF=∠EAF,
∴∠BAC=∠EAD.
在△BAC和△EAD中,$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAC=∠EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
∴△BAC≌△EAD(SAS),
∴BC=ED.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；线段中点的定义；垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形的典型应用题型，解题核心是通过添加辅助线构造全等三角形，利用两次全等转化边和角的等量关系，最终推导出待证的边相等，解题时要注意挖掘题中隐含的公共边、角的和差等条件。
【难度系数】
0.7

【分析】
要证明MP=NP，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知MP在Rt△MPH中，因此我们可以过点N作AC延长线的垂线NG，构造Rt△NPG，只需证明这两个直角三角形全等即可。已知AM=CN，△ABC是等边三角形，可得∠A=∠GCN=60°，结合MH⊥AC、NG⊥AC的垂直条件，可先证明△AMH≌△CNG，得到MH=NG，再结合对顶角相等、直角相等的条件，即可证明△PMH≌△PNG，从而得到MP=NP。
【解析】
证明：如答图，过点N作NG⊥AC，交AC的延长线于点G。
∵△ABC是等边三角形，MH⊥AC，
∴∠A=∠ACB=∠GCN=60°，∠AHM=∠CGN=90°。
在△AMH和△CNG中，
$\begin{cases} ∠A=∠GCN, \\ ∠AHM=∠CGN, \\ AM=CN, \end{cases}$
∴△AMH≌△CNG（AAS），
∴MH=NG。
在△PMH和△PNG中，
$\begin{cases} ∠MPH=∠NPG, \\ ∠PHM=∠PGN, \\ MH=NG, \end{cases}$
∴△PMH≌△PNG（AAS），
∴PM=PN。
【答案】
证明:如答图,过点 N 作 NG⊥AC,交 AC 的延长线于点 G.
∵△ABC是等边三角形,MH⊥AC,
∴∠A=∠ACB=∠GCN=60°,∠AHM=∠CGN=90°.
在△AMH和△CNG中,$\begin{cases} ∠A=∠GCN, \\ ∠AHM=∠CGN, \\ AM=CN, \end{cases}$
∴△AMH≌△CNG(AAS),
∴MH=NG.
在△PMH和△PNG中,$\begin{cases} ∠MPH=∠NPG, \\ ∠PHM=∠PGN, \\ MH=NG, \end{cases}$
∴△PMH≌△PNG(AAS),
∴PM=PN.

【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的典型题型，通过作垂线构造全等三角形是解题的关键，解题时需结合已知条件逐步推导，两次运用全等三角形的判定与性质即可得到结论，侧重考察辅助线的构造思路和全等判定的灵活应用。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 要证$CD=BE$，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知$CD⊥ AB$、$BE⊥ AC$可得一组直角相等，结合公共角$∠ A$和已知$AB=AC$，满足AAS全等判定条件，证$△ ABE≌△ ACD$即可得对应边相等。
(2) $CD$与$BE$仍相等，现有条件无法直接证明两线段所在三角形全等，因此构造辅助线转化模型：分别过$C$、$B$作$AB$、$AC$的垂线$CF$、$BG$，先利用等腰三角形底角相等的性质证$△ FBC≌△ GCB$得到$CF=BG$；再根据$∠ ADC+∠ AEB=180°$结合邻补角性质推出$∠ ADC=∠ BEG$，用AAS证$△ CFD≌△ BGE$即可得$CD=BE$。
【解析】
(1) 证明：
$\because CD⊥ AB$，$BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ AEB=∠ ADC=90°$。
在$△ ABE$与$△ ACD$中，
$\begin{cases} ∠ A=∠ A, \\ ∠ AEB=∠ ADC, \\ AB=AC, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore CD=BE$。
(2) 解：$CD=BE$，证明如下：
如答图，过点$C$作$CF⊥ AB$于点$F$，过点$B$作$BG⊥ AC$于点$G$，

$\therefore ∠ CFB=90°$，$∠ BGC=90°$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$。
在$△ FBC$和$△ GCB$中，
$\begin{cases} ∠ CFB=∠ BGC, \\ ∠ FBC=∠ GCB, \\ BC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ FBC≌△ GCB(\mathrm{AAS})$，
$\therefore CF=BG$。
$\because ∠ ADC+∠ AEB=180°$，$∠ BEG+∠ AEB=180°$，
$\therefore ∠ ADC=∠ BEG$。
在$△ CFD$和$△ BGE$中，
$\begin{cases} ∠ FDC=∠ GEB, \\ ∠ CFD=∠ BGE=90°, \\ CF=BG, \end{cases}$
$\therefore △ CFD≌△ BGE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore CD=BE$。
【答案】
3. (1)证明:
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠AEB=∠ADC=90°.
在△ABE与△ACD中,$\begin{cases} ∠A=∠A, \\ ∠AEB=∠ADC, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(AAS),
∴CD=BE.
(2)解:CD=BE.
证明如下:如答图,过点C作CF⊥AB于点F,过点B作BG⊥AC于点G,

∴∠CFB=90°,∠BGC=90°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
在△FBC和△GCB中,$\begin{cases} ∠CFB=∠BGC, \\ ∠FBC=∠GCB, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△FBC≌△GCB,
∴CF=BG.
∵∠ADC+∠AEB=180°,∠BEG+∠AEB=180°,
∴∠ADC=∠BEG.
在△CFD和△BGE中,$\begin{cases} ∠FDC=∠GEB, \\ ∠CFD=∠BGE, \\ CF=BG, \end{cases}$
∴△CFD≌△BGE,
∴CD=BE.
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、补角的性质
【点评】
本题第一问为基础的全等证明题，直接利用已知条件即可求证；第二问需要通过作高构造全等三角形，将间接的角关系转化为全等证明的条件，体现了转化的数学思想，可有效锻炼辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6