1. 求下列各数的平方根.
(1)49；
(2)$\frac{4}{25}$；
(3)$\frac{1}{10^6}$；
(4)0.0016.
(1)49；
(2)$\frac{4}{25}$；
(3)$\frac{1}{10^6}$；
(4)0.0016.
答案：(1)$\pm7$
(2)$\pm\frac{2}{5}$
(3)$\pm\frac{1}{1000}$
(4)$\pm0.04$
(2)$\pm\frac{2}{5}$
(3)$\pm\frac{1}{1000}$
(4)$\pm0.04$
解析：
【分析】
解决求平方根的问题，首先要明确平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么x叫做a的平方根。需要注意正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。本题给出的数都是正数，因此每个数都有两个平方根，解题时只需找到平方后等于对应数的两个互为相反数的数即可，注意不要漏掉负的平方根。
【解析】
(1) 因为$(±7)^2=49$，所以49的平方根是$±7$；
(2) 因为$(±\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$，所以$\frac{4}{25}$的平方根是$±\frac{2}{5}$；
(3) 因为$(±\frac{1}{10^3})^2=\frac{1}{10^6}$，$\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1000}$，所以$\frac{1}{10^6}$的平方根是$±\frac{1}{1000}$；
(4) 因为$(±0.04)^2=0.0016$，所以0.0016的平方根是$±0.04$。
【答案】
(1)$\pm7$
(2)$\pm\frac{2}{5}$
(3)$\pm\frac{1}{1000}$
(4)$\pm0.04$
【知识点】
平方根的定义，开平方运算，有理数乘方
【点评】
本题属于平方根的基础运算题，解题关键是牢记平方根的性质，注意正数的平方根有两个且互为相反数，避免漏写负的平方根，计算时熟练掌握常见整数、分数、小数的乘方结果即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决求平方根的问题，首先要明确平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么x叫做a的平方根。需要注意正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。本题给出的数都是正数，因此每个数都有两个平方根，解题时只需找到平方后等于对应数的两个互为相反数的数即可，注意不要漏掉负的平方根。
【解析】
(1) 因为$(±7)^2=49$，所以49的平方根是$±7$；
(2) 因为$(±\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$，所以$\frac{4}{25}$的平方根是$±\frac{2}{5}$；
(3) 因为$(±\frac{1}{10^3})^2=\frac{1}{10^6}$，$\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1000}$，所以$\frac{1}{10^6}$的平方根是$±\frac{1}{1000}$；
(4) 因为$(±0.04)^2=0.0016$，所以0.0016的平方根是$±0.04$。
【答案】
(1)$\pm7$
(2)$\pm\frac{2}{5}$
(3)$\pm\frac{1}{1000}$
(4)$\pm0.04$
【知识点】
平方根的定义，开平方运算，有理数乘方
【点评】
本题属于平方根的基础运算题，解题关键是牢记平方根的性质，注意正数的平方根有两个且互为相反数，避免漏写负的平方根，计算时熟练掌握常见整数、分数、小数的乘方结果即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 求 $ x $ 的值.
(1)$ x^2 = 16 $;
(2)$ 25x^2 - 36 = 0 $.
(1)$ x^2 = 16 $;
(2)$ 25x^2 - 36 = 0 $.
答案：解:(1)$\because x^2=16,\therefore x=\pm4$.
(2)$\because 25x^2-36=0,\therefore 25x^2=36,\therefore x^2=\frac{36}{25},\therefore x=\pm\frac{6}{5}$.
(2)$\because 25x^2-36=0,\therefore 25x^2=36,\therefore x^2=\frac{36}{25},\therefore x=\pm\frac{6}{5}$.
解析：
【分析】
这两道题均是利用平方根的定义求解未知数x，解题核心是把方程转化为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，再根据“正数有两个互为相反数的平方根”开平方得到结果。第(1)题已经是$x^2=a$的形式，可直接开平方；第(2)题需要先通过移项、系数化为1，把方程整理为$x^2=a$的形式后再开平方，注意不要遗漏负根。
【解析】
(1) $\because x^2=16$，16的平方根为$\pm4$，$\therefore x=\pm4$。
(2) $\because 25x^2-36=0$，移项得$25x^2=36$，两边同时除以25得$x^2=\frac{36}{25}$，$\frac{36}{25}$的平方根为$\pm\frac{6}{5}$，$\therefore x=\pm\frac{6}{5}$。
【答案】
(1)$x=\pm4$；(2)$x=\pm\frac{6}{5}$
【知识点】
平方根的定义；直接开平方法解方程
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查对平方根概念的掌握，解题时要注意正数的平方根有两个且互为相反数，避免漏写负根。
【难度系数】
0.9
这两道题均是利用平方根的定义求解未知数x，解题核心是把方程转化为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，再根据“正数有两个互为相反数的平方根”开平方得到结果。第(1)题已经是$x^2=a$的形式，可直接开平方；第(2)题需要先通过移项、系数化为1，把方程整理为$x^2=a$的形式后再开平方，注意不要遗漏负根。
【解析】
(1) $\because x^2=16$，16的平方根为$\pm4$，$\therefore x=\pm4$。
(2) $\because 25x^2-36=0$，移项得$25x^2=36$，两边同时除以25得$x^2=\frac{36}{25}$，$\frac{36}{25}$的平方根为$\pm\frac{6}{5}$，$\therefore x=\pm\frac{6}{5}$。
【答案】
(1)$x=\pm4$；(2)$x=\pm\frac{6}{5}$
【知识点】
平方根的定义；直接开平方法解方程
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查对平方根概念的掌握，解题时要注意正数的平方根有两个且互为相反数，避免漏写负根。
【难度系数】
0.9
3.已知一个正数$m$的两个不同的平方根是$a-1$与$5-2a$,求$a$和$m$的值.
答案：解:$\because$一个正数$m$的两个不同的平方根是$a-1$与$5-2a$,
$\therefore a-1+5-2a=0$,解得$a=4$,
$\therefore a-1=3$,故$m=3^2=9$.
$\therefore a-1+5-2a=0$,解得$a=4$,
$\therefore a-1=3$,故$m=3^2=9$.
解析：
【分析】
解题时首先回忆正数平方根的性质：一个正数的两个不同平方根互为相反数，二者相加和为0。我们可以利用这一性质先列出关于a的一元一次方程，求出a的取值后，再将a代入其中一个平方根，对结果进行平方运算就能得到m的值。
【解析】
解：$\because$一个正数$m$的两个不同的平方根是$a-1$与$5-2a$，
$\therefore$两个平方根互为相反数，即$a-1+5-2a=0$，
合并同类项得$-a+4=0$，解得$a=4$，
将$a=4$代入$a-1$得$a-1=4-1=3$，
故$m=3^2=9$。
【答案】
$a=4$，$m=9$
【知识点】
平方根的性质、一元一次方程的解法、乘方运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对平方根性质的掌握，只要牢记正数的两个平方根互为相反数这一核心规律，就能通过简单的列方程、运算求出结果，整体运算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆正数平方根的性质：一个正数的两个不同平方根互为相反数，二者相加和为0。我们可以利用这一性质先列出关于a的一元一次方程，求出a的取值后，再将a代入其中一个平方根，对结果进行平方运算就能得到m的值。
【解析】
解：$\because$一个正数$m$的两个不同的平方根是$a-1$与$5-2a$，
$\therefore$两个平方根互为相反数，即$a-1+5-2a=0$，
合并同类项得$-a+4=0$，解得$a=4$，
将$a=4$代入$a-1$得$a-1=4-1=3$，
故$m=3^2=9$。
【答案】
$a=4$，$m=9$
【知识点】
平方根的性质、一元一次方程的解法、乘方运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对平方根性质的掌握，只要牢记正数的两个平方根互为相反数这一核心规律，就能通过简单的列方程、运算求出结果，整体运算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.85
4. 已知$2x^2 - 1 = 13$，求$x$的值.
答案：解:$\because 2x^2-1=13,\therefore 2x^2=14$,即$x^2=7,\therefore x=\pm\sqrt{7}$.
解析：
【分析】
本题是求解一元二次方程的基础题，解题遵循移项、系数化为1、开平方的步骤即可。首先将方程左侧的常数项移到右侧合并同类项，得到仅含x²的项在等号左侧、常数项在右侧的形式，再将x²的系数化为1，最后根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，即可求出x的取值，注意不要遗漏负根。
【解析】
解：$\because 2x^2-1=13$
移项、合并同类项得，$2x^2=14$
系数化为1得，$x^2=7$
开平方得，$x=\pm\sqrt{7}$
【答案】
$x=\pm\sqrt{7}$
【知识点】
直接开平方法解方程，等式的性质，平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题逻辑清晰，核心考查对直接开平方法解方程的掌握，易错点为开平方时漏写负根，做题时需注意细节。
【难度系数】
0.8
本题是求解一元二次方程的基础题，解题遵循移项、系数化为1、开平方的步骤即可。首先将方程左侧的常数项移到右侧合并同类项，得到仅含x²的项在等号左侧、常数项在右侧的形式，再将x²的系数化为1，最后根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，即可求出x的取值，注意不要遗漏负根。
【解析】
解：$\because 2x^2-1=13$
移项、合并同类项得，$2x^2=14$
系数化为1得，$x^2=7$
开平方得，$x=\pm\sqrt{7}$
【答案】
$x=\pm\sqrt{7}$
【知识点】
直接开平方法解方程，等式的性质，平方根的定义
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题逻辑清晰，核心考查对直接开平方法解方程的掌握，易错点为开平方时漏写负根，做题时需注意细节。
【难度系数】
0.8
5. 已知 $3m - 1$ 和 $m - 7$ 是数 $p$ 的平方根，求 $p$ 的值。
答案：解:当$3m-1=m-7$时,解得$m=-3$,
$\therefore 3m-1=-10,\therefore p=100$;
当$3m-1+m-7=0$时,解得$m=2$,
$\therefore 3m-1=5,\therefore p=25$.
$\therefore p$的值是100或25.
$\therefore 3m-1=-10,\therefore p=100$;
当$3m-1+m-7=0$时,解得$m=2$,
$\therefore 3m-1=5,\therefore p=25$.
$\therefore p$的值是100或25.
解析：
【分析】
解决本题首先要明确平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，若两个代数式是同一个数的平方根，则存在两种情况：一是两个代数式表示的是同一个平方根，即二者相等；二是两个代数式分别表示两个互为相反数的平方根，即二者相加等于0。因此我们分两种情况列方程求解m，再代入计算p的值即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当$3m-1$和$m-7$表示同一个平方根时，$3m-1=m-7$，
解得$m=-3$，
$\therefore 3m-1=3×(-3)-1=-10$，
$\therefore p=(-10)^2=100$；
② 当$3m-1$和$m-7$表示两个互为相反数的平方根时，$3m-1+m-7=0$，
解得$m=2$，
$\therefore 3m-1=3×2-1=5$，
$\therefore p=5^2=25$。
【答案】
$p$的值是100或25
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是平方根应用的典型易错题，解题的关键是明确一个数的两个平方根存在相等或互为相反数两种情况，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.5
解决本题首先要明确平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，若两个代数式是同一个数的平方根，则存在两种情况：一是两个代数式表示的是同一个平方根，即二者相等；二是两个代数式分别表示两个互为相反数的平方根，即二者相加等于0。因此我们分两种情况列方程求解m，再代入计算p的值即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当$3m-1$和$m-7$表示同一个平方根时，$3m-1=m-7$，
解得$m=-3$，
$\therefore 3m-1=3×(-3)-1=-10$，
$\therefore p=(-10)^2=100$；
② 当$3m-1$和$m-7$表示两个互为相反数的平方根时，$3m-1+m-7=0$，
解得$m=2$，
$\therefore 3m-1=3×2-1=5$，
$\therefore p=5^2=25$。
【答案】
$p$的值是100或25
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是平方根应用的典型易错题，解题的关键是明确一个数的两个平方根存在相等或互为相反数两种情况，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.5
6. 已知 $2a - 1$ 的一个平方根是 $3$，$3a + b - 1$ 的一个平方根是 $-4$，求 $a + 2b$ 的平方根。
答案：解:$\because 2a-1$的一个平方根为3,$3a+b-1$的一个平方根为$-4$,$\therefore 2a-1=9,3a+b-1=16$,解得$a=5,b=2$,
$\therefore a+2b=5+4=9$,
$\therefore a+2b$的平方根为$\pm3$.
$\therefore a+2b=5+4=9$,
$\therefore a+2b$的平方根为$\pm3$.
解析：
【分析】
解题核心是运用平方根的性质：若数$x$是$m$的平方根，则满足$x^2=m$。首先根据题目给出的两个平方根分别列方程，先求出$a$的值，再代入求出$b$的值，接着计算$a+2b$的结果，最后根据平方根的定义求$a+2b$的平方根，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：$\because 2a-1$的一个平方根是$3$，根据平方根的性质可得：
$2a-1=3^2=9$，解得$a=5$。
又$\because 3a+b-1$的一个平方根是$-4$，同理可得：
$3a+b-1=(-4)^2=16$。
将$a=5$代入上式：$3×5 + b -1=16$，
计算得$15+b-1=16$，解得$b=2$。
$\therefore a+2b=5+2×2=9$。
$\because (\pm3)^2=9$，$\therefore 9$的平方根为$\pm3$，即$a+2b$的平方根为$\pm3$。
【答案】
$\pm3$
【知识点】
平方根的定义、一元一次方程求解、平方根计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握平方根的性质，易错点是求最终结果时容易遗漏负数平方根，解题时要牢记正数的平方根有两个，二者互为相反数。
【难度系数】
0.7
解题核心是运用平方根的性质：若数$x$是$m$的平方根，则满足$x^2=m$。首先根据题目给出的两个平方根分别列方程，先求出$a$的值，再代入求出$b$的值，接着计算$a+2b$的结果，最后根据平方根的定义求$a+2b$的平方根，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：$\because 2a-1$的一个平方根是$3$，根据平方根的性质可得：
$2a-1=3^2=9$，解得$a=5$。
又$\because 3a+b-1$的一个平方根是$-4$，同理可得：
$3a+b-1=(-4)^2=16$。
将$a=5$代入上式：$3×5 + b -1=16$，
计算得$15+b-1=16$，解得$b=2$。
$\therefore a+2b=5+2×2=9$。
$\because (\pm3)^2=9$，$\therefore 9$的平方根为$\pm3$，即$a+2b$的平方根为$\pm3$。
【答案】
$\pm3$
【知识点】
平方根的定义、一元一次方程求解、平方根计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握平方根的性质，易错点是求最终结果时容易遗漏负数平方根，解题时要牢记正数的平方根有两个，二者互为相反数。
【难度系数】
0.7