2. 甲、乙两车同时从M地出发去相距240千米的N地运送物资，去时甲车比乙车提前一个小时到达。到达后，乙车原路原速返回，甲车放慢速度返回，计划和乙车同时到达M地。甲车在返回M地且距离M地80千米时，发现有一包货物遗落在途中，便以60千米/时的速度原路返回，找到并装上货物后，立即仍以60千米/时的速度赶往M地，恰好和乙车同时到达M地(装卸货时间忽略不计)。甲、乙两车与M地的距离y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示。
(1)a=
(2)求甲车拾到货物返回M地时的图象函数表达式.
(3)求甲、乙两车在返回途中,最远相距多少千米.
(1)a=
3
,b=4
.(2)求甲车拾到货物返回M地时的图象函数表达式.
(3)求甲、乙两车在返回途中,最远相距多少千米.
答案：(1)3 4 [解析]
∵乙车去与返回的速度相同,且乙车的总时间为8小时,
∴乙车到达N地时用时4小时,即b=4.
∵甲车比乙车提前一小时到达,
∴a=b-1=3.
(2)
∵甲车计划和乙车同时返回M地,
∴甲车计划返回时的速度是240÷(8-3)=48(千米/时).
设甲车为拾货物返回的路程为m千米,则
$\frac{m}{60}+\frac{m+80}{60}=8-3-\frac{240-80}{48}$,解得m=10,
$8-\frac{80+10}{60}=\frac{13}{2}$,故点D的坐标为$(\frac{13}{2},90)$,E(8,0).
设DE段的表达式为y=kx+b,则
$\begin{cases}\frac{13}{2}k+b=90,\\8k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-60,\\b=480,\end{cases}$
∴DE段的表达式为$y=-60x+480(\frac{13}{2}≤ x≤8)$.
(3)(240-80)÷48=$\frac{10}{3}$(小时),
∴$C(3+\frac{10}{3},80)$,即$(\frac{19}{3},80)$.
由题意,得A(3,240),
设AC段的表达式为$y=k_1x+b_1$,则
$\begin{cases}3k_1+b_1=240,\\\frac{19}{3}k_1+b_1=80,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-48,\\b_1=384,\end{cases}$
∴AC段的表达式为y=-48x+384.
同理可得BE段的表达式为y=-60x+480,
∴甲、乙两车在返回途中,相距的路程为
(-60x+480)-(-48x+384)=-12x+96.
∵-12＜0,$4≤ x≤\frac{19}{3}$,
∴当x=4时,相距的路程取得最大值为-12×4+96=48(千米),
∴甲、乙两车返回途中最远相距48千米.
∵乙车去与返回的速度相同,且乙车的总时间为8小时,
∴乙车到达N地时用时4小时,即b=4.
∵甲车比乙车提前一小时到达,
∴a=b-1=3.
(2)
∵甲车计划和乙车同时返回M地,
∴甲车计划返回时的速度是240÷(8-3)=48(千米/时).
设甲车为拾货物返回的路程为m千米,则
$\frac{m}{60}+\frac{m+80}{60}=8-3-\frac{240-80}{48}$,解得m=10,
$8-\frac{80+10}{60}=\frac{13}{2}$,故点D的坐标为$(\frac{13}{2},90)$,E(8,0).
设DE段的表达式为y=kx+b,则
$\begin{cases}\frac{13}{2}k+b=90,\\8k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-60,\\b=480,\end{cases}$
∴DE段的表达式为$y=-60x+480(\frac{13}{2}≤ x≤8)$.
(3)(240-80)÷48=$\frac{10}{3}$(小时),
∴$C(3+\frac{10}{3},80)$,即$(\frac{19}{3},80)$.
由题意,得A(3,240),
设AC段的表达式为$y=k_1x+b_1$,则
$\begin{cases}3k_1+b_1=240,\\\frac{19}{3}k_1+b_1=80,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-48,\\b_1=384,\end{cases}$
∴AC段的表达式为y=-48x+384.
同理可得BE段的表达式为y=-60x+480,
∴甲、乙两车在返回途中,相距的路程为
(-60x+480)-(-48x+384)=-12x+96.
∵-12＜0,$4≤ x≤\frac{19}{3}$,
∴当x=4时,相距的路程取得最大值为-12×4+96=48(千米),
∴甲、乙两车返回途中最远相距48千米.
拓展2.1 如图(1),甲、乙两车分别从相距480千米的A,B两地相向而行,乙车比甲车先出发1小时,并以各自的速度匀速行驶,甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地,乙车从B地直达A地,两车同时到达A地.甲、乙两车距各自出发地的路程y(千米)与甲车出发所用的时间x(小时)的关系如图(2),结合图象信息解答下列问题:
(1)乙车的速度是
(2)求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中,甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数表达式(不需要写自变量取值范围);
(3)直接写出甲车出发多长时间两车相距60千米.
(拓展2.1)
(1)乙车的速度是
80
千米/时,乙车从B地到达A地行驶的时间为6
小时;(2)求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中,甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数表达式(不需要写自变量取值范围);
(3)直接写出甲车出发多长时间两车相距60千米.
(拓展2.1)
答案：
(1)80 6 [解析]乙车的速度是80÷1=80(千米/时),乙车从B地到达A地行驶的时间为480÷80=6(小时).
(2)6-1=5(小时),
∴甲车从A地出发到返回A地所用时间为5小时.5÷2=2.5(小时),
∴甲车从A地出发到C地所用时间为2.5小时.甲车的速度为300×2÷5=120(千米/时),则y=300-120(x-2.5)=-120x+600,
∴甲车从C地按原路原速返回A地的过程中,甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数表达式为y=-120x+600.
(3)甲、乙两车距A地的路程s(千米)与甲车出发所用的时间x(小时)的关系如图所示:
$s_甲=\begin{cases}120x(0≤ x≤2.5),\\-120x+600(2.5＜x≤5),\end{cases}$
$s_乙=400-80x(0≤ x≤5)$,
当0≤x≤2.5时,得|400-80x-120x|=60,解得x=1.7或2.3;
当2.5＜x≤5时,得-120x+600-(400-80x)=60,解得x=3.5.
故甲车出发1.7小时或2.3小时或3.5小时两车相距60千米.
(1)80 6 [解析]乙车的速度是80÷1=80(千米/时),乙车从B地到达A地行驶的时间为480÷80=6(小时).
(2)6-1=5(小时),
∴甲车从A地出发到返回A地所用时间为5小时.5÷2=2.5(小时),
∴甲车从A地出发到C地所用时间为2.5小时.甲车的速度为300×2÷5=120(千米/时),则y=300-120(x-2.5)=-120x+600,
∴甲车从C地按原路原速返回A地的过程中,甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数表达式为y=-120x+600.
(3)甲、乙两车距A地的路程s(千米)与甲车出发所用的时间x(小时)的关系如图所示:
$s_甲=\begin{cases}120x(0≤ x≤2.5),\\-120x+600(2.5＜x≤5),\end{cases}$
$s_乙=400-80x(0≤ x≤5)$,
当0≤x≤2.5时,得|400-80x-120x|=60,解得x=1.7或2.3;
当2.5＜x≤5时,得-120x+600-(400-80x)=60,解得x=3.5.
故甲车出发1.7小时或2.3小时或3.5小时两车相距60千米.