1. 割补法（2025·安徽合肥期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+3$的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，点C是线段OA上的一个动点（不与点O，A重合），过点C作x轴的垂线l交直线AB于点D，在射线CD上取点E，使$CE=2OC$，设点C的横坐标为m。
(1)求A，B两点的坐标；
(2)若$△ ABE$的面积等于$△ AOB$面积的一半，求m的值。
(1)求A，B两点的坐标；
(2)若$△ ABE$的面积等于$△ AOB$面积的一半，求m的值。
答案：1.(1)
∵一次函数$y=-\frac{1}{2}x+3$的图象分别与x轴、y轴交于点A,B,
∴当x=0时,y=3;当y=0时,x=6,
∴点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,3).
(2)
∵点C是线段OA上的一个动点(不与点O,A重合),过点C作x轴的垂线l交直线AB于点D,设点C的横坐标为m,
∴$D(m,-\frac{1}{2}m+3)$.
∵在射线CD上取点E,使CE=2OC,
∴E(m,2m),
∴$DE=|2m-(-\frac{1}{2}m+3)|=|\frac{5}{2}m-3|$.
∵A(6,0),B(0,3),
∴OA=6,OB=3,
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×6×3=9$.
$S_{△ ABE}=S_{△ BDE}+S_{△ ADE}=\frac{1}{2}DE· OC+\frac{1}{2}DE· AC$
$=\frac{1}{2}DE·(OC+AC)=\frac{1}{2}DE· OA=\frac{1}{2}DE·6=3DE$.
∵△ABE的面积等于△AOB面积的一半,即$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ AOB}$,
∴$3DE=\frac{1}{2}×9$,解得$DE=\frac{3}{2}$,
∴$|\frac{5}{2}m-3|=\frac{3}{2}$,当$\frac{5}{2}m-3=\frac{3}{2}$时,解得$m=\frac{9}{5}$;当$\frac{5}{2}m-3=-\frac{3}{2}$时,解得$m=\frac{3}{5}$.综上所述,m的值为$\frac{9}{5}$或$\frac{3}{5}$.
∵一次函数$y=-\frac{1}{2}x+3$的图象分别与x轴、y轴交于点A,B,
∴当x=0时,y=3;当y=0时,x=6,
∴点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,3).
(2)
∵点C是线段OA上的一个动点(不与点O,A重合),过点C作x轴的垂线l交直线AB于点D,设点C的横坐标为m,
∴$D(m,-\frac{1}{2}m+3)$.
∵在射线CD上取点E,使CE=2OC,
∴E(m,2m),
∴$DE=|2m-(-\frac{1}{2}m+3)|=|\frac{5}{2}m-3|$.
∵A(6,0),B(0,3),
∴OA=6,OB=3,
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×6×3=9$.
$S_{△ ABE}=S_{△ BDE}+S_{△ ADE}=\frac{1}{2}DE· OC+\frac{1}{2}DE· AC$
$=\frac{1}{2}DE·(OC+AC)=\frac{1}{2}DE· OA=\frac{1}{2}DE·6=3DE$.
∵△ABE的面积等于△AOB面积的一半,即$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ AOB}$,
∴$3DE=\frac{1}{2}×9$,解得$DE=\frac{3}{2}$,
∴$|\frac{5}{2}m-3|=\frac{3}{2}$,当$\frac{5}{2}m-3=\frac{3}{2}$时,解得$m=\frac{9}{5}$;当$\frac{5}{2}m-3=-\frac{3}{2}$时,解得$m=\frac{3}{5}$.综上所述,m的值为$\frac{9}{5}$或$\frac{3}{5}$.
拓展1.1 如图，直线$y=kx+3$与x轴、y轴分别交于A，B两点，$OA=\frac{4}{3}OB$，点$C(x,y)$是直线$y=kx+3$上与A，B不重合的动点。
(1)求直线AB的表达式。
(2)作直线OC，当点C运动到什么位置时，△AOB的面积被直线OC分成1：2的两部分。
(1)求直线AB的表达式。
(2)作直线OC，当点C运动到什么位置时，△AOB的面积被直线OC分成1：2的两部分。
答案：
(1)在y=kx+3中,令x=0,得y=3,
∴B(0,3),OB=3.
∵$OA=\frac{4}{3}OB$,
∴OA=4,
∴A(4,0).
把A(4,0)代入y=kx+3,得0=4k+3,解得$k=-\frac{3}{4}$,
∴直线AB的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3$.
(2)
∵OB=3,OA=4,
∴△AOB的面积=$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×4×3=6$.
当$S_{△ AOC}:S_{△ BOC}=1:2$时,如图(1)所示,
此时$S_{△ AOC}=\frac{1}{3}S_{△ AOB}=2$,
∴$\frac{1}{2}OA· y_C=2$,即$\frac{1}{2}×4× y_C=2$,解得$y_C=1$,
在$y=-\frac{3}{4}x+3$中,令y=1,得$-\frac{3}{4}x+3=1$,解得$x=\frac{8}{3}$,
∴$C(\frac{8}{3},1)$.
当$S_{△ BOC}:S_{△ AOC}=1:2$时,如图(2)所示,
此时$S_{△ AOC}=\frac{2}{3}S_{△ AOB}=4$,
∴$\frac{1}{2}OA· y_C=4$,即$\frac{1}{2}×4× y_C=4$,解得$y_C=2$.在$y=-\frac{3}{4}x+3$中,令y=2,得$-\frac{3}{4}x+3=2$,解得$x=\frac{4}{3}$,
∴$C(\frac{4}{3},2)$,
综上所述,当点C运动到$(\frac{8}{3},1)$或$(\frac{4}{3},2)$的位置时,△AOB的面积被直线OC分成1:2的两部分.
(1)在y=kx+3中,令x=0,得y=3,
∴B(0,3),OB=3.
∵$OA=\frac{4}{3}OB$,
∴OA=4,
∴A(4,0).
把A(4,0)代入y=kx+3,得0=4k+3,解得$k=-\frac{3}{4}$,
∴直线AB的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3$.
(2)
∵OB=3,OA=4,
∴△AOB的面积=$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×4×3=6$.
当$S_{△ AOC}:S_{△ BOC}=1:2$时,如图(1)所示,
此时$S_{△ AOC}=\frac{1}{3}S_{△ AOB}=2$,
∴$\frac{1}{2}OA· y_C=2$,即$\frac{1}{2}×4× y_C=2$,解得$y_C=1$,
在$y=-\frac{3}{4}x+3$中,令y=1,得$-\frac{3}{4}x+3=1$,解得$x=\frac{8}{3}$,
∴$C(\frac{8}{3},1)$.
当$S_{△ BOC}:S_{△ AOC}=1:2$时,如图(2)所示,
此时$S_{△ AOC}=\frac{2}{3}S_{△ AOB}=4$,
∴$\frac{1}{2}OA· y_C=4$,即$\frac{1}{2}×4× y_C=4$,解得$y_C=2$.在$y=-\frac{3}{4}x+3$中,令y=2,得$-\frac{3}{4}x+3=2$,解得$x=\frac{4}{3}$,
∴$C(\frac{4}{3},2)$,
综上所述,当点C运动到$(\frac{8}{3},1)$或$(\frac{4}{3},2)$的位置时,△AOB的面积被直线OC分成1:2的两部分.
拓展1.2 (2025·四川成都双流区期中)如图,在平面直角坐标系中,直线$y=\frac{1}{2}x+2$分别与x轴、y轴相交于点A,B,直线CE与AB相交于点$C(-2,m)$,与x轴相交于点D,与y轴相交于点$E(0,-1)$,点P是x轴上一动点.
(1)求直线CE的表达式;
(2)当$△ CDP$的面积等于$△ BCE$的面积时,请求出点P的坐标.
(1)求直线CE的表达式;
(2)当$△ CDP$的面积等于$△ BCE$的面积时,请求出点P的坐标.
答案：(1)把点C(-2,m)代入直线$y=\frac{1}{2}x+2$中,得$m=\frac{1}{2}×(-2)+2=1$,
∴C(-2,1).设直线CE的表达式为y=kx+b,把点C(-2,1)和点E(0,-1)代入,得$\begin{cases}-2k+b=1,\\b=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-1,\end{cases}$
∴直线CE的表达式为y=-x-1.
(2)
∵直线$y=\frac{1}{2}x+2$与y轴相交于点B,
∴令x=0,则$y=\frac{1}{2}×0+2=2$,
∴B(0,2).
∵E(0,-1),
∴BE=2-(-1)=3.
∵C(-2,1),
∴$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}BE·|x_C|=\frac{1}{2}×3×2=3$.
∵直线y=-x-1与x轴相交于点D,
∴令y=0,则有-x-1=0,解得x=-1,
∴D(-1,0).
∵点P是x轴上一动点,
∴可设点P的坐标为(p,0),
∴DP=|p-(-1)|=|p+1|.
∵△CDP的面积等于△BCE的面积,
∴$S_{△ CDP}=S_{△ BCE}=3$,
又$S_{△ CDP}=\frac{1}{2}DP·|y_C|=\frac{1}{2}×|p+1|×1=\frac{1}{2}|p+1|$,
∴$\frac{1}{2}|p+1|=3$,解得p=-7或p=5,
∴点P的坐标为(-7,0)或(5,0).
∴C(-2,1).设直线CE的表达式为y=kx+b,把点C(-2,1)和点E(0,-1)代入,得$\begin{cases}-2k+b=1,\\b=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-1,\end{cases}$
∴直线CE的表达式为y=-x-1.
(2)
∵直线$y=\frac{1}{2}x+2$与y轴相交于点B,
∴令x=0,则$y=\frac{1}{2}×0+2=2$,
∴B(0,2).
∵E(0,-1),
∴BE=2-(-1)=3.
∵C(-2,1),
∴$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}BE·|x_C|=\frac{1}{2}×3×2=3$.
∵直线y=-x-1与x轴相交于点D,
∴令y=0,则有-x-1=0,解得x=-1,
∴D(-1,0).
∵点P是x轴上一动点,
∴可设点P的坐标为(p,0),
∴DP=|p-(-1)|=|p+1|.
∵△CDP的面积等于△BCE的面积,
∴$S_{△ CDP}=S_{△ BCE}=3$,
又$S_{△ CDP}=\frac{1}{2}DP·|y_C|=\frac{1}{2}×|p+1|×1=\frac{1}{2}|p+1|$,
∴$\frac{1}{2}|p+1|=3$,解得p=-7或p=5,
∴点P的坐标为(-7,0)或(5,0).