3. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(-4,0),点 B 的坐标为(4,0),点 C 的坐标为(0,4),△CDE 是以点 D 为直角顶点的等腰直角三角形,点 E 在第三象限,点 D 在 x 轴上运动.
(1)如图(1),当点 D 的坐标为(1,0)时,则点 E 的坐标为
(2)如图(2),点 D 在线段 OB 上运动时,连接 AC,BC,连接 AE 并延长与 y 轴交于点 P,求点 P 的坐标.
(1)如图(1),当点 D 的坐标为(1,0)时,则点 E 的坐标为
(-3,-1)
;(2)如图(2),点 D 在线段 OB 上运动时,连接 AC,BC,连接 AE 并延长与 y 轴交于点 P,求点 P 的坐标.
答案：
(1)$(-3,-1)$
[解析]如图,过点 E 作$EF ⊥ x$轴于点 F,则$∠ DFE=∠ COD=90°.$
$\because ∠ CDE=90°,$
$\therefore ∠ FDE+∠ FDC=90°.$
又$∠ OCD+∠ FDC=90°,$
$\therefore ∠ FDE=∠ OCD.$
在$△ FDE$ 和$△ OCD$ 中,
$\begin{cases}∠ DFE=∠ COD, \\∠ FDE=∠ OCD, \\DE=CD,\end{cases}$
$\therefore △ FDE ≌ △ OCD(\mathrm{AAS}). \because$ 点 D 的坐标为$(1,0)$,点 C 的坐标为$(0,4), \therefore EF=OD=1, DF=CO=4,$
$\therefore OF=DF-OD=4-1=3,$
$\therefore$ 点 E 的坐标为$(-3,-1).$
(2)由(1)知,$△ FDE ≌ △ OCD, \therefore EF=OD, DF=CO.$
$\because$ 点 A 的坐标为$(-4,0)$,点 B 的坐标为$(4,0)$,点 C 的坐标为$(0,4), \therefore OA=OC=OB=4, \therefore OA=DF, \therefore OA-OF=DF-OF,$ 即$AF=OD, \therefore AF=EF=OD,$
$\therefore ∠ EAF=∠ AEF=45°, \therefore ∠ APO=∠ OAP=45°,$
$\therefore OP=OA=4, \therefore$ 点 P 的坐标为$(0,-4).$
(1)$(-3,-1)$
[解析]如图,过点 E 作$EF ⊥ x$轴于点 F,则$∠ DFE=∠ COD=90°.$
$\because ∠ CDE=90°,$
$\therefore ∠ FDE+∠ FDC=90°.$
又$∠ OCD+∠ FDC=90°,$
$\therefore ∠ FDE=∠ OCD.$
在$△ FDE$ 和$△ OCD$ 中,
$\begin{cases}∠ DFE=∠ COD, \\∠ FDE=∠ OCD, \\DE=CD,\end{cases}$
$\therefore △ FDE ≌ △ OCD(\mathrm{AAS}). \because$ 点 D 的坐标为$(1,0)$,点 C 的坐标为$(0,4), \therefore EF=OD=1, DF=CO=4,$
$\therefore OF=DF-OD=4-1=3,$
$\therefore$ 点 E 的坐标为$(-3,-1).$
(2)由(1)知,$△ FDE ≌ △ OCD, \therefore EF=OD, DF=CO.$
$\because$ 点 A 的坐标为$(-4,0)$,点 B 的坐标为$(4,0)$,点 C 的坐标为$(0,4), \therefore OA=OC=OB=4, \therefore OA=DF, \therefore OA-OF=DF-OF,$ 即$AF=OD, \therefore AF=EF=OD,$
$\therefore ∠ EAF=∠ AEF=45°, \therefore ∠ APO=∠ OAP=45°,$
$\therefore OP=OA=4, \therefore$ 点 P 的坐标为$(0,-4).$
拓展3.1 分类讨论思想(2025·内蒙古锡林郭勒盟期中改编)
如图,点$A(a,0),B(0,b)$,且$a,b$满足$(a-1)^2 + |2b -2|=0$.若$P$为$x$轴上异于原点$O$和点$A$的一个动点,连接$PB$,以线段$PB$为边,在$PB$的右侧构造等腰直角三角形$BPE$($P$为顶点),连接$AE$.
(1)如图(1),直接写出点$A$的坐标为
(2)当点$P$的坐标为$(3,0)$时,求出点$E$的坐标;此时,连接$BE,AE,∠ EAP=$
(3)如图(3),点$P$在$x$轴正半轴上运动过程中,若$AE$所在直线与$y$轴交于点$F$,求点$F$的坐标,当$OE+BE$的值最小时,求$OE$与$BE$之间的数量关系.
如图,点$A(a,0),B(0,b)$,且$a,b$满足$(a-1)^2 + |2b -2|=0$.若$P$为$x$轴上异于原点$O$和点$A$的一个动点,连接$PB$,以线段$PB$为边,在$PB$的右侧构造等腰直角三角形$BPE$($P$为顶点),连接$AE$.
(1)如图(1),直接写出点$A$的坐标为
(1,0)
,点$B$的坐标为(0,1)
;(2)当点$P$的坐标为$(3,0)$时,求出点$E$的坐标;此时,连接$BE,AE,∠ EAP=$
45
°;(3)如图(3),点$P$在$x$轴正半轴上运动过程中,若$AE$所在直线与$y$轴交于点$F$,求点$F$的坐标,当$OE+BE$的值最小时,求$OE$与$BE$之间的数量关系.
答案：
(1)$(1,0)$ $(0,1)$
[解析]$\because (a-1)^2+|2b-2|=0, \therefore a-1=0, 2b-2=0,$ 解得$a=1, b=1,$
$\therefore$ 点 A 的坐标为$(1,0)$,点 B 的坐标为$(0,1).$
(2)45
[解析]如图(1),过点 E 作$EH ⊥ x$轴于点 H,
$\therefore ∠ PHE=90°, \therefore ∠ PEH+∠ HPE=90°.$
在等腰直角三角形 BPE 中,$BP=PE, ∠ BPE=90°,$
$\therefore ∠ BPO+∠ HPE=180°-∠ BPE=180°-90°=90°,$
$\therefore ∠ BPO=∠ PEH.$
$\because ∠ BOP=90°, \therefore ∠ BOP=∠ PHE.$
在$△ BPO$ 和$△ PEH$ 中,$\begin{cases}∠ BOP=∠ PHE, \\∠ BPO=∠ PEH, \\BP=PE,\end{cases}$
$\therefore △ BPO ≌ △ PEH(\mathrm{AAS}), \therefore OB=HP, OP=HE.$
$\because B(0,1), P(3,0), \therefore OB=1, OP=3,$
$\therefore HP=OB=1, HE=OP=3, \therefore OH=OP+HP=3+1=4, \therefore E(4,3).$ 又$A(1,0), \therefore OA=1,$
$\therefore HA=OH-OA=4-1=3, \therefore HA=HE,$
$\therefore ∠ EAH=∠ AEH=\frac{1}{2} × (180°-∠ PHE)=\frac{1}{2} × (180°-90°)=45°,$ 即$∠ EAP=45°.$
(3)由(2),可得$△ BPO ≌ △ PEH, OB=HP, OP=HE,$
又$OA=OB=1, \therefore OA=HP,$
$\therefore OA+AP=HP+AP,$ 即$OP=HA, \therefore HA=HE,$
$\therefore ∠ EAH=∠ AEH=\frac{1}{2} × (180°-∠ PHE)=\frac{1}{2} × (180°-90°)=45°,$
$\therefore$ 如图(2)所示,$∠ OAF=∠ EAH=45°.$
$\because ∠ AOF=90°, \therefore ∠ OFA=90°-∠ OAF=90°-45°=45°, \therefore ∠ OFA=∠ OAF, \therefore OF=OA=1, \therefore F(0,-1).$
如图(3),取点$G(1,-1)$,连接 FG,连接 OG 交 AF 于点 C,连接 BG 交 AF 于点 E,连接 OE.
$\because F(0,-1),$
$\therefore OF=0-(-1)=1, GF=1-0=1, \therefore OF=GF. \because ∠ OFG=90°,$
$\therefore ∠ GFA=∠ OFG-∠ OFA=90°-45°=45°,$
$\therefore ∠ OFA=∠ GFA,$ 即$∠ OFC=∠ GFC.$
在$△ OFC$ 和$△ GFC$ 中,
$\begin{cases}OF=GF, \\∠ OFC=∠ GFC, \\FC=FC,\end{cases}$
$\therefore △ OFC ≌ △ GFC(\mathrm{SAS}), \therefore CO=CG, ∠ FCO=∠ FCG.$
又$∠ FCO+∠ FCG=180°, \therefore ∠ FCO=∠ FCG=\frac{1}{2} × 180°=90°, \therefore FC ⊥ OG,$ 即$AF ⊥ OG, \therefore AF$ 垂直平分 OG,
$\therefore$ 点 O 与点 G 关于直线 AF 对称.$\because AF$ 垂直平分 OG,$\therefore OE=GE,$
$\therefore$ 此时$OE+BE$ 的值最小,$OE+BE=GE+BE=BG.$
$\because ∠ OFA=∠ GFA, \therefore FA$ 是$∠ OFG$ 的平分线,$\therefore$ 点 E 到 BF,GF 的距离相等.$\because B(0,1), F(0,-1), \therefore BF=1-(-1)=2.$ 又$GF=1, \therefore S_{△ BFE}=2S_{△ GFE}, \therefore BE=2GE,$
$\therefore BE=2OE,$ 故点 F 的坐标为$(0,-1)$,$OE$ 与$BE$ 的数量关系为$BE=2OE.$
(1)$(1,0)$ $(0,1)$
[解析]$\because (a-1)^2+|2b-2|=0, \therefore a-1=0, 2b-2=0,$ 解得$a=1, b=1,$
$\therefore$ 点 A 的坐标为$(1,0)$,点 B 的坐标为$(0,1).$
(2)45
[解析]如图(1),过点 E 作$EH ⊥ x$轴于点 H,
$\therefore ∠ PHE=90°, \therefore ∠ PEH+∠ HPE=90°.$
在等腰直角三角形 BPE 中,$BP=PE, ∠ BPE=90°,$
$\therefore ∠ BPO+∠ HPE=180°-∠ BPE=180°-90°=90°,$
$\therefore ∠ BPO=∠ PEH.$
$\because ∠ BOP=90°, \therefore ∠ BOP=∠ PHE.$
在$△ BPO$ 和$△ PEH$ 中,$\begin{cases}∠ BOP=∠ PHE, \\∠ BPO=∠ PEH, \\BP=PE,\end{cases}$
$\therefore △ BPO ≌ △ PEH(\mathrm{AAS}), \therefore OB=HP, OP=HE.$
$\because B(0,1), P(3,0), \therefore OB=1, OP=3,$
$\therefore HP=OB=1, HE=OP=3, \therefore OH=OP+HP=3+1=4, \therefore E(4,3).$ 又$A(1,0), \therefore OA=1,$
$\therefore HA=OH-OA=4-1=3, \therefore HA=HE,$
$\therefore ∠ EAH=∠ AEH=\frac{1}{2} × (180°-∠ PHE)=\frac{1}{2} × (180°-90°)=45°,$ 即$∠ EAP=45°.$
(3)由(2),可得$△ BPO ≌ △ PEH, OB=HP, OP=HE,$
又$OA=OB=1, \therefore OA=HP,$
$\therefore OA+AP=HP+AP,$ 即$OP=HA, \therefore HA=HE,$
$\therefore ∠ EAH=∠ AEH=\frac{1}{2} × (180°-∠ PHE)=\frac{1}{2} × (180°-90°)=45°,$
$\therefore$ 如图(2)所示,$∠ OAF=∠ EAH=45°.$
$\because ∠ AOF=90°, \therefore ∠ OFA=90°-∠ OAF=90°-45°=45°, \therefore ∠ OFA=∠ OAF, \therefore OF=OA=1, \therefore F(0,-1).$
如图(3),取点$G(1,-1)$,连接 FG,连接 OG 交 AF 于点 C,连接 BG 交 AF 于点 E,连接 OE.
$\because F(0,-1),$
$\therefore OF=0-(-1)=1, GF=1-0=1, \therefore OF=GF. \because ∠ OFG=90°,$
$\therefore ∠ GFA=∠ OFG-∠ OFA=90°-45°=45°,$
$\therefore ∠ OFA=∠ GFA,$ 即$∠ OFC=∠ GFC.$
在$△ OFC$ 和$△ GFC$ 中,
$\begin{cases}OF=GF, \\∠ OFC=∠ GFC, \\FC=FC,\end{cases}$
$\therefore △ OFC ≌ △ GFC(\mathrm{SAS}), \therefore CO=CG, ∠ FCO=∠ FCG.$
又$∠ FCO+∠ FCG=180°, \therefore ∠ FCO=∠ FCG=\frac{1}{2} × 180°=90°, \therefore FC ⊥ OG,$ 即$AF ⊥ OG, \therefore AF$ 垂直平分 OG,
$\therefore$ 点 O 与点 G 关于直线 AF 对称.$\because AF$ 垂直平分 OG,$\therefore OE=GE,$
$\therefore$ 此时$OE+BE$ 的值最小,$OE+BE=GE+BE=BG.$
$\because ∠ OFA=∠ GFA, \therefore FA$ 是$∠ OFG$ 的平分线,$\therefore$ 点 E 到 BF,GF 的距离相等.$\because B(0,1), F(0,-1), \therefore BF=1-(-1)=2.$ 又$GF=1, \therefore S_{△ BFE}=2S_{△ GFE}, \therefore BE=2GE,$
$\therefore BE=2OE,$ 故点 F 的坐标为$(0,-1)$,$OE$ 与$BE$ 的数量关系为$BE=2OE.$