2. (2025·陕西西安高陵四中月考)如图,在平面直角坐标系中,点$C(\dfrac{9}{4},0)$,直线$l$经过点$A(a,0)$,$B(0,b)$,且$a,b$满足$|a+b+1|+\sqrt{3a+4b}=0$,连接$BC$.
(1)求点$A,B$的坐标;
(2)试判断$△ ABC$的形状,并说明理由;
(3)若动点$P$在直线$l$上运动,当$△ BCP$与$△ ABC$的面积之比为$3:5$时,直接写出点$P$的纵坐标.
(1)求点$A,B$的坐标;
(2)试判断$△ ABC$的形状,并说明理由;
(3)若动点$P$在直线$l$上运动,当$△ BCP$与$△ ABC$的面积之比为$3:5$时,直接写出点$P$的纵坐标.
答案：(1)$\because |a+b+1|+\sqrt{3a+4b}=0,$
$\therefore a+b+1=0, 3a+4b=0,$ 解得$a=-4, b=3,$
$\therefore A(-4,0), B(0,3).$
(2)$△ ABC$ 是直角三角形.理由如下:$\because A(-4,0), B(0,3), C(\frac{9}{4},0), \therefore AB^2=3^2+4^2=25, BC^2=3^2+(\frac{9}{4})^2=9+\frac{81}{16}=\frac{225}{16}, AC^2=(4+\frac{9}{4})^2=(\frac{25}{4})^2=\frac{625}{16}, \therefore 25+\frac{225}{16}=\frac{625}{16},$ 即$AB^2+BC^2=AC^2, \therefore △ ABC$ 是直角三角形.
(3)$\because A(-4,0), B(0,3), C(\frac{9}{4},0), \therefore OA=4, OB=3, OC=\frac{9}{4}, \therefore AC=OA+OC=4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}, \therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · OB=\frac{1}{2} × \frac{25}{4} × 3=\frac{75}{8}. \because △ BCP$ 与$△ ABC$ 的面积之比为$3:5, \therefore S_{△ BCP}=\frac{3}{5}S_{△ ABC}=\frac{3}{5} × \frac{75}{8}=\frac{45}{8}.$ 设 P 的纵坐标为$m$,
当 P 在 AB 上时,$S_{△ APC}=S_{△ ABC}-S_{△ BPC}=\frac{75}{8}-\frac{45}{8}=\frac{15}{4},$
$\therefore \frac{1}{2}AC · m=\frac{15}{4},$ 即$\frac{1}{2} × \frac{25}{4}m=\frac{15}{4},$ 解得$m=\frac{6}{5}.$
当 P 在 AB 的延长线上时,$S_{△ APC}=S_{△ ABC}+S_{△ BPC}=\frac{75}{8}+\frac{45}{8}=15, \therefore \frac{1}{2} · AC · m=15,$ 即$\frac{1}{2} × \frac{25}{4}m=15,$
解得$m=\frac{24}{5}, \therefore$ 点 P 的纵坐标为$\frac{6}{5}$或$\frac{24}{5}.$
$\therefore a+b+1=0, 3a+4b=0,$ 解得$a=-4, b=3,$
$\therefore A(-4,0), B(0,3).$
(2)$△ ABC$ 是直角三角形.理由如下:$\because A(-4,0), B(0,3), C(\frac{9}{4},0), \therefore AB^2=3^2+4^2=25, BC^2=3^2+(\frac{9}{4})^2=9+\frac{81}{16}=\frac{225}{16}, AC^2=(4+\frac{9}{4})^2=(\frac{25}{4})^2=\frac{625}{16}, \therefore 25+\frac{225}{16}=\frac{625}{16},$ 即$AB^2+BC^2=AC^2, \therefore △ ABC$ 是直角三角形.
(3)$\because A(-4,0), B(0,3), C(\frac{9}{4},0), \therefore OA=4, OB=3, OC=\frac{9}{4}, \therefore AC=OA+OC=4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}, \therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · OB=\frac{1}{2} × \frac{25}{4} × 3=\frac{75}{8}. \because △ BCP$ 与$△ ABC$ 的面积之比为$3:5, \therefore S_{△ BCP}=\frac{3}{5}S_{△ ABC}=\frac{3}{5} × \frac{75}{8}=\frac{45}{8}.$ 设 P 的纵坐标为$m$,
当 P 在 AB 上时,$S_{△ APC}=S_{△ ABC}-S_{△ BPC}=\frac{75}{8}-\frac{45}{8}=\frac{15}{4},$
$\therefore \frac{1}{2}AC · m=\frac{15}{4},$ 即$\frac{1}{2} × \frac{25}{4}m=\frac{15}{4},$ 解得$m=\frac{6}{5}.$
当 P 在 AB 的延长线上时,$S_{△ APC}=S_{△ ABC}+S_{△ BPC}=\frac{75}{8}+\frac{45}{8}=15, \therefore \frac{1}{2} · AC · m=15,$ 即$\frac{1}{2} × \frac{25}{4}m=15,$
解得$m=\frac{24}{5}, \therefore$ 点 P 的纵坐标为$\frac{6}{5}$或$\frac{24}{5}.$
拓展2.1 等积法如图(1),在平面直角坐标系中,点A在y轴上,点B,C在x轴上关于原点O对称$,C(3,0),AB=5,S_{△ ABC}=12.$
(1)求点A的坐标;
(2)如图(2),作∠ABC的平分线交y轴于点D,
点P(t,0)为x轴正半轴上一点,求△BDP的面积S(用含t的式子表示).
(1)求点A的坐标;
(2)如图(2),作∠ABC的平分线交y轴于点D,
点P(t,0)为x轴正半轴上一点,求△BDP的面积S(用含t的式子表示).
答案：
(1)$\because C(3,0), \therefore OC=3. \because B,C$ 关于原点 O 对称,$\therefore OB=OC=3, \therefore BC=6.$ 又$S_{△ ABC}=12,$ 且$OA ⊥ BC,$
$\therefore \frac{1}{2}BC · OA=12,$ 解得$OA=4, \therefore A(0,4).$
(2)如图,过点 D 作$DK ⊥ AB$,垂足为 K.
$\because BD$ 平分$∠ ABC$,且$OD ⊥ BC, \therefore DK=DO.$
$\because S_{△ OBD}=\frac{1}{2}OB · DO, S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB · DK=\frac{1}{2}AD · OB,$
$\therefore \frac{S_{△ ABD}}{S_{△ OBD}}=\frac{\frac{1}{2}AD · OB}{\frac{1}{2}OD · OB}=\frac{\frac{1}{2}AB · DK}{\frac{1}{2}OB · DO}, \therefore \frac{AD}{OD}=\frac{AB}{OB},$
设$OD=m$,则$AD=4-m,$
$\therefore \frac{4-m}{m}=\frac{5}{3},$ 解得$m=\frac{3}{2}, \therefore OD=\frac{3}{2}.$
$\because$ 点$P(t,0)$为$x$轴正半轴上一点,$\therefore OP=t,$
$\therefore BP=3+t,$
$\therefore S=\frac{1}{2}BP · OD=\frac{1}{2}(3+t) × \frac{3}{2}=\frac{3}{4}t+\frac{9}{4}.$
(1)$\because C(3,0), \therefore OC=3. \because B,C$ 关于原点 O 对称,$\therefore OB=OC=3, \therefore BC=6.$ 又$S_{△ ABC}=12,$ 且$OA ⊥ BC,$
$\therefore \frac{1}{2}BC · OA=12,$ 解得$OA=4, \therefore A(0,4).$
(2)如图,过点 D 作$DK ⊥ AB$,垂足为 K.
$\because BD$ 平分$∠ ABC$,且$OD ⊥ BC, \therefore DK=DO.$
$\because S_{△ OBD}=\frac{1}{2}OB · DO, S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB · DK=\frac{1}{2}AD · OB,$
$\therefore \frac{S_{△ ABD}}{S_{△ OBD}}=\frac{\frac{1}{2}AD · OB}{\frac{1}{2}OD · OB}=\frac{\frac{1}{2}AB · DK}{\frac{1}{2}OB · DO}, \therefore \frac{AD}{OD}=\frac{AB}{OB},$
设$OD=m$,则$AD=4-m,$
$\therefore \frac{4-m}{m}=\frac{5}{3},$ 解得$m=\frac{3}{2}, \therefore OD=\frac{3}{2}.$
$\because$ 点$P(t,0)$为$x$轴正半轴上一点,$\therefore OP=t,$
$\therefore BP=3+t,$
$\therefore S=\frac{1}{2}BP · OD=\frac{1}{2}(3+t) × \frac{3}{2}=\frac{3}{4}t+\frac{9}{4}.$
拓展2.2 如图(1),在平面直角坐标系中,$△ ABC$的三个顶点为$A(a,0),B(b,3),C(c,0)$,且满足$(a+b)^2+\sqrt{b-2}+|4-c|=0$,线段$AB$交$y$轴于点$D$.在$y$轴上存在一动点$E$(点$E$不与点$O$重合).点$E$从点$O$出发以每秒2个单位长度的速度沿$y$轴负半轴方向运动.
(1)点$A$的坐标为
(2)如图(2),若点$E$为$y$轴负半轴上一动点,过点$E$作$EF// AB$,分别作$∠ CAB,∠ OEF$的平分线交于点$M$,在点$E$的运动过程中$∠ AME$的度数始终不变,求$∠ AME$的度数.
(拓展2.2)
(1)点$A$的坐标为
(-2,0)
,点$B$的坐标为(2,3)
,点$C$的坐标为(4,0)
.(2)如图(2),若点$E$为$y$轴负半轴上一动点,过点$E$作$EF// AB$,分别作$∠ CAB,∠ OEF$的平分线交于点$M$,在点$E$的运动过程中$∠ AME$的度数始终不变,求$∠ AME$的度数.
(拓展2.2)
答案：
(1)$(-2,0)$ $(2,3)$ $(4,0)$
(2)如图,过点 M 作$MN // AB.$
$\because EF // AB, \therefore EF // AB // MN.$
$\therefore ∠ AMN=∠ BAM, ∠ EMN=∠ MEF, ∠ ADO=∠ OEF.$
$\because ∠ ADO+∠ DAC=90°,$
$\therefore ∠ DAC+∠ OEF=90°.$
$\because AM,EM$ 分别为$∠ CAB, ∠ OEF$ 的平分线,
$\therefore ∠ BAM=\frac{1}{2}∠ DAC, ∠ MEF=\frac{1}{2}∠ OEF,$
$\therefore ∠ AME=∠ AMN+∠ EMN=∠ BAM+∠ MEF=\frac{1}{2}(∠ DAC+∠ OEF)=45°.$
(1)$(-2,0)$ $(2,3)$ $(4,0)$
(2)如图,过点 M 作$MN // AB.$
$\because EF // AB, \therefore EF // AB // MN.$
$\therefore ∠ AMN=∠ BAM, ∠ EMN=∠ MEF, ∠ ADO=∠ OEF.$
$\because ∠ ADO+∠ DAC=90°,$
$\therefore ∠ DAC+∠ OEF=90°.$
$\because AM,EM$ 分别为$∠ CAB, ∠ OEF$ 的平分线,
$\therefore ∠ BAM=\frac{1}{2}∠ DAC, ∠ MEF=\frac{1}{2}∠ OEF,$
$\therefore ∠ AME=∠ AMN+∠ EMN=∠ BAM+∠ MEF=\frac{1}{2}(∠ DAC+∠ OEF)=45°.$