1. 分类讨论思想(2026·四川泸州江阳区天府中学期末)如图(1),在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,△ABC的顶点B,C的坐标分别为B(b,0),C(0,c),且满足$(c+4)^2 + |b-12| = 0$.
(1)求点B,C的坐标.
(2)如图(2),△ABC的顶点A在y轴的正半轴上,∠ABC=45°,△ABC的高CD交x轴于点E,点E的坐标为(2,0),求证:△ACD≌△EBD.
(3)在(2)的条件下,动点M从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动,动点N从点A出发沿折线A→O→x轴负方向以每秒5个单位长度的速度运动.M,N两点同时出发,且点M到达点B处时,M,N两点同时停止运动.设点M运动的时间为t秒.问:是否存在t值,使得△MCN是以坐标轴为对称轴的轴对称图形?若存在,请求出符合条件的t值;若不存在,请说明理由.
(1)求点B,C的坐标.
(2)如图(2),△ABC的顶点A在y轴的正半轴上,∠ABC=45°,△ABC的高CD交x轴于点E,点E的坐标为(2,0),求证:△ACD≌△EBD.
(3)在(2)的条件下,动点M从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动,动点N从点A出发沿折线A→O→x轴负方向以每秒5个单位长度的速度运动.M,N两点同时出发,且点M到达点B处时,M,N两点同时停止运动.设点M运动的时间为t秒.问:是否存在t值,使得△MCN是以坐标轴为对称轴的轴对称图形?若存在,请求出符合条件的t值;若不存在,请说明理由.
答案：(1)$\because (c+4)^2 + |b-12| = 0, \therefore c+4=0, b-12=0,$
$\therefore c=-4, b=12, \therefore$ 点 B 的坐标为$(12,0)$,点 C 的坐标为$(0,-4).$
(2)$\because CD$ 是$△ ABC$ 的高,$\therefore ∠ ADC=∠ EDB=90°,$
$\therefore ∠ DEB+∠ ABO=90°. \because ∠ ABC=45°, ∠ EDB=90°,$
$\therefore ∠ BCD=45°, \therefore △ BCD$ 是等腰直角三角形,$CD=BD.$
$\because ∠ AOB=90°, \therefore ∠ DAC+∠ ABO=90°,$
$\therefore ∠ DAC=∠ DEB, \therefore △ ACD ≌ △ EBD(\mathrm{AAS}).$
(3)存在$t$值,使得$△ MCN$ 是以坐标轴为对称轴的轴对称图形.理由如下:$\because △ ACD ≌ △ EBD, B(12,0), C(0,-4), E(2,0),$
$\therefore BE=10, OC=4, \therefore AC=BE=10, \therefore OA=10-4=6,$
动点 M 从点 O 出发沿线段 OB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动,动点 N 从点 A 出发沿折线$A \to O \to x$轴的负方向以每秒 5 个单位长度的速度运动.设点 M 运动的时间为$t$秒. ①当点 N 在 AO 上时,$OM=2t, AN=5t,$
$\therefore ON=OA-AN=6-5t, \therefore △ MCN$ 关于$x$轴对称,
$\therefore ON=OC, \therefore 6-5t=4,$ 解得$t=\frac{2}{5};$
②当点 N 在$x$轴负半轴上时,$OM=2t, ON=5t-6,$
$\therefore △ MCN$ 关于$y$轴对称,$\therefore OM=ON, \therefore 2t=5t-6,$ 解得$t=2.$ 综上所述,存在$t$值,使得$△ MCN$ 是以坐标轴为对称轴的轴对称图形,符合条件的$t$值为$\frac{2}{5}$或$2.$
$\therefore c=-4, b=12, \therefore$ 点 B 的坐标为$(12,0)$,点 C 的坐标为$(0,-4).$
(2)$\because CD$ 是$△ ABC$ 的高,$\therefore ∠ ADC=∠ EDB=90°,$
$\therefore ∠ DEB+∠ ABO=90°. \because ∠ ABC=45°, ∠ EDB=90°,$
$\therefore ∠ BCD=45°, \therefore △ BCD$ 是等腰直角三角形,$CD=BD.$
$\because ∠ AOB=90°, \therefore ∠ DAC+∠ ABO=90°,$
$\therefore ∠ DAC=∠ DEB, \therefore △ ACD ≌ △ EBD(\mathrm{AAS}).$
(3)存在$t$值,使得$△ MCN$ 是以坐标轴为对称轴的轴对称图形.理由如下:$\because △ ACD ≌ △ EBD, B(12,0), C(0,-4), E(2,0),$
$\therefore BE=10, OC=4, \therefore AC=BE=10, \therefore OA=10-4=6,$
动点 M 从点 O 出发沿线段 OB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动,动点 N 从点 A 出发沿折线$A \to O \to x$轴的负方向以每秒 5 个单位长度的速度运动.设点 M 运动的时间为$t$秒. ①当点 N 在 AO 上时,$OM=2t, AN=5t,$
$\therefore ON=OA-AN=6-5t, \therefore △ MCN$ 关于$x$轴对称,
$\therefore ON=OC, \therefore 6-5t=4,$ 解得$t=\frac{2}{5};$
②当点 N 在$x$轴负半轴上时,$OM=2t, ON=5t-6,$
$\therefore △ MCN$ 关于$y$轴对称,$\therefore OM=ON, \therefore 2t=5t-6,$ 解得$t=2.$ 综上所述,存在$t$值,使得$△ MCN$ 是以坐标轴为对称轴的轴对称图形,符合条件的$t$值为$\frac{2}{5}$或$2.$
拓展1.1 如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OC，OA分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点A的坐标是(0,4)，OC=8.
(1)直接写出点B，C的坐标.
(2)点P从原点O出发，在边OC上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边BA上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题：
①当t为多少时，直线PQ//y轴？
②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值.
③在整个运动过程中，能否使得四边形BCPQ的面积是长方形OABC面积的$\frac{5}{8}$？若能，请求出P，Q两点的坐标；若不能，说明理由.
（拓展1.1）
(1)直接写出点B，C的坐标.
(2)点P从原点O出发，在边OC上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边BA上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题：
①当t为多少时，直线PQ//y轴？
②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值.
③在整个运动过程中，能否使得四边形BCPQ的面积是长方形OABC面积的$\frac{5}{8}$？若能，请求出P，Q两点的坐标；若不能，说明理由.
（拓展1.1）
答案：(1)$\because$ 四边形 OABC 是长方形,$\therefore OA=BC, AB=OC. \because$ 点 A 的坐标是$(0,4), OC=8, \therefore OA=4, \therefore$ 点 B 的坐标为$(8,4)$,点 C 的坐标为$(8,0).$
(2)由题意,得$OP=t, BQ=2t,$
$\therefore AQ=AB-BQ=8-2t,$
$\therefore P(t,0), Q(8-2t,4).$
①$\because$ 直线$PQ // y$轴,$\therefore OP=AQ,$
$\therefore t=8-2t,$ 解得$t=\frac{8}{3}.$ 故当$t$为$\frac{8}{3}$时,直线$PQ // y$轴.
②$\because$ 点 Q 到$y$轴的距离为 2 个单位长度,
$\therefore AQ=2.$ 由①知$AQ=8-2t,$ 则$2=8-2t,$ 解得$t=3.$
③$\because OA=4, OC=8, \therefore S_{\mathrm{四边形}OABC}=4 × 8=32,$ 由题意知$OP=t, BQ=2t, \therefore CP=OC-OP=8-t, AQ=8-2t,$
$\therefore S_{\mathrm{四边形}BCPQ}=\frac{1}{2}(BQ+PC) × OA=\frac{1}{2}(2t+8-t) × 4=2t+16. \because$ 四边形 BCPQ 的面积是长方形 OABC 的面积的$\frac{5}{8},$
$\therefore 2t+16=\frac{5}{8} × 32,$ 解得$t=2, \therefore 8-2t=4, \therefore P(2,0), Q(4,4).$
(2)由题意,得$OP=t, BQ=2t,$
$\therefore AQ=AB-BQ=8-2t,$
$\therefore P(t,0), Q(8-2t,4).$
①$\because$ 直线$PQ // y$轴,$\therefore OP=AQ,$
$\therefore t=8-2t,$ 解得$t=\frac{8}{3}.$ 故当$t$为$\frac{8}{3}$时,直线$PQ // y$轴.
②$\because$ 点 Q 到$y$轴的距离为 2 个单位长度,
$\therefore AQ=2.$ 由①知$AQ=8-2t,$ 则$2=8-2t,$ 解得$t=3.$
③$\because OA=4, OC=8, \therefore S_{\mathrm{四边形}OABC}=4 × 8=32,$ 由题意知$OP=t, BQ=2t, \therefore CP=OC-OP=8-t, AQ=8-2t,$
$\therefore S_{\mathrm{四边形}BCPQ}=\frac{1}{2}(BQ+PC) × OA=\frac{1}{2}(2t+8-t) × 4=2t+16. \because$ 四边形 BCPQ 的面积是长方形 OABC 的面积的$\frac{5}{8},$
$\therefore 2t+16=\frac{5}{8} × 32,$ 解得$t=2, \therefore 8-2t=4, \therefore P(2,0), Q(4,4).$