3. [问题探究](1)如图(1),在$Rt△ ABC$中,AB为斜边,P为直角边AC的中点,连接BP,求证:$AB^2 + 3BC^2 = 4BP^2$.
[问题解决](2)如图(2),$△ ABC$是某公园的局部示意图,AM,MN是两条人行步道,该公园的规划部门计划在AB的上方找一点H,连接NH,使得$NH = NB$,$∠ AHN = 90°$,并沿AH修一条观景小道,经测量,$∠ C = 90°$,M为CB的中点,$MN ⊥ AB$于点N,$AC = 650$米,问观景小道AH的长度是否为定值?若是,请求出AH的长;若不是,请说明理由.
[问题解决](2)如图(2),$△ ABC$是某公园的局部示意图,AM,MN是两条人行步道,该公园的规划部门计划在AB的上方找一点H,连接NH,使得$NH = NB$,$∠ AHN = 90°$,并沿AH修一条观景小道,经测量,$∠ C = 90°$,M为CB的中点,$MN ⊥ AB$于点N,$AC = 650$米,问观景小道AH的长度是否为定值?若是,请求出AH的长;若不是,请说明理由.
答案：(1)$\because P$ 为直角边 AC 的中点,$\therefore CP=\frac{1}{2}AC$.
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,AB 为斜边,$\therefore ∠ C=90°$,$AC^2=AB^2-BC^2$. 在$\mathrm{Rt}△ PBC$中,$BP^2=CP^2+BC^2=(\frac{1}{2}AC)^2+BC^2=\frac{1}{4}AC^2+BC^2$,$\therefore BP^2=\frac{1}{4}AC^2+BC^2=\frac{1}{4}(AB^2-BC^2)+BC^2=\frac{1}{4}AB^2+\frac{3}{4}BC^2$,即$BP^2=\frac{1}{4}AB^2+\frac{3}{4}BC^2$,$\therefore 4BP^2=AB^2+3BC^2$.
(2)观景小道 AH 的长度是定值,理由如下:
$\because ∠ C=90°$,$MN⊥ AB$,$∠ AHN=90°$,
$\therefore ∠ C=∠ ANM=∠ AHN=90°$,
$\therefore AM^2=AC^2+CM^2=AN^2+MN^2=(AH^2+NH^2)+MN^2$.$\because NH=NB$,$MN^2+NB^2=BM^2$,
$\therefore AC^2+CM^2=AH^2+BN^2+MN^2=AH^2+BM^2$.
$\because M$ 为 CB 的中点,$\therefore CM^2=BM^2$,$\therefore AC^2=AH^2$,
$\therefore AH=AC=650$米,
$\therefore$ 观景小道 AH 的长度是定值,定值为 650 米.
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,AB 为斜边,$\therefore ∠ C=90°$,$AC^2=AB^2-BC^2$. 在$\mathrm{Rt}△ PBC$中,$BP^2=CP^2+BC^2=(\frac{1}{2}AC)^2+BC^2=\frac{1}{4}AC^2+BC^2$,$\therefore BP^2=\frac{1}{4}AC^2+BC^2=\frac{1}{4}(AB^2-BC^2)+BC^2=\frac{1}{4}AB^2+\frac{3}{4}BC^2$,即$BP^2=\frac{1}{4}AB^2+\frac{3}{4}BC^2$,$\therefore 4BP^2=AB^2+3BC^2$.
(2)观景小道 AH 的长度是定值,理由如下:
$\because ∠ C=90°$,$MN⊥ AB$,$∠ AHN=90°$,
$\therefore ∠ C=∠ ANM=∠ AHN=90°$,
$\therefore AM^2=AC^2+CM^2=AN^2+MN^2=(AH^2+NH^2)+MN^2$.$\because NH=NB$,$MN^2+NB^2=BM^2$,
$\therefore AC^2+CM^2=AH^2+BN^2+MN^2=AH^2+BM^2$.
$\because M$ 为 CB 的中点,$\therefore CM^2=BM^2$,$\therefore AC^2=AH^2$,
$\therefore AH=AC=650$米,
$\therefore$ 观景小道 AH 的长度是定值,定值为 650 米.
拓展3.1 ［问题发现］（1）如图（1），$△ ABC$ 和 $△ ADE$ 均为等边三角形，点 $B,D,E$ 在同一直线上，连接 $CE$，容易发现：
①$∠ BEC$ 的度数为
②线段 $BD,CE$ 之间的数量关系为
［类比探究］（2）如图（2），$△ ABC$ 和 $△ ADE$ 均为等腰直角三角形，$∠ BAC=∠ DAE=90°$，点 $B,D,E$ 在同一条直线上，连接 $CE$，试判断$∠ BEC$ 的度数以及线段 $BD,CE$ 之间的数量关系，并说明理由；
［问题解决］（3）如图（3），$∠ AOB=∠ ACB=90°$，$OA=2,OB=4,AC=BC$，则 $OC^2=$
①$∠ BEC$ 的度数为
60°
；②线段 $BD,CE$ 之间的数量关系为
BD=CE
；［类比探究］（2）如图（2），$△ ABC$ 和 $△ ADE$ 均为等腰直角三角形，$∠ BAC=∠ DAE=90°$，点 $B,D,E$ 在同一条直线上，连接 $CE$，试判断$∠ BEC$ 的度数以及线段 $BD,CE$ 之间的数量关系，并说明理由；
［问题解决］（3）如图（3），$∠ AOB=∠ ACB=90°$，$OA=2,OB=4,AC=BC$，则 $OC^2=$
2
.答案：
(1)①$60°$ ②$BD=CE$
(2)$∠ BEC=90°$,$BD=CE$.理由如下:
$\because ∠ BAC=∠ DAE=90°$,$△ ABC$ 和$△ ADE$ 均为等腰直角三角形,$\therefore AB=AC$,$AD=AE$,$∠ ADE=∠ AED=45°$,$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$,即$∠ BAD=∠ CAE$.
在$△ ABD$ 和$△ ACE$ 中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAD=∠ CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore BD=CE$,$∠ ADB=∠ AEC=180°-∠ ADE=135°$,
$\therefore ∠ BEC=∠ AEC-∠ AED=135°-45°=90°$.
(3)2
解析:如图,过点 C 作$EF// OB$,交 AO 的延长线于点 F,过点 B 作$BE⊥ EF$ 于点 E,
$\therefore ∠ F=∠ AOB=∠ BOF=∠ E=∠ ACB=90°$.
$\therefore ∠ BCE+∠ ACF=90°$,$∠ ACF+∠ CAF=90°$,$\therefore ∠ CAF=∠ BCE$.
$\because ∠ F=∠ E=90°$,$AC=BC$,$\therefore △ ACF≌△ CBE(\mathrm{AAS})$,$\therefore CF=BE$,$AF=CE$.
设$CF=x$,则$BE=x$,$CE=EF-CF=4-x$,$AF=CE=4-x$.
$\because$ 四边形 BOFE 为长方形,
$\therefore OF=BE$,$\therefore 2-x=x$,
$\therefore x=1$,$\therefore CF=1$,$AF=CE=3$,$BE=OF=1$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ COF$ 中,$OC^2=OF^2+CF^2=1^2+1^2=2$.
(1)①$60°$ ②$BD=CE$
(2)$∠ BEC=90°$,$BD=CE$.理由如下:
$\because ∠ BAC=∠ DAE=90°$,$△ ABC$ 和$△ ADE$ 均为等腰直角三角形,$\therefore AB=AC$,$AD=AE$,$∠ ADE=∠ AED=45°$,$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$,即$∠ BAD=∠ CAE$.
在$△ ABD$ 和$△ ACE$ 中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAD=∠ CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore BD=CE$,$∠ ADB=∠ AEC=180°-∠ ADE=135°$,
$\therefore ∠ BEC=∠ AEC-∠ AED=135°-45°=90°$.
(3)2
解析:如图,过点 C 作$EF// OB$,交 AO 的延长线于点 F,过点 B 作$BE⊥ EF$ 于点 E,
$\therefore ∠ F=∠ AOB=∠ BOF=∠ E=∠ ACB=90°$.
$\therefore ∠ BCE+∠ ACF=90°$,$∠ ACF+∠ CAF=90°$,$\therefore ∠ CAF=∠ BCE$.
$\because ∠ F=∠ E=90°$,$AC=BC$,$\therefore △ ACF≌△ CBE(\mathrm{AAS})$,$\therefore CF=BE$,$AF=CE$.
设$CF=x$,则$BE=x$,$CE=EF-CF=4-x$,$AF=CE=4-x$.
$\because$ 四边形 BOFE 为长方形,
$\therefore OF=BE$,$\therefore 2-x=x$,
$\therefore x=1$,$\therefore CF=1$,$AF=CE=3$,$BE=OF=1$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ COF$ 中,$OC^2=OF^2+CF^2=1^2+1^2=2$.