2.如图,某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30海里.已知“远航”号沿东北方向航行,则“海天”号沿
西北
方向航行.答案：由题知,$PQ=16×1.5=24$(海里),$PR=12×1.5=18$(海里),$QR=30$ 海里,$∠ SPQ=45°$.
$\because PQ^2+PR^2=24^2+18^2=900$,$QR^2=900$,$\therefore PQ^2+PR^2=QR^2$,$\therefore △ PRQ$ 是直角三角形,且$∠ RPQ=90°$,
$\therefore ∠ SPR=∠ RPQ-∠ SPQ=90°-45°=45°$,$\therefore$“海天”号沿西北方向航行.
$\because PQ^2+PR^2=24^2+18^2=900$,$QR^2=900$,$\therefore PQ^2+PR^2=QR^2$,$\therefore △ PRQ$ 是直角三角形,且$∠ RPQ=90°$,
$\therefore ∠ SPR=∠ RPQ-∠ SPQ=90°-45°=45°$,$\therefore$“海天”号沿西北方向航行.
拓展2.1 如图，在一块四边形空地ABCD上种植草皮，测得∠ABC=90°, AB=3 m, BC=4 m, CD=12 m, AD=13 m. 若每平方米草皮需要200元，则需要投入多少元？
（拓展2.1）
（拓展2.1）答案：
如图,连接 AC.
$\because ∠ B=90°,AB=3\ \mathrm{m},BC=4\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5(\mathrm{m}).\because CD=12\ \mathrm{m},AD=13\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC^2+CD^2=AD^2$,$\therefore △ ACD$ 是直角三角形,且$∠ ACD=90°$,
$\therefore$ 四边形 ABCD 的面积$=△ ABC$ 的面积$+△ ACD$ 的面积为$\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12=6+30=36(\mathrm{m}^2)$,
$\therefore$ 学校要投入资金为$200×36=7200$(元).
如图,连接 AC.
$\because ∠ B=90°,AB=3\ \mathrm{m},BC=4\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5(\mathrm{m}).\because CD=12\ \mathrm{m},AD=13\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC^2+CD^2=AD^2$,$\therefore △ ACD$ 是直角三角形,且$∠ ACD=90°$,
$\therefore$ 四边形 ABCD 的面积$=△ ABC$ 的面积$+△ ACD$ 的面积为$\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12=6+30=36(\mathrm{m}^2)$,
$\therefore$ 学校要投入资金为$200×36=7200$(元).
拓展2.2 某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图，$AB=9\ \mathrm{m}$，$BC=12\ \mathrm{m}$，$CD=17\ \mathrm{m}$，$AD=8\ \mathrm{m}$，现需要进行引水灌溉，面向小区
居民征集设计方案，方案如下：
方案一：从水源点$G$处直接铺设管道分别到浇灌点$E,F$；
方案二：过点$G$作$CD$的垂线，垂足为$H$，先从水源点$G$处铺设管道到点$H$处，再从点$H$处分别向浇灌点$E,F$铺设管道.
施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了$∠ ABC=90°$.
(1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米；
(2)若$∠ EGF=90°$，$EF=10\ \mathrm{m}$，$EG=8\ \mathrm{m}$，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用.
居民征集设计方案，方案如下：
方案一：从水源点$G$处直接铺设管道分别到浇灌点$E,F$；
方案二：过点$G$作$CD$的垂线，垂足为$H$，先从水源点$G$处铺设管道到点$H$处，再从点$H$处分别向浇灌点$E,F$铺设管道.
施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了$∠ ABC=90°$.
(1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米；
(2)若$∠ EGF=90°$，$EF=10\ \mathrm{m}$，$EG=8\ \mathrm{m}$，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用.
答案：
(1)如图,连接 AC.
施工人员测量的是 A,C 两点之间的距离,运用 AC,AB,BC 的长度验证$AC^2=AB^2+BC^2$从而确定$∠ ABC=90°$.
$\because AB=9\ \mathrm{m},BC=12\ \mathrm{m}$,$∠ ABC=90°$,
$\therefore AC^2=AB^2+BC^2=9^2+12^2=225$,$\therefore AC=15\ \mathrm{m}$,
即当测量 A,C 两点之间的距离为 15 m 时,满足勾股定理的逆定理$AB^2+BC^2=AC^2$,$\therefore ∠ ABC=90°$.
(2)$\because ∠ EGF=90°$,$EF=10\ \mathrm{m}$,$EG=8\ \mathrm{m}$,
$\therefore FG=\sqrt{EF^2-EG^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6(\mathrm{m})$.$\because GH⊥ EF$,
$\therefore S_{△ EGF}=\frac{1}{2}EG· FG=\frac{1}{2}EF· GH$,$\therefore HG=\frac{EG· FG}{EF}=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}(\mathrm{m})$,
$\therefore$ 方案一:铺设管道所花的费用$=(6+8)×25=350$(元),
方案二:铺设管道所花的费用$=(10+\frac{24}{5})×25=370$(元).
$\because 370＞350$,$\therefore$ 铺设管道所需的最少费用为 350 元.
(1)如图,连接 AC.
施工人员测量的是 A,C 两点之间的距离,运用 AC,AB,BC 的长度验证$AC^2=AB^2+BC^2$从而确定$∠ ABC=90°$.
$\because AB=9\ \mathrm{m},BC=12\ \mathrm{m}$,$∠ ABC=90°$,
$\therefore AC^2=AB^2+BC^2=9^2+12^2=225$,$\therefore AC=15\ \mathrm{m}$,
即当测量 A,C 两点之间的距离为 15 m 时,满足勾股定理的逆定理$AB^2+BC^2=AC^2$,$\therefore ∠ ABC=90°$.
(2)$\because ∠ EGF=90°$,$EF=10\ \mathrm{m}$,$EG=8\ \mathrm{m}$,
$\therefore FG=\sqrt{EF^2-EG^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6(\mathrm{m})$.$\because GH⊥ EF$,
$\therefore S_{△ EGF}=\frac{1}{2}EG· FG=\frac{1}{2}EF· GH$,$\therefore HG=\frac{EG· FG}{EF}=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}(\mathrm{m})$,
$\therefore$ 方案一:铺设管道所花的费用$=(6+8)×25=350$(元),
方案二:铺设管道所花的费用$=(10+\frac{24}{5})×25=370$(元).
$\because 370＞350$,$\therefore$ 铺设管道所需的最少费用为 350 元.