14.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.”如图，小明站在C处，同时小亮在斜坡的D处，$DG ⊥ GB$且$DG=10$米，$CG=60$米，$CE ⊥ GB$（不考虑两人身高，点$G$，$C$，$B$在同一水平线上）.若风筝$A$在小明的北偏东$45°$方向上，且高度$AB$为$60$米，$AB ⊥ GB$，求此时风筝$A$到小亮的距离$AD$.
答案：
14.
∵CE⊥GB,AB⊥GB,
∴CE//AB,
∴∠BAC=∠ECA=45°,
∴∠BCA=90°-45°=45°,
∴BC=AB=60米,
∴BG=BC+CG=120米.如图,过点D作DH⊥AB于点H.
∵DG⊥GB,AB⊥GB,DH⊥AB,
∴四边形BHDG是长方形,
∴BH=DG=10米,DH=BG=120米,
∴AH=60-10=50(米).在Rt△ADH中,$AD=\sqrt{DH^2+AH^2}=\sqrt{120^2+50^2}=130$(米).
14.
∵CE⊥GB,AB⊥GB,
∴CE//AB,
∴∠BAC=∠ECA=45°,
∴∠BCA=90°-45°=45°,
∴BC=AB=60米,
∴BG=BC+CG=120米.如图,过点D作DH⊥AB于点H.
∵DG⊥GB,AB⊥GB,DH⊥AB,
∴四边形BHDG是长方形,
∴BH=DG=10米,DH=BG=120米,
∴AH=60-10=50(米).在Rt△ADH中,$AD=\sqrt{DH^2+AH^2}=\sqrt{120^2+50^2}=130$(米).
15.(2025·枣庄峄城区一模)平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度.
例:“和点”$P(2,1)$按上述规则连续平移3次后，到达点$P_3(2,2)$，其平移过程如下：
$P(2,1)\xrightarrow{右}P_1(3,1)\xrightarrow{上}P_2(3,2)\xrightarrow{左}$
余0 余1 余2
$P_3(2,2)$.
若“和点”$Q$按上述规则连续平移16次后，到达点$Q_{16}(-1,9)$，则点$Q$的坐标为(
A.$(6,1)$或$(7,1)$
B.$(15,-7)$或$(8,0)$
C.$(6,0)$或$(8,0)$
D.$(5,1)$或$(7,1)$
例:“和点”$P(2,1)$按上述规则连续平移3次后，到达点$P_3(2,2)$，其平移过程如下：
$P(2,1)\xrightarrow{右}P_1(3,1)\xrightarrow{上}P_2(3,2)\xrightarrow{左}$
余0 余1 余2
$P_3(2,2)$.
若“和点”$Q$按上述规则连续平移16次后，到达点$Q_{16}(-1,9)$，则点$Q$的坐标为(
D
).A.$(6,1)$或$(7,1)$
B.$(15,-7)$或$(8,0)$
C.$(6,0)$或$(8,0)$
D.$(5,1)$或$(7,1)$
答案：15. D [解析]根据已知,点P₃(2,2)横、纵坐标之和除以3所得的余数为1,继而向上平移1个单位得到P₄(2,3),此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2,继而向左平移1个单位得到P₅(1,3),此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1,又向上平移1个单位,因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时,先向右平移1个单位,再按照向上、向左,向上、向左不断重复的规律平移;若“和点”Q按上述规则连续平移16次后,到达点Q₁₆(-1,9),则按照“和点”Q₁₆反向运动16次即可,可以分为两种情况:①Q₁₆先向右1个单位得到Q₁₅(0,9),此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0,应该是Q₁₅向右平移1个单位得到Q₁₆.故矛盾,不成立;②Q₁₆先向下1个单位得到Q₁₅(-1,8),此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1,则应该向上平移1个单位得到Q₁₆.故符合题意,
∴点Q₁₆先向下平移,再向右平移,当平移到第15次时,共计向下平移了8次,向右平移了7次,此时坐标为(-1+7,9-8),即(6,1),
∴最后一次若向右平移则为(7,1),若向左平移则为(5,1).故选D.
∴点Q₁₆先向下平移,再向右平移,当平移到第15次时,共计向下平移了8次,向右平移了7次,此时坐标为(-1+7,9-8),即(6,1),
∴最后一次若向右平移则为(7,1),若向左平移则为(5,1).故选D.
16.(2025·河南郑州中学期中)已知$a,b,n$均为正整数.
(1)若$n＜\sqrt{10}＜n+1$,则$n=$
(2)若$n-1＜\sqrt{a}＜n,n＜\sqrt{b}＜n+1$,则满足条件的$a$的个数总比$b$的个数少
(1)若$n＜\sqrt{10}＜n+1$,则$n=$
3
;(2)若$n-1＜\sqrt{a}＜n,n＜\sqrt{b}＜n+1$,则满足条件的$a$的个数总比$b$的个数少
2
个.答案：16. (1)3 (2)2 [解析]
∵n-1＜√a＜n,
∴(n-1)²＜a＜n²,
∴a的个数为n²-(n-1)²-1=n²-n²+2n-1-1=2n-2.
∵n＜√b＜n+1,
∴n²＜b＜(n+1)²,
∴b的个数为(n+1)²-n²-1=n²+2n+1-n²-1=2n.
∵2n-(2n-2)=2,
∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个.
∵n-1＜√a＜n,
∴(n-1)²＜a＜n²,
∴a的个数为n²-(n-1)²-1=n²-n²+2n-1-1=2n-2.
∵n＜√b＜n+1,
∴n²＜b＜(n+1)²,
∴b的个数为(n+1)²-n²-1=n²+2n+1-n²-1=2n.
∵2n-(2n-2)=2,
∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个.
17.(2024·自贡中考)一次函数$y=(3m+1)x-2$的值随$x$的增大而增大，请写出一个满足条件的$m$的值为
1(答案不唯一)
。答案：17. 1(答案不唯一) [解析]
∵y=(3m+1)x-2的值随x的增大而增大,
∴3m+1＞0,
∴m＞$-\frac{1}{3}$,
∴m可以为1(答案不唯一).
∵y=(3m+1)x-2的值随x的增大而增大,
∴3m+1＞0,
∴m＞$-\frac{1}{3}$,
∴m可以为1(答案不唯一).
18.(2025·陵水一模改编)[探究](1)已知$△ ABC$和$△ ADE$都是等边三角形.
①如图(1),当点$D$在$BC$上时,连接$CE$.请探究$CA$,$CE$和$CD$之间的数量关系,并说明理由；
②如图(2),当点$D$在线段$BC$的延长线上时,连接$CE$.请再次探究$CA$,$CE$和$CD$之间的数量关系,并说明理由.
[运用](2)如图(3),等边三角形$ABC$中,$AB=6$,点$E$在$AC$上,$CE=3.4$.点$D$是直线$BC$上的动点,连接$DE$,以$DE$为边在$DE$的右侧作等边三角形$DEF$,连接$CF$.当$△ CEF$为直角三角形时,请直接写出$BD$的长.
①如图(1),当点$D$在$BC$上时,连接$CE$.请探究$CA$,$CE$和$CD$之间的数量关系,并说明理由；
②如图(2),当点$D$在线段$BC$的延长线上时,连接$CE$.请再次探究$CA$,$CE$和$CD$之间的数量关系,并说明理由.
[运用](2)如图(3),等边三角形$ABC$中,$AB=6$,点$E$在$AC$上,$CE=3.4$.点$D$是直线$BC$上的动点,连接$DE$,以$DE$为边在$DE$的右侧作等边三角形$DEF$,连接$CF$.当$△ CEF$为直角三角形时,请直接写出$BD$的长.
答案：
18. (1)①CE+CD=CA.理由如下:
∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中,$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴CE=BD.
∵BD+CD=BC,
∴CE+CD=CA.②CA+CD=CE.理由如下:
∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中,$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴CE=BD.
∵CB+CD=BD,
∴CA+CD=CE.(2)过E作EH//AB,则△EHC为等边三角形.①当点D在H左侧时,如图(1).
∵ED=EF,∠DEH=∠FEC,EH=EC,
∴△EDH≌△EFC(SAS),
∴∠ECF=∠EHD=120°,此时△CEF不可能为直角三角形.②当点D在H右侧,且在线段CH上时,如图(2).
同理,可得△EDH≌△EFC(SAS),
∴∠FCE=∠EHD=60°,∠FEC=∠DEH＜∠HEC=60°,此时只有∠CFE有可能为90°,当∠CFE=90°时,∠EDH=90°,
∴ED⊥CH.
∵CH=CE=3.4,
∴CD=$\frac{1}{2}$CH=1.7.又BC=AB=6,
∴BD=4.3.③当点D在H右侧,且在HC延长线上时,如图(3),
此时只有∠CEF=90°.
∵∠DEF=60°,
∴∠CED=30°.
∵∠ECH=60°,
∴∠EDC=∠CED=30°,
∴CD=CE=3.4,
∴BD=9.4.综上所述,BD的长为4.3或9.4.
18. (1)①CE+CD=CA.理由如下:
∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中,$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴CE=BD.
∵BD+CD=BC,
∴CE+CD=CA.②CA+CD=CE.理由如下:
∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中,$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴CE=BD.
∵CB+CD=BD,
∴CA+CD=CE.(2)过E作EH//AB,则△EHC为等边三角形.①当点D在H左侧时,如图(1).
∵ED=EF,∠DEH=∠FEC,EH=EC,
∴△EDH≌△EFC(SAS),
∴∠ECF=∠EHD=120°,此时△CEF不可能为直角三角形.②当点D在H右侧,且在线段CH上时,如图(2).
同理,可得△EDH≌△EFC(SAS),∴∠FCE=∠EHD=60°,∠FEC=∠DEH＜∠HEC=60°,此时只有∠CFE有可能为90°,当∠CFE=90°时,∠EDH=90°,
∴ED⊥CH.
∵CH=CE=3.4,
∴CD=$\frac{1}{2}$CH=1.7.又BC=AB=6,
∴BD=4.3.③当点D在H右侧,且在HC延长线上时,如图(3),
此时只有∠CEF=90°.∵∠DEF=60°,
∴∠CED=30°.
∵∠ECH=60°,
∴∠EDC=∠CED=30°,
∴CD=CE=3.4,
∴BD=9.4.综上所述,BD的长为4.3或9.4.