答案：
1. 如图,在 BC 上截取 BE=AB,则 CE=BC-BE=5-3=2。
∵BD 为∠ABC 的平分线,
∴∠ABD=∠CBD。
在△ABD 和△EBD 中,$\begin{cases} AB=EB, \\ ∠ABD=∠EBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△ABD≌△EBD(SAS),
∴AD=DE,∠BED=∠A。
∵∠BAC=2∠C,
∴∠BED=2∠C。
∵∠BED=∠C+∠CDE,
∴∠C=∠CDE,
∴CE=DE=2,
∴AD=DE=2.

答案：
2. 如图,过点 D 作 DF//AB 交 AC 于点 F，
∴∠BAC=∠DFE.
∵E 为 BD 的中点,
∴BE=DE.
在△ABE 和△FDE 中,$\begin{cases} ∠BAE=∠DFE, \\ ∠AEB=∠FED, \\ BE=DE, \end{cases}$
∴△ABE≌△FDE(AAS),
∴AE=FE=1,AB=FD.
∵∠BAC=2∠ACD,∠BAC=∠DFE=∠FDC+∠ACD,
∴∠FDC=∠FCD,
∴FD=FC,
∴AB=FC.
∵FC=AC-AE-EF=3.5-1-1=1.5,
∴AB=1.5.

答案：
3. 如图,过点 A 作 AE⊥AD 交 BD 于点 E,连接 CE,则∠DAE=90°。
∵∠ADB=45°,
∴∠DEA=45°,
∴AD=AE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB,
即∠DAB=∠EAC,
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴EC=DB=4,∠DBA=∠ECA.
∵∠ECA+∠BCE=45°,
∴∠DBA+∠BCE=45°.
又∠ABC=45°,
∴∠BEC=90°,即 CE⊥BD,
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2}CE·BD=\frac{1}{2}×4×4=8.$

答案：
4. 如图(1),作 CH⊥BC,且 CH=BC,连接 BH 交 AC 于点 M,连接 EH.
∵AD 是等边三角形 ABC 的中线，
∴AC=BC,∠DAC=30°,
∴AC=CH.
∵∠BCH=90°,∠ACB=60°,
∴∠ACH=90°-60°=30°,
∴∠DAC=∠ACH=30°.
∵AF=CE,
∴△AFC≌△CEH(SAS),
∴CF=EH,BE+CF=BE+EH,
∴当点 M 与点 E 重合,即 E 为 AC 与 BH 的交点时,如图(2),BE+CF 的值最小，
→最短路径的实质是两点之间,线段最短
此时∠EBC=45°,∠ECB=60°,
∴∠BEC=180°-45°-60°=75°.