1. (2025·扬州邗江区期末)在等腰三角形ABC中，∠A=2∠B，则∠C的度数为
45°或72°
。答案：1. 设∠B=x°,则∠A=2x°.
当∠A 是顶角时,∠A+2∠B=180°,即 4x = 180,解得x=45,此时∠C=∠B=45°;
当∠A 是底角时,2∠A + ∠B = 180°,即 5x = 180,解得x=36,此时∠C=2∠B=72°.
综上,∠C 的度数为 45°或 72°.
当∠A 是顶角时,∠A+2∠B=180°,即 4x = 180,解得x=45,此时∠C=∠B=45°;
当∠A 是底角时,2∠A + ∠B = 180°,即 5x = 180,解得x=36,此时∠C=2∠B=72°.
综上,∠C 的度数为 45°或 72°.
2. 新考法 新定义问题 若一个三角形的两个内角之差是第三个内角的一半，则称这个三角形是“差半角三角形”.若一个等腰三角形是“差半角三角形”，求它的底角度数.
答案：2. 设等腰三角形的底角是 α,则顶角是(180°-2α),其中α＜90°.
根据“差半角三角形”定义知,当这个等腰三角形是“差半角三角形”时,有以下两种情况：
①当(180°-2α)-α=α/2时，
解得α=(360/7)°＜90°,符合题意；
②当α-(180°-2α)=α/2时，
解得α=72°＜90°,符合题意.
综上所述,这个等腰三角形的底角度数是(360/7)°或72°.
根据“差半角三角形”定义知,当这个等腰三角形是“差半角三角形”时,有以下两种情况：
①当(180°-2α)-α=α/2时，
解得α=(360/7)°＜90°,符合题意；
②当α-(180°-2α)=α/2时，
解得α=72°＜90°,符合题意.
综上所述,这个等腰三角形的底角度数是(360/7)°或72°.
3. (2025·四川广安邻水五中期中)若一个等腰三角形的两边长分别为5 cm，3 cm，则它的周长是
13 cm 或 11 cm
.答案：3. 分两种情况：
当等腰三角形的腰长为 5 cm,底边长为 3 cm 时,满足三角形的三边关系,
∴它的周长=5+5+3=13(cm)；
当等腰三角形的腰长为 3 cm,底边长为 5 cm 时,满足三角形的三边关系,
∴它的周长=5+3+3=11(cm).
综上,它的周长是 13 cm 或 11 cm.
当等腰三角形的腰长为 5 cm,底边长为 3 cm 时,满足三角形的三边关系,
∴它的周长=5+5+3=13(cm)；
当等腰三角形的腰长为 3 cm,底边长为 5 cm 时,满足三角形的三边关系,
∴它的周长=5+3+3=11(cm).
综上,它的周长是 13 cm 或 11 cm.
4. 新考法 新定义问题（2025·扬州江都区期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”。若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则△ABC的周长为
15
。答案：4. 分两种情况：
当等腰三角形 ABC 的底边长是腰长 AB 的 2 倍时,底边的长为 12.
∵6+6=12,
∴不能组成三角形；
当等腰三角形 ABC 的腰长 AB 是底边长的 2 倍时,底边的长为 3,满足三角形的三边关系,
∴△ABC 的周长为 6+6+3=15.
综上所述,△ABC 的周长为 15.
当等腰三角形 ABC 的底边长是腰长 AB 的 2 倍时,底边的长为 12.
∵6+6=12,
∴不能组成三角形；
当等腰三角形 ABC 的腰长 AB 是底边长的 2 倍时,底边的长为 3,满足三角形的三边关系,
∴△ABC 的周长为 6+6+3=15.
综上所述,△ABC 的周长为 15.
5. 如图,在等腰三角形ABC中,$AB=AC$,$∠B=50°$,$D$为$BC$的中点,点$E$在$AB$上,$∠AED=69°$,若$P$是等腰三角形$ABC$的腰$AC$上的一点,则当$△ EDP$为等腰三角形时,$∠EDP$的度数是
100°或 142°
.答案：
5. 如图,连接AD.
∵AB=AC,∠B=50°,
∴∠BAC=180°-50°-50°=80°.
∵P 是等腰三角形 ABC 的腰 AC 上的一点,AB=AC,D 为 BC 的中点,
∴∠BAD=∠CAD.
过点 D 作 DH⊥AC 于点 H,DG⊥AB 于点 G,
∴DG=DH.
当 DE=DP₂ 时，
在Rt△DEG 和 Rt△DP₂H 中，
{DE=DP₂，
DG=DH，
∴Rt△DEG≌Rt△DP₂H(HL)，
∴∠CP₂D=∠AED=69°.
∵∠BAC=80°,
∴∠EDP₂=100°；
当 DE=DP₁ 时，
同理可得Rt△DEG≌Rt△DP₁H，
∴∠EDP₁=360°-69°-69°-80°=142°.
综上,∠EDP 的度数为 100°或 142°.
5. 如图,连接AD.
∵AB=AC,∠B=50°,
∴∠BAC=180°-50°-50°=80°.
∵P 是等腰三角形 ABC 的腰 AC 上的一点,AB=AC,D 为 BC 的中点,
∴∠BAD=∠CAD.
过点 D 作 DH⊥AC 于点 H,DG⊥AB 于点 G,
∴DG=DH.
当 DE=DP₂ 时，
在Rt△DEG 和 Rt△DP₂H 中，
{DE=DP₂，
DG=DH，
∴Rt△DEG≌Rt△DP₂H(HL)，
∴∠CP₂D=∠AED=69°.
∵∠BAC=80°,
∴∠EDP₂=100°；
当 DE=DP₁ 时，
同理可得Rt△DEG≌Rt△DP₁H，
∴∠EDP₁=360°-69°-69°-80°=142°.
综上,∠EDP 的度数为 100°或 142°.
6.如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB=30°，OM=a，MN=3，若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是
a=3 或 a＞6
。答案：
6. ①如图,作线段 MN 的垂直平分线交 OB 于点 P,连接 PM,PN,
则 PM=PN,此时△PMN 是等腰三角形.
过点 M 作 MH⊥OB 于点 H,
当 MH＞MN,满足条件的点 P 恰好只有一个.
∵MN=3,∠AOB=30°,
当 MH=3 时,OM=2MH=6,
∴当 a＞6 时,满足条件的点 P 恰好只有一个；
②当△PMN 是等边三角形时,满足条件的点 P 恰好只有一个,此时 MN=MP,∠NMP=60°.
∵∠AOB=30°,
∴∠MPO=30°,
∴OM=MP=MN=3,
∴a=3.
综上所述,满足条件的 a 的取值范围为 a=3 或 a＞6.
6. ①如图,作线段 MN 的垂直平分线交 OB 于点 P,连接 PM,PN,
则 PM=PN,此时△PMN 是等腰三角形.
过点 M 作 MH⊥OB 于点 H,
当 MH＞MN,满足条件的点 P 恰好只有一个.
∵MN=3,∠AOB=30°,
当 MH=3 时,OM=2MH=6,
∴当 a＞6 时,满足条件的点 P 恰好只有一个；
②当△PMN 是等边三角形时,满足条件的点 P 恰好只有一个,此时 MN=MP,∠NMP=60°.
∵∠AOB=30°,
∴∠MPO=30°,
∴OM=MP=MN=3,
∴a=3.
综上所述,满足条件的 a 的取值范围为 a=3 或 a＞6.
7. 新考法 探究动点问题 如图，$∠ AOB=60°$，C是BO延长线上一点，$OC=12\ \mathrm{cm}$，动点M从点C出发沿射线CB以2 cm/s的速度移动，动点N从点O出发沿射线OA以1 cm/s的速度移动，如果点M,N同时出发，设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$，那么当t为何值时，$△ MON$是等腰三角形？
答案：7. 由题意知,当 0＜t≤6 时,OM=(12-2t)cm；
当 t＞6 时,OM=(2t-12)cm. ON = t cm.
∵△MON 是等腰三角形，
∴当 0＜t≤6 时,OM=ON，
结合∠AOB = 60°,可判断此时△MON 为钝角三角形,即只有 OM=ON 一种情况
即 12-2t = t,解得 t=4；
当 t＞6 时,∠AOB=60°,△MON 是等腰三角形，
∴OM=ON,即 2t-12 = t,解得 t=12.
综上所述,t 的值为 4 或 12.
当 t＞6 时,OM=(2t-12)cm. ON = t cm.
∵△MON 是等腰三角形，
∴当 0＜t≤6 时,OM=ON，
结合∠AOB = 60°,可判断此时△MON 为钝角三角形,即只有 OM=ON 一种情况
即 12-2t = t,解得 t=4；
当 t＞6 时,∠AOB=60°,△MON 是等腰三角形，
∴OM=ON,即 2t-12 = t,解得 t=12.
综上所述,t 的值为 4 或 12.