1. 教材P49练习T1·变式 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$CD$ 是斜边 $AB$ 上的中线，若 $CD=2.5$，则 $AB$ 的长为(
A.2.5
B.4
C.5
D.6
C
).A.2.5
B.4
C.5
D.6
答案：1. C [解析]在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$CD$ 是斜边 $AB$ 上的中线,$\therefore AB=2CD=2× 2.5=5$. 故选 C.
归纳总结 本题主要考查直角三角形的性质,熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键.
归纳总结 本题主要考查直角三角形的性质,熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键.
2. (2026·河北秦皇岛期末)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=8,∠ BAC=120°$. D 是边 BC 上任意一点,则 AD 的长不可能是(
A.3
B.5
C.6
D.7
A
).A.3
B.5
C.6
D.7
答案：
2. A [解析]如图,过点 $A$ 作 $AM⊥ BC$ 于点 $M$.
$\because AB=AC=8,∠ BAC=120°,AM⊥ BC$,
$\therefore∠ ABC=∠ ACB=\dfrac{180°-∠ BAC}{2}=30°,∠ AMB=90°$,
$\therefore AM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}× 8=4,\therefore AD≥ AM=4$.
$\because AD≤ AB=8,\therefore 4≤ AD≤ 8$,
$\therefore AD$ 的长度不可能是 3. 故选 A.
2. A [解析]如图,过点 $A$ 作 $AM⊥ BC$ 于点 $M$.
$\because AB=AC=8,∠ BAC=120°,AM⊥ BC$,
$\therefore∠ ABC=∠ ACB=\dfrac{180°-∠ BAC}{2}=30°,∠ AMB=90°$,
$\therefore AM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}× 8=4,\therefore AD≥ AM=4$.
$\because AD≤ AB=8,\therefore 4≤ AD≤ 8$,
$\therefore AD$ 的长度不可能是 3. 故选 A.
3.（2025·苏州工业园区期末）如图，在等边三角形ABC中，AB=6，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30°，则CE的长为
3
。答案：3. 3 [解析]$\because △ ABC$ 是等边三角形,$AB=6$,$BD$ 平分$∠ ABC$,
$\therefore∠ CBD=30°,AC=AB=6,∠ ACB=60°,\therefore CD=3$.
$\because∠ E=30°,\therefore∠ CDE=∠ ACB-∠ E=30°$,
$\therefore∠ E=∠ CDE=30°,\therefore CE=CD=3$.
$\therefore∠ CBD=30°,AC=AB=6,∠ ACB=60°,\therefore CD=3$.
$\because∠ E=30°,\therefore∠ CDE=∠ ACB-∠ E=30°$,
$\therefore∠ E=∠ CDE=30°,\therefore CE=CD=3$.
4. (2026·湖南张家界永定区期末)如图,在$△ ABC$中, $∠ ACB=90°$,$CD$是高,$∠ A=30°$,$BD=2$,则 $CB$ 的长为(
A.3
B.4
C.5
D.6
B
).A.3
B.4
C.5
D.6
答案：4. B [解析]$\because∠ A+∠ B+∠ ACB=180°,∠ A=30°$,
$∠ ACB=90°,\therefore∠ B=180°-∠ A-∠ ACB=60°$.
$\because CD$ 是$△ ABC$ 的高,$\therefore∠ CDB=90°$,
$\therefore∠ BCD=90°-60°=30°$.
在 $\mathrm{Rt}△ CBD$ 中,$CB=2BD=2× 2=4$. 故选 B.
$∠ ACB=90°,\therefore∠ B=180°-∠ A-∠ ACB=60°$.
$\because CD$ 是$△ ABC$ 的高,$\therefore∠ CDB=90°$,
$\therefore∠ BCD=90°-60°=30°$.
在 $\mathrm{Rt}△ CBD$ 中,$CB=2BD=2× 2=4$. 故选 B.
5. (2026·安徽芜湖期末)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ B=30°$,$DA⊥ AC$,垂足为$A$,若$AD=2$,则$BC$的长为(
A.4
B.6
C.8
D.10
B
).A.4
B.6
C.8
D.10
答案：5. B [解析]$\because AB=AC,\therefore∠ B=∠ C=30°$,
$\therefore∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=120°$.
$\because DA⊥ AC,\therefore∠ DAC=90°,\therefore CD=2AD=4$.
$\because∠ BAC=120°,∠ DAC=90°$,
$\therefore∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC=30°$,
$\therefore∠ B=∠ BAD=30°,\therefore BD=AD=2$,
$\therefore BC=BD+CD=2+4=6$. 故选 B.
$\therefore∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=120°$.
$\because DA⊥ AC,\therefore∠ DAC=90°,\therefore CD=2AD=4$.
$\because∠ BAC=120°,∠ DAC=90°$,
$\therefore∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC=30°$,
$\therefore∠ B=∠ BAD=30°,\therefore BD=AD=2$,
$\therefore BC=BD+CD=2+4=6$. 故选 B.
6.（2026·上海浦东民办未来科技学校期末）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E，∠ACD=2∠CBE，则∠A的度数为
36°
。答案：6. 36° [解析]$\because DE$ 是 $AB$ 的垂直平分线,
$\therefore EA=EB,D$ 是 $AB$ 的中点,$\therefore∠ EBA=∠ A$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$D$ 是 $AB$ 的中点,
则 $CD=\dfrac{1}{2}AB=AD,\therefore∠ ACD=∠ A$.
$\because∠ ACD=2∠ CBE,\therefore∠ EBA=∠ A=2∠ CBE$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ABC+∠ A=90°$,
$\therefore\dfrac{1}{2}∠ A+∠ A+∠ A=90°$,解得$∠ A=36°$.
思路引导 根据线段垂直平分线的性质得到 $EA=EB$,根据等腰三角形的性质得到$∠ EBA=∠ A$,根据直角三角形斜边上的中线的性质得到 $CD=\dfrac{1}{2}AB=AD$,得到$∠ ACD=∠ A$,再根据直角三角形的性质列式计算即可.
$\therefore EA=EB,D$ 是 $AB$ 的中点,$\therefore∠ EBA=∠ A$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$D$ 是 $AB$ 的中点,
则 $CD=\dfrac{1}{2}AB=AD,\therefore∠ ACD=∠ A$.
$\because∠ ACD=2∠ CBE,\therefore∠ EBA=∠ A=2∠ CBE$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ABC+∠ A=90°$,
$\therefore\dfrac{1}{2}∠ A+∠ A+∠ A=90°$,解得$∠ A=36°$.
思路引导 根据线段垂直平分线的性质得到 $EA=EB$,根据等腰三角形的性质得到$∠ EBA=∠ A$,根据直角三角形斜边上的中线的性质得到 $CD=\dfrac{1}{2}AB=AD$,得到$∠ ACD=∠ A$,再根据直角三角形的性质列式计算即可.
7.（2025·山东青岛市南区月考）如图，在$△ ABC$中，AD为$∠ CAB$的平分线，$BE ⊥ AD$于点E，$EF ⊥ AB$于点F，$∠ DBE = ∠ C = 15°$，$AB = 8$，则$AF=$
2
。答案：7. 2 [解析]$\because∠ DBE=15°,∠ BED=90°$,
$\therefore∠ BDA=75°.\because∠ BDA=∠ DAC+∠ C,∠ C=15°$,
$\therefore∠ DAC=60°$.
$\because AD$ 为$∠ CAB$ 的平分线,$\therefore∠ BAD=∠ DAC=60°$.
$\because EF⊥ AB$ 于点 $F$,$BE⊥ AD$ 于点 $E$,
$\therefore∠ FEA=∠ ABE=30°$.
$\because AB=8,\therefore AE=4,\therefore AF=\dfrac{1}{2}AE=2$.
$\therefore∠ BDA=75°.\because∠ BDA=∠ DAC+∠ C,∠ C=15°$,
$\therefore∠ DAC=60°$.
$\because AD$ 为$∠ CAB$ 的平分线,$\therefore∠ BAD=∠ DAC=60°$.
$\because EF⊥ AB$ 于点 $F$,$BE⊥ AD$ 于点 $E$,
$\therefore∠ FEA=∠ ABE=30°$.
$\because AB=8,\therefore AE=4,\therefore AF=\dfrac{1}{2}AE=2$.
8. 在$△ ABC$中，已知$∠ A = 90°$，$AB = AC$，$D$为$BC$的中点.
（1）如图，$E$，$F$分别是$AB$，$AC$上的点，且$BE = AF$，则$△ DEF$为等腰直角三角形吗？请说明理由.
（2）若$E$，$F$分别为$AB$，$CA$延长线上的点，仍有$BE = AF$，其他条件不变，那么$△ DEF$是否仍为等腰直角三角形？若是，请说明理由.
（1）如图，$E$，$F$分别是$AB$，$AC$上的点，且$BE = AF$，则$△ DEF$为等腰直角三角形吗？请说明理由.
（2）若$E$，$F$分别为$AB$，$CA$延长线上的点，仍有$BE = AF$，其他条件不变，那么$△ DEF$是否仍为等腰直角三角形？若是，请说明理由.
答案：
8. (1)$△ DEF$ 是等腰直角三角形. 理由如下：
连接 $AD$. $\because AB=AC,∠ BAC=90°,D$ 为 $BC$ 的中点,
$\therefore AD⊥ BC,BD=AD$,
$\therefore∠ B=∠ DAB=∠ DAC=45°$.
又 $BE=AF,\therefore△ BDE≌△ ADF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ED=FD,∠ BDE=∠ ADF$,
$\therefore∠ EDF=∠ EDA+∠ ADF=∠ EDA+∠ BDE=∠ BDA=90°$,$\therefore△ DEF$ 是等腰直角三角形.
(2)$△ DEF$ 仍是等腰直角三角形. 理由如下：
如图,连接 $AD$.
$\because AB=AC,∠ BAC=90°,D$ 为 $BC$ 的中点,
$\therefore AD=BD,AD⊥ BC,\therefore∠ DAC=∠ ABD=45°$,
$\therefore∠ DAF=∠ DBE=135°$.
又 $AF=BE,\therefore△ DAF≌△ DBE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore FD=ED,∠ FDA=∠ EDB$,
$\therefore∠ EDF=∠ EDB+∠ FDB=∠ FDA+∠ FDB=∠ ADB=90°$,$\therefore△ DEF$ 是等腰直角三角形.
8. (1)$△ DEF$ 是等腰直角三角形. 理由如下：
连接 $AD$. $\because AB=AC,∠ BAC=90°,D$ 为 $BC$ 的中点,
$\therefore AD⊥ BC,BD=AD$,
$\therefore∠ B=∠ DAB=∠ DAC=45°$.
又 $BE=AF,\therefore△ BDE≌△ ADF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ED=FD,∠ BDE=∠ ADF$,
$\therefore∠ EDF=∠ EDA+∠ ADF=∠ EDA+∠ BDE=∠ BDA=90°$,$\therefore△ DEF$ 是等腰直角三角形.
(2)$△ DEF$ 仍是等腰直角三角形. 理由如下：
如图,连接 $AD$.
$\because AB=AC,∠ BAC=90°,D$ 为 $BC$ 的中点,
$\therefore AD=BD,AD⊥ BC,\therefore∠ DAC=∠ ABD=45°$,
$\therefore∠ DAF=∠ DBE=135°$.
又 $AF=BE,\therefore△ DAF≌△ DBE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore FD=ED,∠ FDA=∠ EDB$,
$\therefore∠ EDF=∠ EDB+∠ FDB=∠ FDA+∠ FDB=∠ ADB=90°$,$\therefore△ DEF$ 是等腰直角三角形.