7.（2026·陕西榆林绥德期末）如图，在$△ ADB$中，$∠ ADB = 60°$，$DC$平分$∠ ADB$，交$AB$于点$C$，且$DC ⊥ AB$，过点$C$作$CE // DA$交$DB$于点$E$，连接$AE$。
(1)求证：$△ ADB$是等边三角形；
(2)求证：$AE ⊥ DB$。
(1)求证：$△ ADB$是等边三角形；
(2)求证：$AE ⊥ DB$。
答案：(1)
∵DC 平分∠ADB,∠ADB=60°,
∴∠ADC=∠BDC=30°.
∵DC⊥AB,
∴∠DCB=∠DCA=90°,
∴∠B=∠A=90°-30°=60°,
∴∠ADB=∠B=∠DAB=60°,
∴△ADB 是等边三角形.
(2)
∵CE//DA,
∴∠BEC=∠ADB=60°,
∴∠CEB=∠CBE=∠ECB=60°,
∴△CEB 是等边三角形，
∴CE=BE=CB.
∵△ADB 是等边三角形,DC⊥AB,
∴AC=BC,
∴AC=EC,
∴∠BAE=∠AEC=$\frac{1}{2}$∠ECB=30°,
∴∠AEB=90°,
∴AE⊥BD.
∵DC 平分∠ADB,∠ADB=60°,
∴∠ADC=∠BDC=30°.
∵DC⊥AB,
∴∠DCB=∠DCA=90°,
∴∠B=∠A=90°-30°=60°,
∴∠ADB=∠B=∠DAB=60°,
∴△ADB 是等边三角形.
(2)
∵CE//DA,
∴∠BEC=∠ADB=60°,
∴∠CEB=∠CBE=∠ECB=60°,
∴△CEB 是等边三角形，
∴CE=BE=CB.
∵△ADB 是等边三角形,DC⊥AB,
∴AC=BC,
∴AC=EC,
∴∠BAE=∠AEC=$\frac{1}{2}$∠ECB=30°,
∴∠AEB=90°,
∴AE⊥BD.
8. (2026·安徽阜阳太和期末)如图,在$△ ABC$中,BD是高,D是边AC的中点,点E在边BC的延长线上,ED的延长线交AB于点F,且$EF ⊥ AB$,若$∠ E=30°$.
(1)求证:$△ ABC$是等边三角形;
(2)请判断线段AD与CE的大小关系,并说明理由.
(1)求证:$△ ABC$是等边三角形;
(2)请判断线段AD与CE的大小关系,并说明理由.
答案：(1)
∵BD⊥AC,D 是边 AC 的中点，
∴BD 垂直平分 AC,
∴AB=CB.
∵EF⊥AB,
∴∠ABC+∠E=90°.
∵∠E=30°,
∴∠ABC=60°,
∴△ABC 是等边三角形.
→有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
(2)AD=CE. 理由如下：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB=60°.
∵∠ACB=∠E+∠CDE,∠E=30°,
∴∠CDE=30°=∠E,
∴CD=CE.
∵D 是边 AC 的中点,
∴AD=CD,
∴AD=CE.
∵BD⊥AC,D 是边 AC 的中点，
∴BD 垂直平分 AC,
∴AB=CB.
∵EF⊥AB,
∴∠ABC+∠E=90°.
∵∠E=30°,
∴∠ABC=60°,
∴△ABC 是等边三角形.
→有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
(2)AD=CE. 理由如下：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB=60°.
∵∠ACB=∠E+∠CDE,∠E=30°,
∴∠CDE=30°=∠E,
∴CD=CE.
∵D 是边 AC 的中点,
∴AD=CD,
∴AD=CE.
9. 如图,在等边三角形ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论.
答案：△APQ 为等边三角形. 理由如下：
∵△ABC 为等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°.
在△ABP 和△ACQ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABP=∠ACQ, \\ BP=CQ, \end{cases}$
∴△ABP≌△ACQ(SAS),
∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,
∴△APQ 是等边三角形.
∵△ABC 为等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°.
在△ABP 和△ACQ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABP=∠ACQ, \\ BP=CQ, \end{cases}$
∴△ABP≌△ACQ(SAS),
∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,
∴△APQ 是等边三角形.
10. (2025·潍坊中考)如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地.
甲:$A→C→B$，路程为$l_甲$.
乙:$A→D→E→F→B$，路程为$l_乙$.
丙:$A→G→H→B$，路程为$l_丙$.
下列关系正确的是(
A.$l_甲＞l_乙＞l_丙$
B.$l_乙＞l_甲＞l_丙$
C.$l_甲＞l_丙＞l_乙$
D.$l_甲=l_乙＞l_丙$
甲:$A→C→B$，路程为$l_甲$.
乙:$A→D→E→F→B$，路程为$l_乙$.
丙:$A→G→H→B$，路程为$l_丙$.
下列关系正确的是(
D
).A.$l_甲＞l_乙＞l_丙$
B.$l_乙＞l_甲＞l_丙$
C.$l_甲＞l_丙＞l_乙$
D.$l_甲=l_乙＞l_丙$
答案：
解析：在图丙中,延长 AG,BH 交于点 P,如图所示：
设 AB=a.
在图甲中,
∵∠A=∠B=60°,
∴△ABC 是等边三角形,
∴AC=BC=AB=a,
∴甲所行走的路程$l_甲=AC+BC=2a$;
在图乙中,AE+BE=AB=a.
∵∠A=∠AED=∠FEB=∠B=60°,
∴△DAE 和△FEB 都是等边三角形，
∴AD=DE=AE,EF=FB=EB,
∴乙所行走的路程$l_乙=AD+DE+EF+FB=2(AE+BE)=2a$;
在图丙中,
∵∠A=∠B=60°,
∴△ABP 是等边三角形，
∴AP=PB=AB=a.
∵AG+GH+HB＜AG+PG+PH+HB=PA+PB=2a,
→根据三角形三边之间的关系,得GH＜PG+PH
∴丙所行走的路程$l_丙=AG+GH+HB＜2a$,
∴$l_甲=l_乙＞l_丙$. 故选 D.
解析：在图丙中,延长 AG,BH 交于点 P,如图所示：
设 AB=a.
在图甲中,
∵∠A=∠B=60°,
∴△ABC 是等边三角形,
∴AC=BC=AB=a,
∴甲所行走的路程$l_甲=AC+BC=2a$;
在图乙中,AE+BE=AB=a.
∵∠A=∠AED=∠FEB=∠B=60°,
∴△DAE 和△FEB 都是等边三角形，
∴AD=DE=AE,EF=FB=EB,
∴乙所行走的路程$l_乙=AD+DE+EF+FB=2(AE+BE)=2a$;
在图丙中,
∵∠A=∠B=60°,
∴△ABP 是等边三角形，
∴AP=PB=AB=a.
∵AG+GH+HB＜AG+PG+PH+HB=PA+PB=2a,
→根据三角形三边之间的关系,得GH＜PG+PH
∴丙所行走的路程$l_丙=AG+GH+HB＜2a$,
∴$l_甲=l_乙＞l_丙$. 故选 D.