1.（改编自《实验班 初中数学 几何模型》）如图，$△ ABC$和$△ DEC$都是等边三角形，$D$是$BC$延长线上一点，$AD$与$BE$相交于点$P$，$AC$，$BE$相交于点$M$，$AD$，$CE$相交于点$N$，则下列五个结论：
①$AD=BE$；②$∠ BMC=∠ ANC$；③$∠ APM=60°$；④$AN=BM$；⑤$△ CMN$是等边三角形.
其中正确的有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
（第1题）（第2题）
①$AD=BE$；②$∠ BMC=∠ ANC$；③$∠ APM=60°$；④$AN=BM$；⑤$△ CMN$是等边三角形.
其中正确的有（
D
）.A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
（第1题）（第2题）
答案：
∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE = ∠ACD,∠ACE=60°,
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴AD=BE. 故结论①正确；
∵△BCE≌△ACD,
∴∠CBE=∠CAD.
∵∠ACB=∠ACE=60°,
∴∠BMC=∠ANC. 故结论②正确；
∵∠APM是△PBD的外角，
∴∠APM = ∠CBE + ∠ADC = ∠CAD + ∠ADC = ∠ACB=60°. 故结论③正确；
在△ACN 和△BCM 中,$\begin{cases} ∠CAN=∠CBM, \\ AC=BC, \\ ∠ACN=∠BCM=60°, \end{cases}$
∴△ACN≌△BCM(ASA),
∴AN=BM. 故结论④正确；
∵△ACN≌△BCM,
∴CM=CN.
∵∠MCN=60°,
∴△CMN是等边三角形，故结论⑤正确. 故选 D.
∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE = ∠ACD,∠ACE=60°,
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴AD=BE. 故结论①正确；
∵△BCE≌△ACD,
∴∠CBE=∠CAD.
∵∠ACB=∠ACE=60°,
∴∠BMC=∠ANC. 故结论②正确；
∵∠APM是△PBD的外角，
∴∠APM = ∠CBE + ∠ADC = ∠CAD + ∠ADC = ∠ACB=60°. 故结论③正确；
在△ACN 和△BCM 中,$\begin{cases} ∠CAN=∠CBM, \\ AC=BC, \\ ∠ACN=∠BCM=60°, \end{cases}$
∴△ACN≌△BCM(ASA),
∴AN=BM. 故结论④正确；
∵△ACN≌△BCM,
∴CM=CN.
∵∠MCN=60°,
∴△CMN是等边三角形，故结论⑤正确. 故选 D.
2.（2025·南京溧水月考）如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心、DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC等于（
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
C
）.A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案：在等边三角形 ABC 中,∠ABC=60°.
∵BD 是边 AC 上的高,
∴BD 平分∠ABC，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵BD=ED,
∴∠DEC=∠CBD=30°. 故选 C.
∵BD 是边 AC 上的高,
∴BD 平分∠ABC，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵BD=ED,
∴∠DEC=∠CBD=30°. 故选 C.
3. 分类讨论思想（2026·吉林吉林七中期末）如图，已知△ABC中，边AC的垂直平分线分别交AB，AC边于点E，D，且∠BEC=120°。
(1)求证：△AEC是等边三角形；
(2)点F在射线ED上，连接AF，当△AEF为等腰三角形时，∠EAF的度数是
(1)求证：△AEC是等边三角形；
(2)点F在射线ED上，连接AF，当△AEF为等腰三角形时，∠EAF的度数是
30°或75°或120°
。答案：
(1)
∵DE 为 AC 的垂直平分线,
∴AE=CE.
∵∠BEC=120°,
∴∠AEC=180°-∠BEC=180°-120°=60°,
∴△AEC 是等边三角形.
(2)30°或75°或120°
解析：
∵△AEC 为等边三角形,DE 为 AC 的垂直平分线，
∴∠AED=30°.
当$F_1$在线段 DE 上,且$AF_1=EF_1$时,$△AEF_1$为等腰三角形,$\therefore ∠F_1AE=∠DEA=30°$;
当$F_2$在 ED 的延长线上,且$EF_2=EA$时,$△AEF_2$为等腰三角形,$\therefore ∠EAF_2=∠EF_2A=\frac{180°-∠AED}{2}=75°$;
当$F_3$在 ED 的延长线上,且$AF_3=EA$时,$△AEF_3$为等腰三角形,$\therefore ∠AF_3E=∠DEA=30°$,
$\therefore ∠F_3AE=180°-30°-30°=120°$.
综上所述,∠EAF 的度数为 30°或 75°或 120°.
(1)
∵DE 为 AC 的垂直平分线,
∴AE=CE.
∵∠BEC=120°,
∴∠AEC=180°-∠BEC=180°-120°=60°,
∴△AEC 是等边三角形.
(2)30°或75°或120°
解析：
∵△AEC 为等边三角形,DE 为 AC 的垂直平分线，
∴∠AED=30°.
当$F_1$在线段 DE 上,且$AF_1=EF_1$时,$△AEF_1$为等腰三角形,$\therefore ∠F_1AE=∠DEA=30°$;
当$F_2$在 ED 的延长线上,且$EF_2=EA$时,$△AEF_2$为等腰三角形,$\therefore ∠EAF_2=∠EF_2A=\frac{180°-∠AED}{2}=75°$;
当$F_3$在 ED 的延长线上,且$AF_3=EA$时,$△AEF_3$为等腰三角形,$\therefore ∠AF_3E=∠DEA=30°$,
$\therefore ∠F_3AE=180°-30°-30°=120°$.
综上所述,∠EAF 的度数为 30°或 75°或 120°.
4.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为(
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
C
).A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案：C
5.如图，$△ ABC$是等边三角形，O为$△ ABC$内任意一点，$OE // AB$，$OF // AC$，分别交BC于点E，F.求证：$△ OEF$是等边三角形.
答案：
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°.
∵OE//AB,
∴∠OEF=∠B=60°.
∵OF//AC,
∴∠OFE=∠C=60°,
∴∠EOF=∠OEF=∠OFE=60°,
∴△OEF 是等边三角形.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°.
∵OE//AB,
∴∠OEF=∠B=60°.
∵OF//AC,
∴∠OFE=∠C=60°,
∴∠EOF=∠OEF=∠OFE=60°,
∴△OEF 是等边三角形.
6. 以正方形ABCD的一边CD为边作等边三角形CDE.连接AE,BE.
(1)画出图形；
(2)求∠AEB的度数.
(1)画出图形；
(2)求∠AEB的度数.
答案：
(1)当点 E 在正方形 ABCD 外时,如图(1)；
当点 E 在正方形 ABCD 内时,如图(2).
(2)在图(1)中,
∵∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+60°=150°,AD=CD=DE,
∴∠DEA=∠DAE=15°. 同理∠CEB=15°,
∴∠AEB=∠DEC-∠DEA-∠CEB=60°-15°-15°=30°.
在图(2)中,
∵ AD = CD = DE, ∠ADE = ∠ADC - ∠CDE=90°-60°=30°,
∴∠AED=∠DAE=75°. 同理∠CEB=75°,
∴∠AEB=360°-∠AED-∠CEB-∠CED=360°-75°-75°-60°=150°.
综上所述,∠AEB 的度数为 30°或 150°.
(1)当点 E 在正方形 ABCD 外时,如图(1)；
当点 E 在正方形 ABCD 内时,如图(2).
(2)在图(1)中,
∵∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+60°=150°,AD=CD=DE,
∴∠DEA=∠DAE=15°. 同理∠CEB=15°,
∴∠AEB=∠DEC-∠DEA-∠CEB=60°-15°-15°=30°.
在图(2)中,
∵ AD = CD = DE, ∠ADE = ∠ADC - ∠CDE=90°-60°=30°,
∴∠AED=∠DAE=75°. 同理∠CEB=75°,
∴∠AEB=360°-∠AED-∠CEB-∠CED=360°-75°-75°-60°=150°.
综上所述,∠AEB 的度数为 30°或 150°.