12.（2025·盐城亭湖区期中）如图，在$△ ABC$中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，$BE=AC$.
(1)求证:$AD ⊥ BC$；
(2)若$∠ BAC=75°$,求$∠ B$的度数.
(1)求证:$AD ⊥ BC$；
(2)若$∠ BAC=75°$,求$∠ B$的度数.
答案：
(1)如图,连接AE，
∵EF垂直平分AB,
∴AE=BE.
∵BE=AC,
∴AE=AC.
∵D是EC的中点，
∴AD⊥BC.
(2)设∠B=x°.
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=x°.
由三角形的外角的性质,得∠AEC=2x°.
∵AE=AC,
∴∠C=∠AEC=2x°.
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°,即3x°+75°=180°,解得x=35,
∴∠B=35°.
(1)如图,连接AE，
∵EF垂直平分AB,
∴AE=BE.
∵BE=AC,
∴AE=AC.
∵D是EC的中点，
∴AD⊥BC.
(2)设∠B=x°.
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=x°.
由三角形的外角的性质,得∠AEC=2x°.
∵AE=AC,
∴∠C=∠AEC=2x°.
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°,即3x°+75°=180°,解得x=35,
∴∠B=35°.
13. 新考法 类比探究 如图, 在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$在$BC$上,且$BD=BA$,点$E$在$BC$的延长线上,且$CE=CA$.
(1)若$∠ BAC=90°$(如图(1)),求$∠ DAE$的度数;
(2)若$∠ BAC=120°$(如图(2)),求$∠ DAE$的度数;
(3)当$∠ BAC＞90°$时,探求$∠ DAE$与$∠ BAC$之间的数量关系,并说明理由.
(1)若$∠ BAC=90°$(如图(1)),求$∠ DAE$的度数;
(2)若$∠ BAC=120°$(如图(2)),求$∠ DAE$的度数;
(3)当$∠ BAC＞90°$时,探求$∠ DAE$与$∠ BAC$之间的数量关系,并说明理由.
答案：(1)
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°.
∵BD=BA,
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$(180°-∠B)=67.5°.
∵CE=CA,
∴∠CAE=∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB=22.5°,
∴∠BAE=180°-∠B-∠E=112.5°,
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°.
(2)
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠ACB=30°.
∵BA=BD,
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$(180°-∠B)=75°,
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=45°.
∵CA=CE,
∴∠E=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠ACB=15°,
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°.
(3)∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC.理由如下：
设∠CAE=x,∠BAD=y,
则∠B=180°-2y,∠E=∠CAE=x,
∴∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x,
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x,
∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x,
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC.
素养考向 本题属于典型的类比探究问题,通过改变顶角∠BAC的度数(从特殊的90°,120°到一般情况),引导学生观察、计算并归纳图形中∠DAE与∠BAC之间的数量关系.其核心考点是等腰三角形的性质、三角形内角和定理及外角定理的反复应用,着重考查学生从特殊到一般的数学思想方法、规律探究能力以及严谨的代数推导能力.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°.
∵BD=BA,
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$(180°-∠B)=67.5°.
∵CE=CA,
∴∠CAE=∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB=22.5°,
∴∠BAE=180°-∠B-∠E=112.5°,
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°.
(2)
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠ACB=30°.
∵BA=BD,
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$(180°-∠B)=75°,
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=45°.
∵CA=CE,
∴∠E=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠ACB=15°,
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°.
(3)∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC.理由如下：
设∠CAE=x,∠BAD=y,
则∠B=180°-2y,∠E=∠CAE=x,
∴∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x,
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x,
∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x,
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC.
素养考向 本题属于典型的类比探究问题,通过改变顶角∠BAC的度数(从特殊的90°,120°到一般情况),引导学生观察、计算并归纳图形中∠DAE与∠BAC之间的数量关系.其核心考点是等腰三角形的性质、三角形内角和定理及外角定理的反复应用,着重考查学生从特殊到一般的数学思想方法、规律探究能力以及严谨的代数推导能力.
14. (2025·陕西中考)如图，在$△ ABC$中，点D在边BC上，$∠ ADB=2∠ C$。若$AB=5$，$BC=6$，则$△ ABD$的周长为(
A.8
B.10
C.11
D.12
C
).A.8
B.10
C.11
D.12
答案：C [解析]
∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB=∠C+∠DAC.
∵∠ADB=2∠C,
∴∠C=∠DAC,
∴AD=DC,
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC.
∵AB=5,BC=6,
∴△ABD的周长=5+6=11.故选C.
∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB=∠C+∠DAC.
∵∠ADB=2∠C,
∴∠C=∠DAC,
∴AD=DC,
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC.
∵AB=5,BC=6,
∴△ABD的周长=5+6=11.故选C.
15. (2025·哈尔滨中考)在$△ ABC$中，$∠ A=80°$，点$D$在射线$AB$上，$AD=AC$，连接$CD$，$∠ BCD=10°$，则$∠ ABC=$
40或60
度。答案：
40或60 [解析]如图(1),当点D在线段AB上时.
∵∠A=80°,AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD=50°,
∴∠ABC=∠ADC-∠BCD=50°-10°=40°;
如图(2),当点D在AB的延长线上时.
∵∠A=80°,AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD=50°,
∴∠ABC=∠ADC+∠BCD=50°+10°=60°.
综上,∠ABC的度数为40°或60°.
40或60 [解析]如图(1),当点D在线段AB上时.
∵∠A=80°,AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD=50°,
∴∠ABC=∠ADC-∠BCD=50°-10°=40°;
如图(2),当点D在AB的延长线上时.
∵∠A=80°,AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD=50°,
∴∠ABC=∠ADC+∠BCD=50°+10°=60°.
综上,∠ABC的度数为40°或60°.