1. (2026·山东济南钢城区期末)已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长是(
A.12
B.7
C.9
D.9或12
A
)。A.12
B.7
C.9
D.9或12
答案：A [解析]当等腰三角形的腰长是2时，2+2＜5，不满足三角形三边关系定理；当等腰三角形的腰长是5时，5+2＞5，满足三角形三边关系定理，
∴等腰三角形的周长=5+5+2=12. 故选A.
∴等腰三角形的周长=5+5+2=12. 故选A.
2. 教材P50习题T1·变式 已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是(
A.5
B.8
C.11
D.5或11
A
).A.5
B.8
C.11
D.5或11
答案：A [解析]当腰长为5时，底边长为21-2×5=11，三角形的三边长为5,5,11，不能构成三角形；当底边长为5时，腰长为(21-5)÷2=8，三角形的三边长为8,8,5，能构成等腰三角形，所以等腰三角形的底边长为5. 故选A.
易错警示 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系.已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，再进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.
易错警示 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系.已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，再进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.
3. 分类讨论思想（2025·辽宁葫芦岛连山区期中）等腰三角形的两边长分别是3和6，那么这个三角形的周长是
15
。答案：15 [解析]①若3为腰长，6为底边长，由于3+3=6，则三角形不存在；②若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为6+6+3=15.
4. (2026·湖南永州期末)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,边AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E,连接BE,$AE=6$,求$∠ C$的度数及边BC的长.
答案：
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠C=∠ABC=$\frac{180°-36°}{2}$=72°.
∵AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E,AE=6,
∴AE=BE=6,
∴∠ABE=∠A=36°,
∴∠BEC=∠ABE+∠A=72°,
∴∠BEC=∠C,
∴BC=BE=6.
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠C=∠ABC=$\frac{180°-36°}{2}$=72°.
∵AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E,AE=6,
∴AE=BE=6,
∴∠ABE=∠A=36°,
∴∠BEC=∠ABE+∠A=72°,
∴∠BEC=∠C,
∴BC=BE=6.
5. 教材P44例2·变式 如图，在$△ ABC$中，点$D,E$分别在边$AB,AC$上，$DE// BC$，$EB$平分$∠ DEC$.
(1)求证：$BC=CE$；
(2)若$CE=AB$，$EA=EB$，求$∠ C$的度数.
(1)求证：$BC=CE$；
(2)若$CE=AB$，$EA=EB$，求$∠ C$的度数.
答案：(1)
∵EB平分∠DEC,
∴∠DEB=∠BEC.
∵DE//BC,
∴∠DEB=∠EBC,
∴∠BEC=∠EBC,
∴BC=CE.
(2)
∵BC=CE,CE=AB,
∴BC=AB,
∴∠C=∠A.
设∠C=∠A=x.
∵EA=EB,
∴∠ABE=∠A=x,
∴∠EBC=∠BEC=∠A+∠ABE=2x,
∴2x+2x+x=180°,
∴∠C=x=36°.
∵EB平分∠DEC,
∴∠DEB=∠BEC.
∵DE//BC,
∴∠DEB=∠EBC,
∴∠BEC=∠EBC,
∴BC=CE.
(2)
∵BC=CE,CE=AB,
∴BC=AB,
∴∠C=∠A.
设∠C=∠A=x.
∵EA=EB,
∴∠ABE=∠A=x,
∴∠EBC=∠BEC=∠A+∠ABE=2x,
∴2x+2x+x=180°,
∴∠C=x=36°.
6.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,AD是边BC上的中线,且$BD=BE$,若$∠ ADE=15°$,则$∠ C$的度数为(
A.$35°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$45°$
B
).A.$35°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$45°$
答案：B [解析]
∵AB=AC,AD是边BC上的中线，
∴AD⊥BC,∠B=∠C,
∴∠ADB=90°.
→等腰三角形的三线合一性质
∵∠ADE=15°,
∴∠BDE=90°-15°=75°.
∵BD=BE,
∴∠BED=∠BDE=75°,
∴∠B=180°-2×75°=180°-150°=30°,
∴∠C=30°.故选B.
∵AB=AC,AD是边BC上的中线，
∴AD⊥BC,∠B=∠C,
∴∠ADB=90°.
→等腰三角形的三线合一性质
∵∠ADE=15°,
∴∠BDE=90°-15°=75°.
∵BD=BE,
∴∠BED=∠BDE=75°,
∴∠B=180°-2×75°=180°-150°=30°,
∴∠C=30°.故选B.
7.(连云港宁海中学自主招生)如图，$△ ABC$的三条高相交于点$G$，$CH$是角平分线，已知$∠ ABC=45°,∠ ACD=60°$，则图中的等腰三角形共有(
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
D
).A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
答案：D [解析]①
∵AD⊥BC,∠ABC=45°,
∴∠ABC=∠BAD=45°,
∴AD=BD,
∴△ABD是等腰三角形；
②
∵CF⊥AB,∠ABC=45°,
∴∠ABC=∠BCF=45°,BF=CF,
∴△BCF是等腰三角形；
③
∵∠ACB=60°,
∴∠CBE=90°-60°=30°.
∵CH是△ABC的角平分线，
∴∠BCH=∠ACH=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°,
∴∠CBI=∠ICB,
∴△BCI是等腰三角形；
④
∵∠ACB=60°,
∴∠CAD=90°-60°=30°,
∴∠ACJ=∠CAJ=30°,
∴△ACJ是等腰三角形；
⑤
∵∠ACF=60°-45°=15°,
∴∠CAF=90°-15°=75°.
∵∠AHC=∠ABC+∠BCH=45°+30°=75°,
∴∠CAH=∠CHA=75°,
∴△ACH是等腰三角形；
⑥
∵∠GCD=∠DGC=45°,
∴△CDG是等腰三角形；
⑦
∵∠GIJ=∠EBC+∠HCB=30°+30°=60°,
∠GJI=∠CJD=90°-30°=60°,
∴∠GIJ=∠GJI=60°,
∴△GIJ是等腰三角形；
⑧
∵∠FAG=45°,CF⊥AB,
∴∠FAG=∠AGF=45°,
∴△AFG是等腰三角形.
综上所述,题图中等腰三角形共有8个:△ABD,△BCF,△BCI,△ACJ,△ACH,△CDG,△GIJ,△AFG.故选D.
∵AD⊥BC,∠ABC=45°,
∴∠ABC=∠BAD=45°,
∴AD=BD,
∴△ABD是等腰三角形；
②
∵CF⊥AB,∠ABC=45°,
∴∠ABC=∠BCF=45°,BF=CF,
∴△BCF是等腰三角形；
③
∵∠ACB=60°,
∴∠CBE=90°-60°=30°.
∵CH是△ABC的角平分线，
∴∠BCH=∠ACH=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°,
∴∠CBI=∠ICB,
∴△BCI是等腰三角形；
④
∵∠ACB=60°,
∴∠CAD=90°-60°=30°,
∴∠ACJ=∠CAJ=30°,
∴△ACJ是等腰三角形；
⑤
∵∠ACF=60°-45°=15°,
∴∠CAF=90°-15°=75°.
∵∠AHC=∠ABC+∠BCH=45°+30°=75°,
∴∠CAH=∠CHA=75°,
∴△ACH是等腰三角形；
⑥
∵∠GCD=∠DGC=45°,
∴△CDG是等腰三角形；
⑦
∵∠GIJ=∠EBC+∠HCB=30°+30°=60°,
∠GJI=∠CJD=90°-30°=60°,
∴∠GIJ=∠GJI=60°,
∴△GIJ是等腰三角形；
⑧
∵∠FAG=45°,CF⊥AB,
∴∠FAG=∠AGF=45°,
∴△AFG是等腰三角形.
综上所述,题图中等腰三角形共有8个:△ABD,△BCF,△BCI,△ACJ,△ACH,△CDG,△GIJ,△AFG.故选D.
8.（2025·南通如东期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在AB上，且AD=CD，BC=BD，则∠A的度数是
（第8题）（第9题）
$\frac{180°}{7}$
。（第8题）（第9题）
答案：$\frac{180°}{7}$ [解析]
∵AD=CD,
∴∠ACD=∠A.
∵∠BDC是△ADC的外角，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=2∠A.
∵BC=BD,
∴∠BCD=∠BDC=2∠A.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
又∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠A+2∠A=3∠A，
∴∠B=∠ACB=3∠A.
在△ABC中,∠A+∠B+∠ACB=180°,
即∠A+3∠A+3∠A=180°,
∴∠A=$\frac{180°}{7}$.
∵AD=CD,
∴∠ACD=∠A.
∵∠BDC是△ADC的外角，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=2∠A.
∵BC=BD,
∴∠BCD=∠BDC=2∠A.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
又∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠A+2∠A=3∠A，
∴∠B=∠ACB=3∠A.
在△ABC中,∠A+∠B+∠ACB=180°,
即∠A+3∠A+3∠A=180°,
∴∠A=$\frac{180°}{7}$.
9.（南师附中特长生）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD=AE$，$∠ BAD=40°$，则$∠ EDC=$
20°
。答案：20° [解析]因为AB=AC,所以∠B=∠C.
设∠EDC=x,∠B=∠C=y,
则∠AED=∠EDC+∠C=x+y.
因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=x+y,
所以∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y.
又∠ADC=∠B+∠BAD,
所以2x+y=y+40,解得x=20°,
所以∠EDC的度数是20°.
设∠EDC=x,∠B=∠C=y,
则∠AED=∠EDC+∠C=x+y.
因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=x+y,
所以∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y.
又∠ADC=∠B+∠BAD,
所以2x+y=y+40,解得x=20°,
所以∠EDC的度数是20°.
10. 新考法 探究新定义问题（2026·陕西延安志丹期末）
我们称等腰三角形的腰长与其底边长的比值为这个等腰三角形的“和谐比”.若等腰三角形ABC的周长为20，其中一边长为6，则这个等腰三角形的“和谐比”为
我们称等腰三角形的腰长与其底边长的比值为这个等腰三角形的“和谐比”.若等腰三角形ABC的周长为20，其中一边长为6，则这个等腰三角形的“和谐比”为
$\frac{3}{4}$或$\frac{7}{6}$
.答案：$\frac{3}{4}$或$\frac{7}{6}$ [解析]根据等腰三角形的性质,分情况讨论:若6为腰长,则底边长为20-6-6=8,满足三角形的三边关系,其和谐比为$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$;若6为底边长,则腰长为$\frac{20-6}{2}$=7,满足三角形的三边关系,其和谐比为$\frac{7}{6}$.综上所述,“和谐比”为$\frac{3}{4}$或$\frac{7}{6}$.
思路引导 根据等腰三角形的周长和一边长,分别讨论该边为腰长或底边长两种情况,计算“和谐比”即可.
思路引导 根据等腰三角形的周长和一边长,分别讨论该边为腰长或底边长两种情况,计算“和谐比”即可.
11. 转化思想（2025·南京栖霞区金陵中学月考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF. 求证：AF=BF. 
答案：连接CF.
∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD,AD⊥BC,即AD是BC的垂直平分线，
∴BF=CF.
∵FE是AC的垂直平分线，
∴AF=CF,
∴AF=BF.
∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD,AD⊥BC,即AD是BC的垂直平分线，
∴BF=CF.
∵FE是AC的垂直平分线，
∴AF=CF,
∴AF=BF.