9.(2025·无锡江阴申港中学月考)如图,在$△ ABC$中,AD为边BC上的高,AE是$∠ BAD$的平分线,F为AE上一点,连接BF,$∠ BFE=45°$.
(1)求证:BF平分$∠ ABE$;
(2)连接CF交AD于点G,若$S_{△ ABF}=S_{△ CBF}$,求证:$∠ AFC=90°$;
(3)在(2)的条件下,当$BE=3,AG=4.5$时,求线段AB的长.
(1)求证:BF平分$∠ ABE$;
(2)连接CF交AD于点G,若$S_{△ ABF}=S_{△ CBF}$,求证:$∠ AFC=90°$;
(3)在(2)的条件下,当$BE=3,AG=4.5$时,求线段AB的长.
答案：
9. (1)
∵AE 是$∠BAD$ 的平分线，
∴$∠BAD=2∠BAF$。
∵$∠BFE=45°$，
∴$∠FBA+∠BAF=45°$，
∴$2∠FBA+2∠BAF=90°$。
∵AD 为边 BC 上的高，
∴$∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°$，
∴$2∠FBA=∠EBF+∠FBA$，
∴$∠EBF=∠FBA$，
∴BF 平分$∠ABE$。
(2)如图，过点 F 作 $FM⊥BC$ 于点 M，$FN⊥AB$ 于点 N。
∵BF 平分$∠ABE$，$FM⊥BC$，$FN⊥AB$，
∴$FM=FN$。
∵$S_{△ABF}=S_{△CBF}$，即 $AB·FN=BC·FM$，
∴$AB=BC$。
在$△ABF$ 和$△CBF$ 中，$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠FBA=∠FBC, \\ BF=BF, \end{cases}$
∴$△ABF≌△CBF(SAS)$，
∴$∠AFB=∠CFB$。
∵$∠BFE=45°$，
∴$∠AFB=180°-45°=135°$，
∴$∠CFB=135°$，
∴$∠AFC=360°-135°-135°=90°$。
(3)
∵$△ABF≌△CBF$，
∴$AF=FC$。
∵$∠AFC=∠ADC=90°$，$∠AGF=∠CGD$，
∴$∠FAG=∠FCE$。
在$△AFG$ 和$△CFE$ 中，$\begin{cases} ∠FAG=∠FCE, \\ AF=CF, \\ ∠AFG=∠CFE, \end{cases}$
∴$△AFG≌△CFE(ASA)$，
∴$AG=EC=4.5$。
∵$BE=3$，
∴$BC=BE+EC=7.5$。
又$△ABF≌△CBF$，
∴$AB=BC=7.5$。
思路引导 (1)先利用 AE 是$∠BAD$ 的平分线，得到$∠BAD=2∠BAF$，再利用三角形外角的性质，得到$∠FBA+∠BAF=45°$，则$2∠FBA+2∠BAF=90°$，接着利用$∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°$，得到$2∠FBA=∠EBF+∠FBA$，所以$∠EBF=∠FBA$，从而得证；
(2)过点 F 作 $FM⊥BC$ 于点 M，$FN⊥AB$ 于点 N，先根据角平分线的性质，得到 $FM=FN$，则根据三角形面积公式，得到 $AB=BC$，接着证明 $△ABF≌△CBF$，得到$∠AFB=∠CFB$，然后利用$∠AFB=∠CFB=135°$，得到$∠AFC=90°$；
(3)先由$△ABF≌△CBF$ 得到 $AF=FC$，再利用等角的余角相等，得到$∠FAG=∠FCE$，接着证明$△AFG≌△CFE$，得到$AG=EC=4.5$，所以$BC=BE+EC=7.5$，然后利用$△ABF≌△CBF$ 得到 $AB=BC$。
9. (1)
∵AE 是$∠BAD$ 的平分线，
∴$∠BAD=2∠BAF$。
∵$∠BFE=45°$，
∴$∠FBA+∠BAF=45°$，
∴$2∠FBA+2∠BAF=90°$。
∵AD 为边 BC 上的高，
∴$∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°$，
∴$2∠FBA=∠EBF+∠FBA$，
∴$∠EBF=∠FBA$，
∴BF 平分$∠ABE$。
(2)如图，过点 F 作 $FM⊥BC$ 于点 M，$FN⊥AB$ 于点 N。
∵BF 平分$∠ABE$，$FM⊥BC$，$FN⊥AB$，
∴$FM=FN$。
∵$S_{△ABF}=S_{△CBF}$，即 $AB·FN=BC·FM$，
∴$AB=BC$。
在$△ABF$ 和$△CBF$ 中，$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠FBA=∠FBC, \\ BF=BF, \end{cases}$
∴$△ABF≌△CBF(SAS)$，
∴$∠AFB=∠CFB$。
∵$∠BFE=45°$，
∴$∠AFB=180°-45°=135°$，
∴$∠CFB=135°$，
∴$∠AFC=360°-135°-135°=90°$。
(3)
∵$△ABF≌△CBF$，
∴$AF=FC$。
∵$∠AFC=∠ADC=90°$，$∠AGF=∠CGD$，
∴$∠FAG=∠FCE$。
在$△AFG$ 和$△CFE$ 中，$\begin{cases} ∠FAG=∠FCE, \\ AF=CF, \\ ∠AFG=∠CFE, \end{cases}$
∴$△AFG≌△CFE(ASA)$，
∴$AG=EC=4.5$。
∵$BE=3$，
∴$BC=BE+EC=7.5$。
又$△ABF≌△CBF$，
∴$AB=BC=7.5$。
思路引导 (1)先利用 AE 是$∠BAD$ 的平分线，得到$∠BAD=2∠BAF$，再利用三角形外角的性质，得到$∠FBA+∠BAF=45°$，则$2∠FBA+2∠BAF=90°$，接着利用$∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°$，得到$2∠FBA=∠EBF+∠FBA$，所以$∠EBF=∠FBA$，从而得证；
(2)过点 F 作 $FM⊥BC$ 于点 M，$FN⊥AB$ 于点 N，先根据角平分线的性质，得到 $FM=FN$，则根据三角形面积公式，得到 $AB=BC$，接着证明 $△ABF≌△CBF$，得到$∠AFB=∠CFB$，然后利用$∠AFB=∠CFB=135°$，得到$∠AFC=90°$；
(3)先由$△ABF≌△CBF$ 得到 $AF=FC$，再利用等角的余角相等，得到$∠FAG=∠FCE$，接着证明$△AFG≌△CFE$，得到$AG=EC=4.5$，所以$BC=BE+EC=7.5$，然后利用$△ABF≌△CBF$ 得到 $AB=BC$。
10. 新考法 动点问题 如图(1),直线m与直线n相交于点O,A,B两点同时从点O出发,点A以每秒x个单位长度的速度沿直线n向左运动,点B以每秒y个单位长度的速度沿直线m向上运动.
(1)若运动1s时,点B比点A多运动1个单位长度;运动2s时,点B与点A运动的路程和为6个单位长度,则x=
(2)如图(2),当直线m与直线n垂直时,设∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P.在点A,B运动的过程中,∠APB的大小是否会发生变化?若不发生变化,请求出其值(写出过程);若发生变化,请说明理由.
(3)如图(3),将(2)中的直线n不动,直线m绕点O按顺时针方向旋转α(0°＜α＜90°),其他条件不变.
(i)用含有α的式子表示∠APB的度数;
(ii)如果再分别作△ABO的两个外角∠BAC,∠ABD的平分线相交于点Q,并延长BP,QA交于点M.则下列结论为定值的选项是
①∠Q+∠M;②∠M−∠Q;③∠APB+∠Q;④∠APB−∠M.
(1)若运动1s时,点B比点A多运动1个单位长度;运动2s时,点B与点A运动的路程和为6个单位长度,则x=
1
,y=2
.(2)如图(2),当直线m与直线n垂直时,设∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P.在点A,B运动的过程中,∠APB的大小是否会发生变化?若不发生变化,请求出其值(写出过程);若发生变化,请说明理由.
(3)如图(3),将(2)中的直线n不动,直线m绕点O按顺时针方向旋转α(0°＜α＜90°),其他条件不变.
(i)用含有α的式子表示∠APB的度数;
(ii)如果再分别作△ABO的两个外角∠BAC,∠ABD的平分线相交于点Q,并延长BP,QA交于点M.则下列结论为定值的选项是
①③④
(填序号).①∠Q+∠M;②∠M−∠Q;③∠APB+∠Q;④∠APB−∠M.
答案：10. (1)1 2 [解析]由题意，得$\begin{cases} y-x=1, \\ 2y+2x=6, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases}$
(2)$∠APB$ 的大小不发生变化，$∠APB=135°$。
∵直线 $m⊥$ 直线 $n$，
∴$∠AOB=90°$，
∴$∠OAB+∠OBA=90°$。
∵AP 平分$∠BAO$，BP 平分$∠ABO$，
∴$∠PAB+∠PBA=\frac{1}{2}(∠OAB+∠OBA)=\frac{1}{2}×90°=45°$，
∴$∠APB=180°-45°=135°$。
(3)(i)$∠APB=135°+\frac{1}{2}α$。理由如下：
根据题意，得$∠AOB=90°+α$，
∴$∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB=90°-α$。
∵AP 平分$∠BAO$，BP 平分$∠ABO$，
∴$∠PAB+∠PBA=\frac{1}{2}(∠OAB+∠OBA)=45°-\frac{1}{2}α$，
∴$∠APB=180°-(45°-\frac{1}{2}α)=135°+\frac{1}{2}α$。
(ii)①③④ [解析]①
∵BQ 平分$∠ABD$，BM 平分$∠ABO$，
∴$∠MBQ=\frac{1}{2}(∠ABD+∠ABO)=90°$，
∴$∠Q+∠M=90°$，故①为定值；
②
∵AQ 平分$∠CAB$，BQ 平分$∠ABD$，
∴$∠Q=180°-(∠QAB+∠QBA)$
$=180°-[\frac{1}{2}(180°-∠OAB)+\frac{1}{2}(180°-∠OBA)]$
$=\frac{1}{2}(∠OAB+∠OBA)=\frac{1}{2}[180°-(90°+α)]$
$=45°-\frac{1}{2}α$，
∴$∠M=90°-∠Q=45°+\frac{1}{2}α$，
∴$∠M-∠Q=α$，故②不是定值；
③
∵$∠APB=135°+\frac{1}{2}α$，$∠Q=45°-\frac{1}{2}α$，
∴$∠APB+∠Q=135°+\frac{1}{2}α+45°-\frac{1}{2}α=180°$，
故③为定值；
④
∵$∠APB=135°+\frac{1}{2}α$，$∠M=45°+\frac{1}{2}α$，
∴$∠APB-∠M=135°+\frac{1}{2}α-45°-\frac{1}{2}α=90°$，
故④为定值。
素养考向 本题是典型的动态几何问题，综合了动点行程、角平分线性质、三角形内角和与外角定理及图形旋转。核心考点在于探究运动变化过程中的不变量(定值)，要求学生将动态问题静态化，灵活运用角度计算与代数方法进行推理，全面考查数形结合思想与几何综合探究能力，是中高难度压轴题的常见类型。
(2)$∠APB$ 的大小不发生变化，$∠APB=135°$。
∵直线 $m⊥$ 直线 $n$，
∴$∠AOB=90°$，
∴$∠OAB+∠OBA=90°$。
∵AP 平分$∠BAO$，BP 平分$∠ABO$，
∴$∠PAB+∠PBA=\frac{1}{2}(∠OAB+∠OBA)=\frac{1}{2}×90°=45°$，
∴$∠APB=180°-45°=135°$。
(3)(i)$∠APB=135°+\frac{1}{2}α$。理由如下：
根据题意，得$∠AOB=90°+α$，
∴$∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB=90°-α$。
∵AP 平分$∠BAO$，BP 平分$∠ABO$，
∴$∠PAB+∠PBA=\frac{1}{2}(∠OAB+∠OBA)=45°-\frac{1}{2}α$，
∴$∠APB=180°-(45°-\frac{1}{2}α)=135°+\frac{1}{2}α$。
(ii)①③④ [解析]①
∵BQ 平分$∠ABD$，BM 平分$∠ABO$，
∴$∠MBQ=\frac{1}{2}(∠ABD+∠ABO)=90°$，
∴$∠Q+∠M=90°$，故①为定值；
②
∵AQ 平分$∠CAB$，BQ 平分$∠ABD$，
∴$∠Q=180°-(∠QAB+∠QBA)$
$=180°-[\frac{1}{2}(180°-∠OAB)+\frac{1}{2}(180°-∠OBA)]$
$=\frac{1}{2}(∠OAB+∠OBA)=\frac{1}{2}[180°-(90°+α)]$
$=45°-\frac{1}{2}α$，
∴$∠M=90°-∠Q=45°+\frac{1}{2}α$，
∴$∠M-∠Q=α$，故②不是定值；
③
∵$∠APB=135°+\frac{1}{2}α$，$∠Q=45°-\frac{1}{2}α$，
∴$∠APB+∠Q=135°+\frac{1}{2}α+45°-\frac{1}{2}α=180°$，
故③为定值；
④
∵$∠APB=135°+\frac{1}{2}α$，$∠M=45°+\frac{1}{2}α$，
∴$∠APB-∠M=135°+\frac{1}{2}α-45°-\frac{1}{2}α=90°$，
故④为定值。
素养考向 本题是典型的动态几何问题，综合了动点行程、角平分线性质、三角形内角和与外角定理及图形旋转。核心考点在于探究运动变化过程中的不变量(定值)，要求学生将动态问题静态化，灵活运用角度计算与代数方法进行推理，全面考查数形结合思想与几何综合探究能力，是中高难度压轴题的常见类型。