1.（2026·黑龙江绥化望奎期末）如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$BD$是$△ ABC$的角平分线。若$CD=3\ \mathrm{cm}$，则点$D$到$AB$的距离为（
A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$
B
）。A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$
答案：1.B
2.（改编自《实验班 初中数学 几何模型》）角平分线模型如图，BD是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$，垂足为E。若$△ ABC$的面积为70，$AB=16$，$BC=12$，则DE的长为（
A.4
B.5
C.10
D.28
B
）。A.4
B.5
C.10
D.28
答案：
2.B [解析]如图，过点 D 作 $DF⊥BC$ 于点 F。
∵ BD 是 $△ABC$ 的角平分线，$DE ⊥ AB$，
∴ $DE = DF$，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×16DE+\frac{1}{2}×12DF=70$，
∴ $14DE=70$，解得 $DE=5$。故选 B。
2.B [解析]如图，过点 D 作 $DF⊥BC$ 于点 F。
∵ BD 是 $△ABC$ 的角平分线，$DE ⊥ AB$，
∴ $DE = DF$，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×16DE+\frac{1}{2}×12DF=70$，
∴ $14DE=70$，解得 $DE=5$。故选 B。
3. 如图，已知O为$△ ABC$的两条角平分线的交点，过点O作$OD⊥ BC$于点D，且$OD=4$，若$△ ABC$的周长是17，则$△ ABC$的面积为
34
。答案：
3. 34 [解析]如图，过点 O 作 $OE⊥AC$ 于点 E，$OF⊥AB$ 于点 F，连接 OA。
∵O 为 $△ABC$ 的两条角平分线的交点，
∴BO 平分$∠ABC$，CO 平分$∠ACB$。
∵$OE⊥AC$，$OF⊥AB$，$OD⊥BC$，$OD=4$，
∴$OE=OD=4$，$OF=OD=4$，
∴$S_{△OAB}=\frac{1}{2}AB·OF=2AB$，$S_{△OBC}=\frac{1}{2}BC·OD=2BC$，$S_{△OAC}=\frac{1}{2}AC·OE=2AC$，
∴$S_{△ABC}=S_{△OAB}+S_{△OBC}+S_{△OAC}=2AB+2BC+2AC=2(AB+BC+AC)$。
∵$△ABC$ 的周长是 17，
∴$AB+BC+AC=17$，
∴$S_{△ABC}=2(AB+BC+AC)=2×17=34$。
3. 34 [解析]如图，过点 O 作 $OE⊥AC$ 于点 E，$OF⊥AB$ 于点 F，连接 OA。
∵O 为 $△ABC$ 的两条角平分线的交点，
∴BO 平分$∠ABC$，CO 平分$∠ACB$。
∵$OE⊥AC$，$OF⊥AB$，$OD⊥BC$，$OD=4$，
∴$OE=OD=4$，$OF=OD=4$，
∴$S_{△OAB}=\frac{1}{2}AB·OF=2AB$，$S_{△OBC}=\frac{1}{2}BC·OD=2BC$，$S_{△OAC}=\frac{1}{2}AC·OE=2AC$，
∴$S_{△ABC}=S_{△OAB}+S_{△OBC}+S_{△OAC}=2AB+2BC+2AC=2(AB+BC+AC)$。
∵$△ABC$ 的周长是 17，
∴$AB+BC+AC=17$，
∴$S_{△ABC}=2(AB+BC+AC)=2×17=34$。
4.（2025·南京建邺区新城中学期中）如图，BD是△ABC的角平分线，DH⊥BC，垂足为H。若△ABC的面积为15，BC=5，DH=2，求AB的长。
答案：
4. 如图，过点 D 作 $DF⊥AB$ 于点 F。
∵BD 是 $△ABC$ 的角平分线，
∴BD 平分$∠ABC$。
∵点 D 在$∠ABC$的平分线上，且 $DF⊥AB$ 于点 F，$DH⊥BC$ 于点 H，
∴$DF=DH=2$。
∵$S_{△ABD}+S_{△CBD}=S_{△ABC}=15$，且 $BC=5$，
∴$\frac{1}{2}×2AB+\frac{1}{2}×5×2=15$，解得 $AB=10$，
∴AB 的长为 10。
4. 如图，过点 D 作 $DF⊥AB$ 于点 F。
∵BD 是 $△ABC$ 的角平分线，
∴BD 平分$∠ABC$。
∵点 D 在$∠ABC$的平分线上，且 $DF⊥AB$ 于点 F，$DH⊥BC$ 于点 H，
∴$DF=DH=2$。
∵$S_{△ABD}+S_{△CBD}=S_{△ABC}=15$，且 $BC=5$，
∴$\frac{1}{2}×2AB+\frac{1}{2}×5×2=15$，解得 $AB=10$，
∴AB 的长为 10。
5.（2025·山西晋中榆次区期中）如图，在$△ ABC$中，$BO$，$CO$分别平分$∠ ABC$，$∠ ACB$，$OD ⊥ BC$于点$D$。若$OD＝3$，$△ ABC$的面积是50，则$△ ABC$的周长为（
A.$\dfrac{50}{3}$
B.$25$
C.$\dfrac{100}{3}$
D.$50$
C
）。A.$\dfrac{50}{3}$
B.$25$
C.$\dfrac{100}{3}$
D.$50$
答案：5.C
6. 教材P38例2·变式 如图，O是$△ ABC$内一点，且O到$△ ABC$三边AB，BC，CA的距离$OE=OD=OF$.若$∠ BAC=70°$,则$∠ BOC=$
125°
.答案：6. 125°
7. (2025·苏州工业园区星洋学校期中)如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的角平分线，过点E作EN⊥AB于点N，EM为△BED的高.
(1)若∠BED=40°,∠BAD=25°,求∠ABD的度数；
(2)若AB=16,BD=8,△ABC的面积为64,求EM的长.
(1)若∠BED=40°,∠BAD=25°,求∠ABD的度数；
(2)若AB=16,BD=8,△ABC的面积为64,求EM的长.
答案：7. (1)
∵$∠BED$ 是 $△ABE$ 的一个外角，
∴$∠ABE=∠BED-∠BAD=40°-25°=15°$。
∵BE 为 $△ABD$ 的角平分线，
∴$∠ABD=2∠ABE=30°$。
(2)
∵AD 为 $△ABC$ 的中线，$△ABC$ 的面积为 64，
∴$△ABD$ 的面积为 32。
→三角形中线平分面积
∵BE 为 $△ABD$ 的角平分线，$EN⊥AB$，EM 为 $△BED$ 的高，
∴$NE=ME$。
∵$S_{△ABD}=S_{△ABE}+S_{△BDE}=32$，
∴$\frac{1}{2}AB·NE+\frac{1}{2}BD·ME=32$。
∵$AB=16$，$BD=8$，$NE=ME$，
∴$\frac{1}{2}×16ME+\frac{1}{2}×8ME=32$，解得 $ME=\frac{8}{3}$。
∵$∠BED$ 是 $△ABE$ 的一个外角，
∴$∠ABE=∠BED-∠BAD=40°-25°=15°$。
∵BE 为 $△ABD$ 的角平分线，
∴$∠ABD=2∠ABE=30°$。
(2)
∵AD 为 $△ABC$ 的中线，$△ABC$ 的面积为 64，
∴$△ABD$ 的面积为 32。
→三角形中线平分面积
∵BE 为 $△ABD$ 的角平分线，$EN⊥AB$，EM 为 $△BED$ 的高，
∴$NE=ME$。
∵$S_{△ABD}=S_{△ABE}+S_{△BDE}=32$，
∴$\frac{1}{2}AB·NE+\frac{1}{2}BD·ME=32$。
∵$AB=16$，$BD=8$，$NE=ME$，
∴$\frac{1}{2}×16ME+\frac{1}{2}×8ME=32$，解得 $ME=\frac{8}{3}$。
8. 如图，在$△ ABC$中，点D在边BC上，$∠ BAD=110°$，$∠ ABC$的平分线交AC于点E，过点E作$EF ⊥ AB$，垂足为F，且$∠ AEF=55°$，连接DE。
(1)求$∠ CAD$的度数；
(2)求证：DE平分$∠ ADC$；
(3)若$AB=8$，$AD=4$，$CD=8$，且$S_{△ ACD}=15$，求$△ ABE$的面积。
(1)求$∠ CAD$的度数；
(2)求证：DE平分$∠ ADC$；
(3)若$AB=8$，$AD=4$，$CD=8$，且$S_{△ ACD}=15$，求$△ ABE$的面积。
答案：
8. (1)
∵$EF⊥AB$，
∴$∠F=90°$。
∵$∠AEF=55°$，
∴$∠BAE=∠F+∠AEF=90°+55°=145°$。
∵$∠BAE=∠BAD+∠CAD$，$∠BAD=110°$，
∴$∠CAD=∠BAE-∠BAD=145°-110°=35°$。
(2)如图，过点 E 作 $EG⊥AD$ 交 AD 于点 G，$EH⊥BC$ 交 BC 于点 H。
∵$∠F=90°$，$∠AEF=55°$，
∴$∠EAF=90°-55°=35°$。
由(1)可知，$∠EAF=∠CAD=35°$，
∴AE 平分$∠FAD$。
∵$EF⊥AF$，$EG⊥AD$，
∴$EF=EG$。
∵BE 平分$∠ABC$，$EF⊥BF$，$EH⊥BC$，
∴$EF=EH$，
∴$EG=EH$。
∵$EG⊥AD$，$EH⊥BC$，
∴DE 平分$∠ADC$。
(3)
∵$S_{△ACD}=15$，
∴$S_{△ADE}+S_{△CDE}=15$，
∴$\frac{1}{2}AD·EG+\frac{1}{2}CD·EH=15$。
∵$AD=4$，$CD=8$，$EG=EH$，
∴$\frac{1}{2}×4EH+\frac{1}{2}×8EH=15$，
∴$EH=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$，
∴$EF=\frac{5}{2}$。
∵$AB=8$，
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·EF=\frac{1}{2}×8×\frac{5}{2}=10$。
思路引导 (1)根据垂直得到$∠AFE=90°$，利用三角形外角的性质得到$∠BAE=145°$，再根据$∠BAE=∠BAD+∠CAD$，即可求出$∠CAD$的度数；
(2)过点 E 作 $EG⊥AD$，$EH⊥BC$，根据角平分线的性质得到 $EF=EG$，$EF=EH$，进而得到 $EG=EH$，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
(3)根据三角形的面积公式求出 $EH=\frac{5}{2}$，再根据三角形的面积公式计算，即可求出$△ABE$ 的面积。
8. (1)
∵$EF⊥AB$，
∴$∠F=90°$。
∵$∠AEF=55°$，
∴$∠BAE=∠F+∠AEF=90°+55°=145°$。
∵$∠BAE=∠BAD+∠CAD$，$∠BAD=110°$，
∴$∠CAD=∠BAE-∠BAD=145°-110°=35°$。
(2)如图，过点 E 作 $EG⊥AD$ 交 AD 于点 G，$EH⊥BC$ 交 BC 于点 H。
∵$∠F=90°$，$∠AEF=55°$，
∴$∠EAF=90°-55°=35°$。
由(1)可知，$∠EAF=∠CAD=35°$，
∴AE 平分$∠FAD$。
∵$EF⊥AF$，$EG⊥AD$，
∴$EF=EG$。
∵BE 平分$∠ABC$，$EF⊥BF$，$EH⊥BC$，
∴$EF=EH$，
∴$EG=EH$。
∵$EG⊥AD$，$EH⊥BC$，
∴DE 平分$∠ADC$。
(3)
∵$S_{△ACD}=15$，
∴$S_{△ADE}+S_{△CDE}=15$，
∴$\frac{1}{2}AD·EG+\frac{1}{2}CD·EH=15$。
∵$AD=4$，$CD=8$，$EG=EH$，
∴$\frac{1}{2}×4EH+\frac{1}{2}×8EH=15$，
∴$EH=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$，
∴$EF=\frac{5}{2}$。
∵$AB=8$，
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·EF=\frac{1}{2}×8×\frac{5}{2}=10$。
思路引导 (1)根据垂直得到$∠AFE=90°$，利用三角形外角的性质得到$∠BAE=145°$，再根据$∠BAE=∠BAD+∠CAD$，即可求出$∠CAD$的度数；
(2)过点 E 作 $EG⊥AD$，$EH⊥BC$，根据角平分线的性质得到 $EF=EG$，$EF=EH$，进而得到 $EG=EH$，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
(3)根据三角形的面积公式求出 $EH=\frac{5}{2}$，再根据三角形的面积公式计算，即可求出$△ABE$ 的面积。