9. 教材P37问题2·变式（2025·盐城阜宁期中）证明：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
已知:如图,点 P 在$∠ AOB$内,
求证:
证明:
已知:如图,点 P 在$∠ AOB$内,
$PC⊥OA$ 于点C
, $PD⊥OB$ 于点D
, $PC=PD$
.求证:
点 P 在$∠AOB$ 的平分线上
.证明:
答案：
9. 证明:如图,连接 OP.
$\because PC⊥OA,PD⊥OB,$
$\therefore ∠OCP=∠ODP=90^{\circ }.$
在 $Rt△POC$ 和 $Rt△POD$ 中,
$\begin{cases} PC=PD, \\ PO=PO, \end{cases}$
$\therefore Rt△POC≌Rt△POD(HL),$
$\therefore ∠COP=∠DOP,$
∴点 P 在$∠AOB$ 的平分线上.
9. 证明:如图,连接 OP.
$\because PC⊥OA,PD⊥OB,$
$\therefore ∠OCP=∠ODP=90^{\circ }.$
在 $Rt△POC$ 和 $Rt△POD$ 中,
$\begin{cases} PC=PD, \\ PO=PO, \end{cases}$
$\therefore Rt△POC≌Rt△POD(HL),$
$\therefore ∠COP=∠DOP,$
∴点 P 在$∠AOB$ 的平分线上.
10.(2025·广东中山一中月考)在$△ ABC$中，D是边BC上的点(不与点B,C重合)，连接AD.
(1)如图(1)，当D是边BC的中点时，$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=$
(2)如图(2)，当AD平分$∠ BAC$时，若$AB=m,AC=n$，求$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}$的值(用含$m,n$的式子表示)；
(3)如图(3)，AD平分$∠ BAC$，延长AD到点E，使得$AD=DE$，连接BE，若$AC=3$，$AB=5$，$S_{△ BDE}=10$，求$S_{△ ABC}$的值.
(1)如图(1)，当D是边BC的中点时，$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=$
$1:1$
；(2)如图(2)，当AD平分$∠ BAC$时，若$AB=m,AC=n$，求$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}$的值(用含$m,n$的式子表示)；
(3)如图(3)，AD平分$∠ BAC$，延长AD到点E，使得$AD=DE$，连接BE，若$AC=3$，$AB=5$，$S_{△ BDE}=10$，求$S_{△ ABC}$的值.
答案：
10.(1)$1:1$ [解析]如图(1),过点 A 作 $AE⊥BC$ 于点 E.
$\because D$ 是边 $BC$ 的中点,$\therefore BD=DC,$
$\therefore S_{△ABD}:S_{△ACD}=(\frac {1}{2}BD· AE):(\frac {1}{2}CD· AE)=1:1.$
(2)如图(2),过点 D 作 $DE⊥AB$ 于点 E,$DF⊥AC$ 于点 F. $\because AD$ 为$∠BAC$ 的平分线,$\therefore DE=DF.$
$\because AB=m,AC=n,\therefore S_{△ABD}:S_{△ACD}=(\frac {1}{2}AB· DE):(\frac {1}{2}AC· DF)=m:n.$
(3)$\because AD=DE,$
$\therefore$ 由(1)知,$S_{△ABD}:S_{△EBD}=1:1.$
$\because S_{△BDE}=10,\therefore S_{△ABD}=10.$
$\because AC=3,AB=5,AD$ 平分$∠CAB,$
$\therefore$ 由(2)知,$S_{△ABD}:S_{△ACD}=AB:AC=5:3,$
$\therefore S_{△ACD}=6,\therefore S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=10+6=16.$
10.(1)$1:1$ [解析]如图(1),过点 A 作 $AE⊥BC$ 于点 E.
$\because D$ 是边 $BC$ 的中点,$\therefore BD=DC,$
$\therefore S_{△ABD}:S_{△ACD}=(\frac {1}{2}BD· AE):(\frac {1}{2}CD· AE)=1:1.$
(2)如图(2),过点 D 作 $DE⊥AB$ 于点 E,$DF⊥AC$ 于点 F. $\because AD$ 为$∠BAC$ 的平分线,$\therefore DE=DF.$
$\because AB=m,AC=n,\therefore S_{△ABD}:S_{△ACD}=(\frac {1}{2}AB· DE):(\frac {1}{2}AC· DF)=m:n.$
(3)$\because AD=DE,$
$\therefore$ 由(1)知,$S_{△ABD}:S_{△EBD}=1:1.$
$\because S_{△BDE}=10,\therefore S_{△ABD}=10.$
$\because AC=3,AB=5,AD$ 平分$∠CAB,$
$\therefore$ 由(2)知,$S_{△ABD}:S_{△ACD}=AB:AC=5:3,$
$\therefore S_{△ACD}=6,\therefore S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=10+6=16.$
11.在四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，点F在线段CE上运动.
(1)如图(1)，已知∠A=∠D=90°.
①若BF平分∠ABC，则∠BFC=
②若∠BFC=90°，试说明∠DEC=$\frac{1}{2}$∠ABC.
(2)如图(2)，已知∠A=∠D=∠BFC，试说明BF平分∠ABC.
视频学重难
(1)如图(1)，已知∠A=∠D=90°.
①若BF平分∠ABC，则∠BFC=
$90°$
；②若∠BFC=90°，试说明∠DEC=$\frac{1}{2}$∠ABC.
(2)如图(2)，已知∠A=∠D=∠BFC，试说明BF平分∠ABC.
视频学重难
答案：
11.(1)①$90°$
②$\because ∠BFC=90^{\circ },\therefore ∠CBF+∠BCF=90^{\circ }.$
$\because ∠D=90^{\circ },\therefore ∠DCE+∠DEC=90^{\circ }.$
$\because CE$ 平分$∠BCD,$
$\therefore ∠DCE=∠BCF,$
$\therefore ∠CBF=∠DEC.$
$\because ∠A=∠D=90^{\circ },\therefore ∠A+∠D=180^{\circ },$
$\therefore AB// CD,\therefore ∠ABC+∠BCD=180^{\circ }.$
又$∠CBF+∠BCF=90^{\circ },$
$\therefore 2∠CBF+2∠BCF=180^{\circ },$
$\therefore 2∠CBF+∠BCD=180^{\circ },$
$\therefore ∠CBF=\frac {1}{2}∠ABC,$
$\therefore ∠DEC=\frac {1}{2}∠ABC.$
(2)如图,延长 BF 交 AD 于点 M.
$\because ∠BFC=∠D,∠BFC+∠CFM=180^{\circ },$
$\therefore ∠CFM+∠D=180^{\circ },$
$\therefore ∠FMD+∠DCF=180^{\circ }.$
$\because ∠FMD+∠EMF=180^{\circ },$
$\therefore ∠DCF=∠EMF.$
$\because CE$ 平分$∠BCD,$
$\therefore ∠DCF=∠BCF,\therefore ∠BCF=∠EMF.$
$\because ∠EFM=∠BFC,\therefore ∠FEM=∠CBF.$
$\because ∠CFB=∠EFM=∠A,∠EFM+∠EMF+∠FEM=180^{\circ },∠A+∠AMB+∠ABF=180^{\circ },$
$\therefore ∠FEM=∠ABF,$
$\therefore ∠ABF=∠CBF,\therefore BF$ 平分$∠ABC.$
11.(1)①$90°$
②$\because ∠BFC=90^{\circ },\therefore ∠CBF+∠BCF=90^{\circ }.$
$\because ∠D=90^{\circ },\therefore ∠DCE+∠DEC=90^{\circ }.$
$\because CE$ 平分$∠BCD,$
$\therefore ∠DCE=∠BCF,$
$\therefore ∠CBF=∠DEC.$
$\because ∠A=∠D=90^{\circ },\therefore ∠A+∠D=180^{\circ },$
$\therefore AB// CD,\therefore ∠ABC+∠BCD=180^{\circ }.$
又$∠CBF+∠BCF=90^{\circ },$
$\therefore 2∠CBF+2∠BCF=180^{\circ },$
$\therefore 2∠CBF+∠BCD=180^{\circ },$
$\therefore ∠CBF=\frac {1}{2}∠ABC,$
$\therefore ∠DEC=\frac {1}{2}∠ABC.$
(2)如图,延长 BF 交 AD 于点 M.
$\because ∠BFC=∠D,∠BFC+∠CFM=180^{\circ },$
$\therefore ∠CFM+∠D=180^{\circ },$
$\therefore ∠FMD+∠DCF=180^{\circ }.$
$\because ∠FMD+∠EMF=180^{\circ },$
$\therefore ∠DCF=∠EMF.$
$\because CE$ 平分$∠BCD,$
$\therefore ∠DCF=∠BCF,\therefore ∠BCF=∠EMF.$
$\because ∠EFM=∠BFC,\therefore ∠FEM=∠CBF.$
$\because ∠CFB=∠EFM=∠A,∠EFM+∠EMF+∠FEM=180^{\circ },∠A+∠AMB+∠ABF=180^{\circ },$
$\therefore ∠FEM=∠ABF,$
$\therefore ∠ABF=∠CBF,\therefore BF$ 平分$∠ABC.$
12. (2025·滨州中考)如图，$△ ABC$的两个外角的平分线$AD$，$CE$相交于点$O$.若点$O$到$BC$的距离为$3.5$，$AB=4$，则$△ ABO$的面积为
$7$
.答案：
12.7 [解析]如图,过点 O 作 $OP⊥BA$ 交 BA 的延长线于点 P,$OQ⊥BC$ 交 BC 的延长线于点 Q,$OR⊥AC$ 于点 R.
$\because △ABC$ 的两个外角的平分线 AD,CE 相交于点 O,
$\therefore OP=OR,OQ=OR,\therefore OP=OQ.$
$\because$ 点 O 到 BC 的距离为 3.5,
$\therefore OP=OQ=3.5.$
$\because AB=4,$
$\therefore S_{△ABO}=\frac {1}{2}AB· OP=\frac {1}{2}×4×3.5=7.$
12.7 [解析]如图,过点 O 作 $OP⊥BA$ 交 BA 的延长线于点 P,$OQ⊥BC$ 交 BC 的延长线于点 Q,$OR⊥AC$ 于点 R.
$\because △ABC$ 的两个外角的平分线 AD,CE 相交于点 O,
$\therefore OP=OR,OQ=OR,\therefore OP=OQ.$
$\because$ 点 O 到 BC 的距离为 3.5,
$\therefore OP=OQ=3.5.$
$\because AB=4,$
$\therefore S_{△ABO}=\frac {1}{2}AB· OP=\frac {1}{2}×4×3.5=7.$