1. 给出下列四个说法:①任何图形都有对称轴；②等腰三角形属于轴对称图形；③若$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于直线$m$对称,则$△ ABC$与$△ A'B'C'$全等；④角的对称轴是角的平分线.
其中正确的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
其中正确的个数是(
B
).A.1
B.2
C.3
D.4
答案：1.B
2.（2025·盐城建湖期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE=3，则DF的长为（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）。A.2
B.3
C.4
D.5
答案：2.B
3. (2026·陕西安康石泉期末)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,BD平分$∠ ABC$交AC于点D,E为AB的中点,连接DE,若$△ DBE$的面积为4,$CD=2$,则AB的长为(
A.5
B.4
C.6
D.8
D
).A.5
B.4
C.6
D.8
答案：
3.D [解析]如图,过点 D 作 $DF⊥AB$ 于点 F.
$\because ∠C=90^{\circ },\therefore CD⊥BC.$
$\because BD$ 平分$∠ABC,DF⊥AB,$
$\therefore DF=CD=2,$
$\because △DBE$ 的面积为 4,
$\therefore \frac {1}{2}BE· DF=4,即\frac {1}{2}BE×2=4,$
$\therefore BE=4.$
$\because E$ 为 $AB$ 的中点,
$\therefore AB=2BE=2×4=8.$ 故选 D.
3.D [解析]如图,过点 D 作 $DF⊥AB$ 于点 F.
$\because ∠C=90^{\circ },\therefore CD⊥BC.$
$\because BD$ 平分$∠ABC,DF⊥AB,$
$\therefore DF=CD=2,$
$\because △DBE$ 的面积为 4,
$\therefore \frac {1}{2}BE· DF=4,即\frac {1}{2}BE×2=4,$
$\therefore BE=4.$
$\because E$ 为 $AB$ 的中点,
$\therefore AB=2BE=2×4=8.$ 故选 D.
4. 如图，AC平分∠BAD，CD⊥AD于点D，CE⊥AB于点E，点F在AD上，点E在AB上，且CF=CB.
(1)求证:BE=DF；
(2)若CE=6，AD=8，求四边形ABCF的面积.
(1)求证:BE=DF；
(2)若CE=6，AD=8，求四边形ABCF的面积.
答案：4.(1)$\because AC$ 平分$∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,$
$\therefore CD=CE,∠D=∠CEB=∠CEA=90^{\circ }.$
在 $Rt△CDF$ 和 $Rt△CEB$ 中,$\begin{cases} CF=CB, \\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore Rt△CDF≌Rt△CEB(HL),\therefore BE=DF.$
(2)$\because Rt△CDF≌Rt△CEB,$
$\therefore S_{△CDF}=S_{△CEB},∴$ 四边形 $ABCF$ 的面积 = 四边形 $AECD$ 的面积. 在 $Rt△AEC$ 和 $Rt△ADC$ 中,$\begin{cases} AC=AC, \\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore Rt△AEC≌Rt△ADC(HL),\therefore S_{△AEC}=S_{△ADC}.$
$\because S_{ADC}=\frac {1}{2}AD· CD=24,$
$\therefore S_{四边形ABCF}=2S_{ADC}=48.$
$\therefore CD=CE,∠D=∠CEB=∠CEA=90^{\circ }.$
在 $Rt△CDF$ 和 $Rt△CEB$ 中,$\begin{cases} CF=CB, \\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore Rt△CDF≌Rt△CEB(HL),\therefore BE=DF.$
(2)$\because Rt△CDF≌Rt△CEB,$
$\therefore S_{△CDF}=S_{△CEB},∴$ 四边形 $ABCF$ 的面积 = 四边形 $AECD$ 的面积. 在 $Rt△AEC$ 和 $Rt△ADC$ 中,$\begin{cases} AC=AC, \\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore Rt△AEC≌Rt△ADC(HL),\therefore S_{△AEC}=S_{△ADC}.$
$\because S_{ADC}=\frac {1}{2}AD· CD=24,$
$\therefore S_{四边形ABCF}=2S_{ADC}=48.$
5. (2026·湖北天门期末)如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，M是线段ON上一点.已知OM=3，ON=5，D为OA上一点.若满足PD=PM，则OD的长度为(
A.3
B.5
C.5或7
D.3或7
D
).A.3
B.5
C.5或7
D.3或7
答案：
5.D [解析]如图,过点 P 作 $PE⊥OA$ 于点 E.
$\because OC$ 平分$∠AOB,PE⊥OA,PN⊥OB,$
$\therefore PE=PN.$
$\because OP=OP,PE=PN,$
$\therefore Rt△OPE≌Rt△OPN(HL),$
$\therefore OE=ON=5.$
$\because OM=3,ON=5,$
$\therefore MN=2.$
如图,若点 D 在线段 OE 上,
$\because PM=PD,PN=PE,$
$\therefore Rt△PMN≌Rt△PDE(HL),$
$\therefore DE=MN=2,\therefore OD=OE-DE=3.$
如图,若点 $D'$ 在射线 $EA$ 上,
$\because PM=PD',PN=PE,$
$\therefore Rt△PMN≌Rt△PD'E(HL),$
$\therefore D'E=MN=2,$
$\therefore OD'=OE+D'E=7,$
$\therefore OD$ 的长度为 3 或 7. 故选 D.
5.D [解析]如图,过点 P 作 $PE⊥OA$ 于点 E.
$\because OC$ 平分$∠AOB,PE⊥OA,PN⊥OB,$
$\therefore PE=PN.$
$\because OP=OP,PE=PN,$
$\therefore Rt△OPE≌Rt△OPN(HL),$
$\therefore OE=ON=5.$
$\because OM=3,ON=5,$
$\therefore MN=2.$
如图,若点 D 在线段 OE 上,
$\because PM=PD,PN=PE,$
$\therefore Rt△PMN≌Rt△PDE(HL),$
$\therefore DE=MN=2,\therefore OD=OE-DE=3.$
如图,若点 $D'$ 在射线 $EA$ 上,
$\because PM=PD',PN=PE,$
$\therefore Rt△PMN≌Rt△PD'E(HL),$
$\therefore D'E=MN=2,$
$\therefore OD'=OE+D'E=7,$
$\therefore OD$ 的长度为 3 或 7. 故选 D.
6. 教材P38例2·变式 如图，O是$△ ABC$的三条角平分线的交点，连接$OA$，$OB$，$OC$，若$△ OAB$，$△ OBC$，$△ OAC$的面积分别为$S_1$，$S_2$，$S_3$，则下列关系正确的是(
A.$S_1 ＞ S_2 + S_3$
B.$S_1 = S_2 + S_3$
C.$S_1 ＜ S_2 + S_3$
D.无法确定
C
).A.$S_1 ＞ S_2 + S_3$
B.$S_1 = S_2 + S_3$
C.$S_1 ＜ S_2 + S_3$
D.无法确定
答案：
6.C [解析]如图,过点 O 作 $OD⊥AB$ 于点 D,$OE⊥BC$ 于点 E,$OF⊥AC$ 于点 F.
$\because O$ 是$△ABC$ 的三条角平分线的交点,
$\therefore OD=OE=OF.$
$\because S_{1}=\frac {1}{2}AB· OD,S_{2}+S_{3}=\frac {1}{2}BC· OE+\frac {1}{2}AC· OF=\frac {1}{2}OD· (BC+AC).$ 又 $AB＜BC+AC,\therefore S_{1}＜S_{2}+S_{3}.$ 故选 C.
6.C [解析]如图,过点 O 作 $OD⊥AB$ 于点 D,$OE⊥BC$ 于点 E,$OF⊥AC$ 于点 F.
$\because O$ 是$△ABC$ 的三条角平分线的交点,
$\therefore OD=OE=OF.$
$\because S_{1}=\frac {1}{2}AB· OD,S_{2}+S_{3}=\frac {1}{2}BC· OE+\frac {1}{2}AC· OF=\frac {1}{2}OD· (BC+AC).$ 又 $AB＜BC+AC,\therefore S_{1}＜S_{2}+S_{3}.$ 故选 C.
7. (2025·扬州梅岭中学期中)如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，Q是射线OM上的一个动点.若PA=4，则PQ的最小值为(
A.1
B.2
C.3
D.4
D
).A.1
B.2
C.3
D.4
答案：7.D [解析]当 $PQ⊥OM$ 时,$PQ$ 的值最小,
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
$\because OP$ 平分$∠MON,PA⊥ON,PA=4,$
$\therefore PQ=PA=4.$ 故选 D.
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
$\because OP$ 平分$∠MON,PA⊥ON,PA=4,$
$\therefore PQ=PA=4.$ 故选 D.
8.（2026·四川绵阳东辰学校期末）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$D$.过点$C$作$CG⊥ AB$于点$G$，交$AD$于点$E$，过点$D$作$DF⊥ AB$于点$F$.下列结论：
①$∠ CED=∠ CDE$；②$∠ ADF=2∠ ECD$；
③$S_{△ AEC}: S_{△ AEG}=AC: AG$；④$S_{△ CED}=S_{△ DFB}$；⑤$CE=DF$.其中正确结论的序号是________.
①$∠ CED=∠ CDE$；②$∠ ADF=2∠ ECD$；
③$S_{△ AEC}: S_{△ AEG}=AC: AG$；④$S_{△ CED}=S_{△ DFB}$；⑤$CE=DF$.其中正确结论的序号是________.
答案：8.①③⑤ [解析]$\because ∠ACB=90^{\circ },CG⊥AB,$
$\therefore ∠ACE+∠BCG=90^{\circ },∠B+∠BCG=90^{\circ },$
$\therefore ∠ACE=∠B.$
$\because ∠CED=∠CAE+∠ACE,∠CDE=∠B+∠DAB,$
$AE$ 平分$∠CAB,$
$\therefore ∠CED=∠CDE,$
∴易证 $CE=CD$,①正确;
三角形中两角相等则对应的两边相等
又 $AE$ 平分$∠CAB,∠ACB=90^{\circ },DF⊥AB$ 于点 $F$,
$\therefore CD=DF.$ $\because E$ 到 $AC$ 与 $AG$ 的距离相等,
$\therefore S_{△AEC}:S_{△AEG}=AC:AG,$③正确;
$\because CE=CD,CD=DF,\therefore CE=DF,$⑤正确.
无法证明$∠ADF=2∠ECD$ 以及 $S_{△CED}=S_{△DFB}$.
故正确结论的序号是①③⑤.
$\therefore ∠ACE+∠BCG=90^{\circ },∠B+∠BCG=90^{\circ },$
$\therefore ∠ACE=∠B.$
$\because ∠CED=∠CAE+∠ACE,∠CDE=∠B+∠DAB,$
$AE$ 平分$∠CAB,$
$\therefore ∠CED=∠CDE,$
∴易证 $CE=CD$,①正确;
三角形中两角相等则对应的两边相等
又 $AE$ 平分$∠CAB,∠ACB=90^{\circ },DF⊥AB$ 于点 $F$,
$\therefore CD=DF.$ $\because E$ 到 $AC$ 与 $AG$ 的距离相等,
$\therefore S_{△AEC}:S_{△AEG}=AC:AG,$③正确;
$\because CE=CD,CD=DF,\therefore CE=DF,$⑤正确.
无法证明$∠ADF=2∠ECD$ 以及 $S_{△CED}=S_{△DFB}$.
故正确结论的序号是①③⑤.