9.如图,过$△ ABC$的边$BC$的垂直平分线$DG$上的点$D$作$△ ABC$另外两边$AB$,$AC$所在直线的垂线,垂足分别为$E$,$F$,且$BE=CF$.求证:(1)$DF=DE$;(2)$∠ ACD+∠ ABD=180°$.
答案：9. (1)
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴CD=BD.
∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠DFC=90°，∠DEB=90°，
∴△CDF和△BDE为直角三角形.
在Rt△CDF和Rt△BDE中，$\begin{cases} CD=BD, \\ CF=BE, \end{cases}$
∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)，
∴DF=DE.
(2)
∵Rt△CDF≌Rt△BDE，
∴∠FCD=∠EBD.
∵∠FCD+∠ACD=180°，
∴∠ACD+∠ABD=180°.
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴CD=BD.
∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠DFC=90°，∠DEB=90°，
∴△CDF和△BDE为直角三角形.
在Rt△CDF和Rt△BDE中，$\begin{cases} CD=BD, \\ CF=BE, \end{cases}$
∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL)，
∴DF=DE.
(2)
∵Rt△CDF≌Rt△BDE，
∴∠FCD=∠EBD.
∵∠FCD+∠ACD=180°，
∴∠ACD+∠ABD=180°.
10.如图，在$△ ABC$中，AB的垂直平分线$l_1$交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线$l_2$交AC于点N，交BC于点E，$l_1$与$l_2$相交于点O，$△ ADE$的周长为12。请你解答下列问题：
(1)求BC的长；
(2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由。
(1)求BC的长；
(2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由。
答案：
10. (1)
∵$l_1$垂直平分AB，
∴DB=DA，
同理可得EA=EC.
又△ADE的周长为12，
∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=12.
(2)点O在边BC的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接AO，BO，CO.
∵$l_1$与$l_2$分别是AB，AC的垂直平分线，
∴AO=BO，CO=AO，
∴OB=OC，
∴点O在边BC的垂直平分线上.
10. (1)
∵$l_1$垂直平分AB，
∴DB=DA，
同理可得EA=EC.
又△ADE的周长为12，
∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=12.
(2)点O在边BC的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接AO，BO，CO.
∵$l_1$与$l_2$分别是AB，AC的垂直平分线，
∴AO=BO，CO=AO，
∴OB=OC，
∴点O在边BC的垂直平分线上.
11. 将军饮马模型 新情境 修建水泵站 如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村A和李庄B送水.水泵应建在什么地方,可使所用的水管最短?请在图中设计出水泵站的位置.
答案：
11. 如图，作点A关于河边所在直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，则点P为水泵站的位置，此时PA+PB的长度之和最短，即所使用的水管最短。
→PA+PB=PA'+PB=A'B，两点之间线段最短
11. 如图，作点A关于河边所在直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，则点P为水泵站的位置，此时PA+PB的长度之和最短，即所使用的水管最短。
→PA+PB=PA'+PB=A'B，两点之间线段最短
12. (2025·南京鼓楼区月考)如图,在$△ ABC$中,DM,EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M,N两点,DM与EN相交于点F.
(1)若$△ CMN$的周长为15 cm,求AB的长;
(2)若$∠ ACB=120°$,求$∠ MCN$的度数.
(1)若$△ CMN$的周长为15 cm,求AB的长;
(2)若$∠ ACB=120°$,求$∠ MCN$的度数.
答案：12. (1)
∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴AB=AM+MN+BN=CM+MN+CN.
∵△CMN的周长为15 cm，
∴CM+MN+CN=15 cm，
∴AB=15 cm.
(2)在△ABC中，∠ACB=120°，
∴∠A+∠B=180°-∠ACB=180°-120°=60°.
∵AM=CM，BN=CN，∠ADM=∠CDM=∠NEC=∠NEB=90°，
∴Rt△AMD≌Rt△CMD(HL)，Rt△NEC≌Rt△NEB(HL)，
∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，
∴∠MCA+∠NCB=∠A+∠B=60°，
∴∠MCN=∠ACB-(∠MCA+∠NCB)=120°-60°=60°.
∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴AB=AM+MN+BN=CM+MN+CN.
∵△CMN的周长为15 cm，
∴CM+MN+CN=15 cm，
∴AB=15 cm.
(2)在△ABC中，∠ACB=120°，
∴∠A+∠B=180°-∠ACB=180°-120°=60°.
∵AM=CM，BN=CN，∠ADM=∠CDM=∠NEC=∠NEB=90°，
∴Rt△AMD≌Rt△CMD(HL)，Rt△NEC≌Rt△NEB(HL)，
∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，
∴∠MCA+∠NCB=∠A+∠B=60°，
∴∠MCN=∠ACB-(∠MCA+∠NCB)=120°-60°=60°.