5.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,连接DE,G,F分别是BC,DE的中点.求证:GF⊥DE.
答案：连接DG,EG.
∵CD⊥AB,G是BC的中点,
∴在Rt△BCD中,DG=$\frac{1}{2}$BC.
同理,EG=$\frac{1}{2}$BC,
∴DG=EG.
又F是DE的中点,
∴GF⊥DE.
∵CD⊥AB,G是BC的中点,
∴在Rt△BCD中,DG=$\frac{1}{2}$BC.
同理,EG=$\frac{1}{2}$BC,
∴DG=EG.
又F是DE的中点,
∴GF⊥DE.
6. 如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，BD = AD = DE = AE = CE.
(1)求∠DAE 的度数；
(2)求证：△ABC 是等腰三角形.
(1)求∠DAE 的度数；
(2)求证：△ABC 是等腰三角形.
答案：(1)
∵AD=DE=AE,
∴△ADE是等边三角形,
∴∠DAE=60°.
(2)
∵△ADE是等边三角形,
∴∠ADE=∠AED=60°.
∵BD=AD,
∴∠B=∠BAD.
∵∠ADE=∠B+∠BAD,
∴∠B=30°.
同理,∠C=30°,
∴∠B=∠C,
∴△ABC是等腰三角形.
∵AD=DE=AE,
∴△ADE是等边三角形,
∴∠DAE=60°.
(2)
∵△ADE是等边三角形,
∴∠ADE=∠AED=60°.
∵BD=AD,
∴∠B=∠BAD.
∵∠ADE=∠B+∠BAD,
∴∠B=30°.
同理,∠C=30°,
∴∠B=∠C,
∴△ABC是等腰三角形.
7.如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，$E$是$AB$的中点，$DG$垂直平分$CE$.
(1)求证:$DC=BE$；
(2)若$∠ B=50°$，求$∠ AEC$的度数.
(1)求证:$DC=BE$；
(2)若$∠ B=50°$，求$∠ AEC$的度数.
答案：(1)
∵DG垂直平分CE,
∴DC=DE.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°.
∵E是AB的中点,
∴DE=$\frac{1}{2}$AB,
∴DE=BE,
∴DC=BE.
(2)由(1)知DC=DE=BE,
∴∠BDE=∠B=50°,∠DCE=∠DEC.
∵∠BDE=∠DCE+∠DEC,
∴∠DCE=$\frac{1}{2}$∠BDE=25°,
∴∠AEC=∠B+∠DCE=50°+25°=75°.
∵DG垂直平分CE,
∴DC=DE.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°.
∵E是AB的中点,
∴DE=$\frac{1}{2}$AB,
∴DE=BE,
∴DC=BE.
(2)由(1)知DC=DE=BE,
∴∠BDE=∠B=50°,∠DCE=∠DEC.
∵∠BDE=∠DCE+∠DEC,
∴∠DCE=$\frac{1}{2}$∠BDE=25°,
∴∠AEC=∠B+∠DCE=50°+25°=75°.
8. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，$AD ⊥ BC$，垂足为$G$，且$AD=AB$，$∠ EDF=60°$，其两边分别交边$AB$，$AC$于点$E$，$F$。求证：
(1) $△ ABD$是等边三角形；
(2) $BE=AF$。
(1) $△ ABD$是等边三角形；
(2) $BE=AF$。
答案：(1)
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°.
又AD=AB,
∴△ABD是等边三角形.
(2)
∵△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.
∵∠EDF=60°,
∴∠ADB=∠EDF,
∴∠ADB−∠ADE=∠EDF−∠ADE,
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE和△ADF中,$\begin{cases} ∠DBE=∠DAF=60°, \\ BD=AD, \\ ∠BDE=∠ADF, \end{cases}$
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴BE=AF.
思路引导 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质.熟练掌握等腰三角形的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°.
又AD=AB,
∴△ABD是等边三角形.
(2)
∵△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.
∵∠EDF=60°,
∴∠ADB=∠EDF,
∴∠ADB−∠ADE=∠EDF−∠ADE,
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE和△ADF中,$\begin{cases} ∠DBE=∠DAF=60°, \\ BD=AD, \\ ∠BDE=∠ADF, \end{cases}$
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴BE=AF.
思路引导 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质.熟练掌握等腰三角形的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键.