1.（2026·四川南充营山期末）如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=130°$，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P.
(1)求$∠ FAN$的度数；
(2)求证：点P在线段BC的垂直平分线上.
(1)求$∠ FAN$的度数；
(2)求证：点P在线段BC的垂直平分线上.
答案：
(1)
∵∠BAC=130°,
∴∠B+∠C=180°−130°=50°.
∵EF是AB的垂直平分线,MN是AC的垂直平分线,
∴FA=FB,NA=NC,
∴∠FAB=∠B,∠NAC=∠C,
∴∠FAB+∠NAC=∠B+∠C=50°,
∴∠FAN=130°−50°=80°.
(2)如图,连接PA,PB,PC.
∵EP是AB的垂直平分线,MP是AC的垂直平分线,
∴PB=PA,PC=PA,
∴PB=PC,
∴点P在线段BC的垂直平分线上.
(1)
∵∠BAC=130°,
∴∠B+∠C=180°−130°=50°.
∵EF是AB的垂直平分线,MN是AC的垂直平分线,
∴FA=FB,NA=NC,
∴∠FAB=∠B,∠NAC=∠C,
∴∠FAB+∠NAC=∠B+∠C=50°,
∴∠FAN=130°−50°=80°.
(2)如图,连接PA,PB,PC.
∵EP是AB的垂直平分线,MP是AC的垂直平分线,
∴PB=PA,PC=PA,
∴PB=PC,
∴点P在线段BC的垂直平分线上.
2.(2025·常州期末)如图,B是射线AD上一点(不与端点A重合),OP垂直平分线段AB,C是射线OP上一点(不与端点O重合),连接AC,BC.∠CBD的平分线与AC的延长线相交于点E.
(1)若∠A=26°,求∠CBE的大小;
(2)若EC=EB,求∠A的大小.
(1)若∠A=26°,求∠CBE的大小;
(2)若EC=EB,求∠A的大小.
答案：(1)
∵OP垂直平分线段AB,
∴AC=BC,
∴∠A=∠CBA=26°,
∴∠CBD=154°.
∵BE平分∠CBD,
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠CBD=77°.
(2)设∠A=∠CBA=x°,
∴∠ECB=(2x)°.
∵EC=EB,
∴∠CBE=∠ECB=(2x)°,
∴∠CBD=(4x)°.
∵∠ABC+∠CBD=180°,
∴5x=180,
解得x=36,
∴∠A=36°.
∵OP垂直平分线段AB,
∴AC=BC,
∴∠A=∠CBA=26°,
∴∠CBD=154°.
∵BE平分∠CBD,
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠CBD=77°.
(2)设∠A=∠CBA=x°,
∴∠ECB=(2x)°.
∵EC=EB,
∴∠CBE=∠ECB=(2x)°,
∴∠CBD=(4x)°.
∵∠ABC+∠CBD=180°,
∴5x=180,
解得x=36,
∴∠A=36°.
3.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线交于点E,直线AE交BC于点D,求证:$AD⊥ BC$.
答案：
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠EBC=∠ECB,
∴EB=EC.
又AB=AC,
∴AE垂直平分BC,
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠EBC=∠ECB,
∴EB=EC.
又AB=AC,
∴AE垂直平分BC,
∴AD⊥BC.
4. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在CA,BA的延长线上,且BE=CD,连接BD,CE. (1)求证:∠D=∠E; (2)若∠BAC=108°,∠D=36°,则图中共有
5
个等腰三角形. 答案：(1)
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
在△EBC和△DCB中,$\begin{cases} BE=CD, \\ ∠EBC=∠DCB, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△EBC≌△DCB(SAS),
∴∠D=∠E.
(2)5 [解析]
∵∠BAC=108°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$×(180°−108°)=36°.
∵∠D=∠E=36°,
∴∠D=∠BCD,∠E=∠CBE,
∴BD=BC,BC=CE,∠DAB=∠EAC=72°,
∴∠DBA=∠DAB=72°,∠EAC=∠ECA=72°,
∴DB=DA,EA=EC,
∴△ABD,△AEC,△BCD,△BCE,△ABC是等腰三角形.故题图中共有5个等腰三角形.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
在△EBC和△DCB中,$\begin{cases} BE=CD, \\ ∠EBC=∠DCB, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△EBC≌△DCB(SAS),
∴∠D=∠E.
(2)5 [解析]
∵∠BAC=108°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$×(180°−108°)=36°.
∵∠D=∠E=36°,
∴∠D=∠BCD,∠E=∠CBE,
∴BD=BC,BC=CE,∠DAB=∠EAC=72°,
∴∠DBA=∠DAB=72°,∠EAC=∠ECA=72°,
∴DB=DA,EA=EC,
∴△ABD,△AEC,△BCD,△BCE,△ABC是等腰三角形.故题图中共有5个等腰三角形.