5. 如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论.
(1)已知$AB=AC$，$∠1=∠2$，则
(2)已知$AB=AC$，$BD=DC$，则
(3)已知$AB=AC$，$AD⊥ BC$，则
(1)已知$AB=AC$，$∠1=∠2$，则
BD=CD,AD⊥BC
；(2)已知$AB=AC$，$BD=DC$，则
∠1=∠2,AD⊥BC
；(3)已知$AB=AC$，$AD⊥ BC$，则
BD=CD,∠1=∠2
.答案：(1) BD=CD,AD⊥BC
(2)∠1=∠2,AD⊥BC
(3)BD=CD,∠1=∠2
(2)∠1=∠2,AD⊥BC
(3)BD=CD,∠1=∠2
6. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，点P为边BC的中点，$PD⊥ AC$于点D.
(1)求$∠ C$的度数；
(2)求证：$CD=3AD$.
(1)求$∠ C$的度数；
(2)求证：$CD=3AD$.
答案：
(1)
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠C=∠B=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=30°.
(2)如图,连接AP.
∵P为边BC的中点,
∴AP⊥BC.
由(1)知,∠C=30°.
∵PD⊥AC,
∴∠CPD+∠C=90°.又∠APD+∠CPD=90°,
∴∠APD=∠C=30°,
∴AP=2AD,AC=2AP,
∴AC=4AD,
∴CD=AC-AD=4AD-AD=3AD,
即CD=3AD.
(1)
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠C=∠B=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=30°.
(2)如图,连接AP.
∵P为边BC的中点,
∴AP⊥BC.
由(1)知,∠C=30°.
∵PD⊥AC,
∴∠CPD+∠C=90°.又∠APD+∠CPD=90°,
∴∠APD=∠C=30°,
∴AP=2AD,AC=2AP,
∴AC=4AD,
∴CD=AC-AD=4AD-AD=3AD,
即CD=3AD.
7.如图，已知$∠ AOB = 60°$，点$P$在边$OA$上，$OP=12$，点$M,N$在边$OB$上，$PM=PN$，若$OM=5$，求$MN$的长.
答案：
如图,作PC⊥OB于点C.
∵PM=PN,PC⊥OB,
∴CM=CN.
在△OPC中,∠PCO=90°,∠O=60°,
∴∠OPC=30°.
∵OP=12,
∴OC=$\frac{1}{2}$OP=6.
∵OM=5,
∴CM=OC-OM=6-5=1,
∴CN=CM=1,
∴MN=CM+CN=1+1=2.
如图,作PC⊥OB于点C.
∵PM=PN,PC⊥OB,
∴CM=CN.
在△OPC中,∠PCO=90°,∠O=60°,
∴∠OPC=30°.
∵OP=12,
∴OC=$\frac{1}{2}$OP=6.
∵OM=5,
∴CM=OC-OM=6-5=1,
∴CN=CM=1,
∴MN=CM+CN=1+1=2.
8.（1）如图（1），在$△ ABC$中，$∠ D = 20°$，$∠ ABC=50°$，$∠ CBD=10°$，求证：$AB=CD$；
（2）如图（2），在$△ ABC$中，$∠ A = 100°$，$∠ ACB=30°$，延长$AC$至点$D$使$CD=AB$，求$∠ CDB$的度数。
视频学重难
（2）如图（2），在$△ ABC$中，$∠ A = 100°$，$∠ ACB=30°$，延长$AC$至点$D$使$CD=AB$，求$∠ CDB$的度数。
视频学重难
答案：
(1)如图(1),作∠BCE=10°交BD于点E,过点B作BF⊥AC交CA的延长线于点F,过点E作EH⊥BC于点H.
∵∠BCE=10°,∠CBD=10°,
∴BE=CE,∠DEC=20°.
→三角形外角的基本性质
∵∠D=20°,
∴CE=DC.
∵EH⊥BC,
∴CH=BH.
∵∠ACB=∠CBD+∠D=30°,BF⊥AC,∠ABC=50°,
∴BF=BH=CH,∠ABF=10°.
在△ABF和△ECH中,$\begin{cases} ∠AFB=∠EHC=90°, \\ BF=CH, \\ ∠ABF=∠ECH=10°, \end{cases}$
∴△ABF≌△ECH(ASA),
∴AB=EC,
∴AB=CD.
(2)如图(2),在AC上取AE=AB,连接BE,作AF平分∠BAC,交BE于点H,交BC于点F.
∵AF平分∠BAC,∠BAC=100°,
∴∠BAH=∠EAH=50°,BH⊥AF.
∵∠ACB=30°,
∴∠ABF=∠BAF=50°,
即△ABF是等腰三角形.
作AG⊥BC,易得AG=BH.
∵∠ACB=30°,
∴2AG=AC.
∵2BH=BE,
∴AC=BE.
∵CD=AB=AE,
∴AC=DE,
∴AC=BE=DE.
∵∠AEB=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAE)=40°,
∴∠D=20°,
归纳总结 本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三线合一的性质、全等三角形的判定和性质和含30°角的直角三角形的性质,解题的关键是添加辅助线并找到对应边角之间的关系.
(1)如图(1),作∠BCE=10°交BD于点E,过点B作BF⊥AC交CA的延长线于点F,过点E作EH⊥BC于点H.
∵∠BCE=10°,∠CBD=10°,
∴BE=CE,∠DEC=20°.
→三角形外角的基本性质
∵∠D=20°,
∴CE=DC.
∵EH⊥BC,
∴CH=BH.
∵∠ACB=∠CBD+∠D=30°,BF⊥AC,∠ABC=50°,
∴BF=BH=CH,∠ABF=10°.
在△ABF和△ECH中,$\begin{cases} ∠AFB=∠EHC=90°, \\ BF=CH, \\ ∠ABF=∠ECH=10°, \end{cases}$
∴△ABF≌△ECH(ASA),
∴AB=EC,
∴AB=CD.
(2)如图(2),在AC上取AE=AB,连接BE,作AF平分∠BAC,交BE于点H,交BC于点F.
∵AF平分∠BAC,∠BAC=100°,
∴∠BAH=∠EAH=50°,BH⊥AF.
∵∠ACB=30°,
∴∠ABF=∠BAF=50°,
即△ABF是等腰三角形.
作AG⊥BC,易得AG=BH.
∵∠ACB=30°,
∴2AG=AC.
∵2BH=BE,
∴AC=BE.
∵CD=AB=AE,
∴AC=DE,
∴AC=BE=DE.
∵∠AEB=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAE)=40°,
∴∠D=20°,
归纳总结 本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三线合一的性质、全等三角形的判定和性质和含30°角的直角三角形的性质,解题的关键是添加辅助线并找到对应边角之间的关系.