光的传播与最短路径 ▶答案 P31
[背景引入]光在均匀介质中沿直线传播,但当遇到反射面时会发生反射.根据光的反射定律:入射光线、反射光线和法线在同一平面内,且入射角等于反射角.通过实验观察和数学分析,我们发现:一般情况下,光从一点传播到另一点时,总是以所需时间最短的路径传播.这不仅仅是物理规律,更蕴含着深刻的数学原理.在生活中,我们常遇到寻找最短路径的问题,这些问题和上述的光传播原理有怎样的联系呢?
[观察感知]如图(1)是光的反射路径示意图,入射角等于反射角.其中A为光源,B为观察点,M为镜面上的反射点,光线沿路径A→M→B传播,光传播的路径最短.
[类比迁移]如图(2),设镜面为直线l,A和B是l同侧的两点.试在l上找一点M,使得AM+MB最小.
[实践应用]
(1)最短管道问题.
如图(3),河流两岸(a//b)有A,B两个村庄,要在河上建一座桥,使A村到B村的路径最短.桥必须与河岸垂直,如何确定桥的位置?
(2)双镜面反射.
如图(4),光线依次经过两个互相垂直的镜面,分别为a,b,从点A到达点B.证明:无论光线在两个镜面上的反射点如何选择,最终路径长度相等.
[背景引入]光在均匀介质中沿直线传播,但当遇到反射面时会发生反射.根据光的反射定律:入射光线、反射光线和法线在同一平面内,且入射角等于反射角.通过实验观察和数学分析,我们发现:一般情况下,光从一点传播到另一点时,总是以所需时间最短的路径传播.这不仅仅是物理规律,更蕴含着深刻的数学原理.在生活中,我们常遇到寻找最短路径的问题,这些问题和上述的光传播原理有怎样的联系呢?
[观察感知]如图(1)是光的反射路径示意图,入射角等于反射角.其中A为光源,B为观察点,M为镜面上的反射点,光线沿路径A→M→B传播,光传播的路径最短.
[类比迁移]如图(2),设镜面为直线l,A和B是l同侧的两点.试在l上找一点M,使得AM+MB最小.
[实践应用]
(1)最短管道问题.
如图(3),河流两岸(a//b)有A,B两个村庄,要在河上建一座桥,使A村到B村的路径最短.桥必须与河岸垂直,如何确定桥的位置?
(2)双镜面反射.
如图(4),光线依次经过两个互相垂直的镜面,分别为a,b,从点A到达点B.证明:无论光线在两个镜面上的反射点如何选择,最终路径长度相等.
答案：
[类比迁移]作点 A 关于 l 的对称点 A'，连接 A'B，交直线 l 于点 M，点 M 即为所求。
[实践应用]
(1)沿着垂直于河岸的方向平移点 A 到点 A'，使线段 AA' 的长度等于河宽，连接 A'B 交河岸 b 于点 N，在点 N 处造桥 MN，此时路径 AM+MN+BN 最短。
(2)作点 A 关于射线 a 的对称点 A'，作点 B 关于射线 b 的对称点 B'，连接 A'B'，线段 A'B' 与 a,b 的交点分别记为 C,D。由对称性，A'C=AC，B'D=BD，则光线轨迹 AC+CD+DB=A'C+CD+DB'=A'B'，即路径长度等于线段 A'B' 的长，其长度是固定的。
[类比迁移]作点 A 关于 l 的对称点 A'，连接 A'B，交直线 l 于点 M，点 M 即为所求。
[实践应用]
(1)沿着垂直于河岸的方向平移点 A 到点 A'，使线段 AA' 的长度等于河宽，连接 A'B 交河岸 b 于点 N，在点 N 处造桥 MN，此时路径 AM+MN+BN 最短。
(2)作点 A 关于射线 a 的对称点 A'，作点 B 关于射线 b 的对称点 B'，连接 A'B'，线段 A'B' 与 a,b 的交点分别记为 C,D。由对称性，A'C=AC，B'D=BD，则光线轨迹 AC+CD+DB=A'C+CD+DB'=A'B'，即路径长度等于线段 A'B' 的长，其长度是固定的。