【例1】[全国初中数学竞赛(湖北武汉)预赛]如图，点A在DE上，点F在AB上，且AC=CE，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于(
A. DC B. BC
C. AB D. AE+AC
解析：∵∠1+∠D=∠2+∠B，
又∠1=∠2，∴∠D=∠B.
又∠2=∠3，∴∠ACB=∠ECD.
又AC=EC，∴△ABC≌△EDC(AAS)，
∴DE=AB.
答案：C
C
).A. DC B. BC
C. AB D. AE+AC
解析：∵∠1+∠D=∠2+∠B，
又∠1=∠2，∴∠D=∠B.
又∠2=∠3，∴∠ACB=∠ECD.
又AC=EC，∴△ABC≌△EDC(AAS)，
∴DE=AB.
答案：C
答案：C
【例2】（第十七届江苏省初中数学竞赛）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分$∠ BAD$，$AB＞AD$，下列结论中正确的是（
A.$AB - AD ＞ CB - CD$
B.$AB - AD = CB - CD$
C.$AB - AD ＜ CB - CD$
D.$AB - AD$与$CB - CD$的大小关系不确定
A
）。A.$AB - AD ＞ CB - CD$
B.$AB - AD = CB - CD$
C.$AB - AD ＜ CB - CD$
D.$AB - AD$与$CB - CD$的大小关系不确定
答案：A
解析：如图，在AB上截取$AE = AD$，连接EC，利用角平分线翻折构造全等三角形，即$△ AEC ≌ △ ADC$，得$EC = CD$。在$△ BCE$中，运用三边关系比较相关线段的大小，即在$△ BEC$中，$BE ＞ CB - EC$，则$AB - AD ＞ CB - CD$。
解析：如图，在AB上截取$AE = AD$，连接EC，利用角平分线翻折构造全等三角形，即$△ AEC ≌ △ ADC$，得$EC = CD$。在$△ BCE$中，运用三边关系比较相关线段的大小，即在$△ BEC$中，$BE ＞ CB - EC$，则$AB - AD ＞ CB - CD$。
解析：如图，在AB上截取$AE = AD$，连接EC，利用角平分线翻折构造全等三角形，即$△ AEC ≌ △ ADC$，得$EC = CD$。在$△ BCE$中，运用三边关系比较相关线段的大小，即在$△ BEC$中，$BE ＞ CB - EC$，则$AB - AD ＞ CB - CD$。
答案：A
答案：A
答案：A
1.(全国初中数学联赛)在$△ ABC$中，已知$AC=5$，中线$AD=4$，则边$AB$的取值范围是(
A.$1＜AB＜9$
B.$3＜AB＜13$
C.$5＜AB＜13$
D.$9＜AB＜13$
B
).A.$1＜AB＜9$
B.$3＜AB＜13$
C.$5＜AB＜13$
D.$9＜AB＜13$
答案：1. B
解析：延长 AD 到点 E，使 DE=AD，连接 EC，则△ABD≌△ECD，
∴AB=EC。
∵AD=4，
∴AE=AD+DE=8。在△ACE 中，AE−AC＜CE＜AE+AC，即 8−5＜CE＜8+5，
∴3＜CE＜13，
∴3＜AB＜13。故选 B。
解析：延长 AD 到点 E，使 DE=AD，连接 EC，则△ABD≌△ECD，
∴AB=EC。
∵AD=4，
∴AE=AD+DE=8。在△ACE 中，AE−AC＜CE＜AE+AC，即 8−5＜CE＜8+5，
∴3＜CE＜13，
∴3＜AB＜13。故选 B。
2.（南外杯数学竞赛）已知正方形ABCD，则平面上使得$△ PAB$，$△ PBC$，$△ PCD$都是等腰三角形的点P的个数为（
A.5
B.9
C.11
D.13
B
）.A.5
B.9
C.11
D.13
答案：2. B
3.[全国初中数学竞赛(湖北荆州)预赛]在正方形ABCD中，∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.如果∠MAN在如图(1)所示的位置时，有BM+DN=MN成立(不必证明).请问当∠MAN绕点A旋转到如图(2)所示的位置时，线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系？请说明理由.
答案：
DN−BM=MN. 理由如下：
如图，在 DC 上截取 DE=BM，连接 AE。
在△ADE 和△ABM 中，$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠D=∠ABM, \\ DE=BM, \end{cases}$
∴△ADE≌△ABM(SAS)，
∴AE=AM，∠1=∠4。
∵∠1+∠2=45°，
∴∠2+∠4=45°，
∴∠3=45°，
∴∠MAN=∠EAN。
在△AEN 和△AMN 中，$\begin{cases} AE=AM, \\ ∠EAN=∠MAN, \\ AN=AN, \end{cases}$
∴△AEN≌△AMN(SAS)，
∴MN=EN，
∴MN=EN=DN−DE=DN−BM。
DN−BM=MN. 理由如下：
如图，在 DC 上截取 DE=BM，连接 AE。
在△ADE 和△ABM 中，$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠D=∠ABM, \\ DE=BM, \end{cases}$
∴△ADE≌△ABM(SAS)，
∴AE=AM，∠1=∠4。
∵∠1+∠2=45°，
∴∠2+∠4=45°，
∴∠3=45°，
∴∠MAN=∠EAN。
在△AEN 和△AMN 中，$\begin{cases} AE=AM, \\ ∠EAN=∠MAN, \\ AN=AN, \end{cases}$
∴△AEN≌△AMN(SAS)，
∴MN=EN，
∴MN=EN=DN−DE=DN−BM。