任务一 考虑单位圆(半径为1).
(1)计算圆内接正方形的周长$C_{内4}$和外切正方形的周长$C_{外4}$.
(2)根据$C=2π R$，分别利用$C_{内4}$和$C_{外4}$给出$π$的两个估计值，并写出$π$所在的范围.
(1)计算圆内接正方形的周长$C_{内4}$和外切正方形的周长$C_{外4}$.
(2)根据$C=2π R$，分别利用$C_{内4}$和$C_{外4}$给出$π$的两个估计值，并写出$π$所在的范围.
答案：(1) 设内接正方形边长为$a_4$，$a_4^2=4S_{三角形}=4×\frac{1}{2}×1×1$，解得$a_4=\sqrt{2}\approx1.414$，所以内接正方形的周长$C_{内4}=4× a_4\approx5.656$。外切正方形的边长等于圆的直径，设外切正方形边长为$b_4$，即$b_4=2$，所以外切正方形的周长$C_{外4}=4×2=8$。
(2) 对于单位圆(R=1)，周长$C=2π$，根据内接多边形周长$C_{内}$小于圆周长C，外切多边形周长$C_{外}$大于圆周长C，有$C_{内4}＜2π＜C_{外4}$。由内接正方形得到的估计值为$π＞\frac{C_{内4}}{2}\approx\frac{5.656}{2}=2.828$；由外切正方形得到的估计值为$π＜\frac{C_{外4}}{2}=\frac{8}{2}=4$，π的范围为$2.828＜π＜4$。
(2) 对于单位圆(R=1)，周长$C=2π$，根据内接多边形周长$C_{内}$小于圆周长C，外切多边形周长$C_{外}$大于圆周长C，有$C_{内4}＜2π＜C_{外4}$。由内接正方形得到的估计值为$π＞\frac{C_{内4}}{2}\approx\frac{5.656}{2}=2.828$；由外切正方形得到的估计值为$π＜\frac{C_{外4}}{2}=\frac{8}{2}=4$，π的范围为$2.828＜π＜4$。
[类比迁移]正六边形比正方形更接近圆,能提供更精确的π的范围.利用几何性质,可以求出单位圆内接正六边形和外切正六边形的边长.
任务二 请完成以下估算.
(1)计算单位圆内接正六边形的周长$C_{内6}$.(提示:正六边形可分成六个全等的等边三角形)
(2)计算单位圆外切正六边形的周长$C_{外6}$.(提示:外切正六边形与圆相切,直角三角形中$30°$角所对的边与邻直角边之比为$\frac{\sqrt{3}}{3}$)
(3)根据$C_{内6}$和$C_{外6}$,写出π的新的范围,并与任务一的结果进行比较.
任务二 请完成以下估算.
(1)计算单位圆内接正六边形的周长$C_{内6}$.(提示:正六边形可分成六个全等的等边三角形)
(2)计算单位圆外切正六边形的周长$C_{外6}$.(提示:外切正六边形与圆相切,直角三角形中$30°$角所对的边与邻直角边之比为$\frac{\sqrt{3}}{3}$)
(3)根据$C_{内6}$和$C_{外6}$,写出π的新的范围,并与任务一的结果进行比较.
答案：(1) 将内接正六边形的顶点与圆心相连，得到6个等腰三角形。由于圆心角为$\frac{360°}{6}=60°$，且两腰为半径(R=1)，所以这些三角形是等边三角形。因此，内接正六边形的边长等于半径，设内接正六边形的边长为$a_6$，即$a_6=1$，周长$C_{内6}=6×1=6$。
(2) 将外切正六边形分成6个与圆相切的等腰三角形。圆心到切点的连线(半径)垂直于外切正六边形的边，且平分每个等腰三角形的顶角。取其中一个三角形，圆心到顶点的连线将顶角60°平分，得到含30°角的直角三角形。即边长的一半/半径$=\frac{\frac{b_6}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore b_6=2×\frac{\sqrt{3}}{3}\approx1.155$，周长$C_{外6}=6× b_6\approx6.928$。
(3) 由$C_{内6}＜2π＜C_{外6}$，得$6＜2π＜6.928$，即$3＜π＜3.464$。
比较：任务一中π的范围是$2.828＜π＜4$，任务二中π的范围缩小为$3＜π＜3.464$。无论是下限(从2.828提高到3)还是上限(从4降低到3.464)，精度都得到了显著提升。这说明边数越多的正多边形越接近圆，估算出的π的范围越精确。
(2) 将外切正六边形分成6个与圆相切的等腰三角形。圆心到切点的连线(半径)垂直于外切正六边形的边，且平分每个等腰三角形的顶角。取其中一个三角形，圆心到顶点的连线将顶角60°平分，得到含30°角的直角三角形。即边长的一半/半径$=\frac{\frac{b_6}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore b_6=2×\frac{\sqrt{3}}{3}\approx1.155$，周长$C_{外6}=6× b_6\approx6.928$。
(3) 由$C_{内6}＜2π＜C_{外6}$，得$6＜2π＜6.928$，即$3＜π＜3.464$。
比较：任务一中π的范围是$2.828＜π＜4$，任务二中π的范围缩小为$3＜π＜3.464$。无论是下限(从2.828提高到3)还是上限(从4降低到3.464)，精度都得到了显著提升。这说明边数越多的正多边形越接近圆，估算出的π的范围越精确。