【例1】对于任意实数$x,y,z$,定义运算“*”为$x*y=\frac{3x^3y+3x^2y^2+xy^3+45}{(x+1)^3+(y+1)^3-60}$,且$x*y*z=(x*y)*z$,则$2025*2024*\dots*3*2$的值为().

A.$\frac{607}{967}$
B.$\frac{1821}{967}$
C.$\frac{5463}{967}$
D.$\frac{16389}{967}$
解析:设$2025*2024*\dots*4=m$,则$(2025*2024*\dots*4)*3=m*3=\frac{3m^3×3+3m^2×9+m×27+45}{m^3+3m^2+3m+1+64-60}=9$,
$\therefore(2025*2024*\dots*3)*2=9*2=\frac{3×9^3×2+3×9^2×2^2+9×2^3+45}{10^3+3^3-60}=\frac{5463}{967}$.
答案:C

【例2】（全国初中数学竞赛）已知$a = \sqrt{5} - 1$，则$2a^3 + 7a^2 - 2a - 12$的值等于。
解析：由已知，得$(a + 1)^2 = 5$，所以$a^2 + 2a = 4$，于是$2a^3 + 7a^2 - 2a - 12 = 2a^3 + 4a^2 + 3a^2 - 2a - 12 = 2a(a^2 + 2a) + 3a^2 - 2a - 12 = 3a^2 + 6a - 12 = 3(a^2 + 2a) - 12 = 0$。
答案：0

1.（第二十届“希望杯”全国数学邀请赛）将$x$的整数部分记为$[x]$，$x$的小数部分记为$\{x\}$，易知$x=[x]+\{x\}(0≤ \{x\}＜1)$。若$x=\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}$，则$[x]$等于（）。

A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$

2.（全国初中数学联赛）若实数 $a$，$b$，$c$ 满足等式 $2\sqrt{a} + 3|b| = 6$，$4\sqrt{a} - 9|b| = 6c$，则 $c$ 可能取的最大值为（）。

A.0
B.1
C.2
D.3

3.[全国初中数学竞赛(福建赛区)初赛]如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式$\sqrt{a^2} - |a+b| + \sqrt{(c-a)^2} + |b+c|$可以化简为().


A.$2c - a$
B.$2a - 2b$
C.$-a$
D.$a$

4.（全国初中数学竞赛）设$a=\sqrt[3]{3}$，$b$是$a^2$的小数部分，则$(b+2)^3$的值为。

5.（时代杯数学竞赛）在整数1～10 000中，有个数，不是平方数，也不是立方数。

6.（全国初中数学竞赛）设 $ a,b,c $ 是素数，记 $ x = b+c-a $，$ y = c+a-b $，$ z = a+b-c $，当 $ z^2 = y $，$ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2 $ 时，$ a,b,c $ 能否构成三角形的三边长？证明你的结论。