1.（2025·广东广州期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。若AC=3，BC=4，则△AED的周长为（
（第1题）
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）。（第1题）A.3
B.4
C.5
D.6
答案：1. B [解析]
∵∠C=90°,
∴DC⊥BC.
又BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,
∴DC=DE,∠EBD=∠CBD.
在Rt△EBD和Rt△CBD中,{BD=BD,DE=DC,
∴Rt△EBD≌Rt△CBD(HL),
∴BC=BE=4.
∵AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5,
∴AE=5-4=1,
∴△AED的周长=AD+DE+AE=AC+AE=3+1=4.
故选B.
归纳总结 本题考查角平分线的性质定理及勾股定理,解题的关键是利用勾股定理求线段的长.
∵∠C=90°,
∴DC⊥BC.
又BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,
∴DC=DE,∠EBD=∠CBD.
在Rt△EBD和Rt△CBD中,{BD=BD,DE=DC,
∴Rt△EBD≌Rt△CBD(HL),
∴BC=BE=4.
∵AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5,
∴AE=5-4=1,
∴△AED的周长=AD+DE+AE=AC+AE=3+1=4.
故选B.
归纳总结 本题考查角平分线的性质定理及勾股定理,解题的关键是利用勾股定理求线段的长.
2.（2025·苏州工业园区期中）如图，在$△ ABC$中，$AC ⊥ BC$，边$AC$在数轴上，点$A$表示的数为1，点$C$表示的数为2，$BC$的长为2个单位长度，以点$A$为圆心，$AB$的长为半径画弧，与数轴交于点$D$，则点$D$表示的数为（
A.$-1-\sqrt{3}$
B.$1-\sqrt{3}$
C.$-1-\sqrt{5}$
D.$1-\sqrt{5}$
D
）。A.$-1-\sqrt{3}$
B.$1-\sqrt{3}$
C.$-1-\sqrt{5}$
D.$1-\sqrt{5}$
答案：2. D [解析]由题意可知,AC=1,BC=2,
∴AB=√(2²+1²)=√5.
∵以点A为圆心,AB的长为半径画弧,与数轴交于点D,
∴AD=AB=√5,
∴点D表示的数为1-√5.故选D.
∴AB=√(2²+1²)=√5.
∵以点A为圆心,AB的长为半径画弧,与数轴交于点D,
∴AD=AB=√5,
∴点D表示的数为1-√5.故选D.
3. (2026·南通海门区期末)如图,以$\mathrm{Rt}△ ACB$的两边$AB$,$BC$为边向外所作正方形的面积分别是$26\ \mathrm{cm}^2$,$10\ \mathrm{cm}^2$,则以另一边$AC$为直径向外作半圆的面积为
2π
$\mathrm{cm}^2$.答案：3. 2π [解析]
∵以Rt△ACB的两边AB,BC为边向外所作正方形的面积分别是26 cm²,10 cm²,AC²=AB²-BC²,
∴AC²=26-10=16,
∴以另一边AC为直径向外作半圆的面积为1/2 π×(AC/2)²=1/2 π×16/4=2π(cm²).
∵以Rt△ACB的两边AB,BC为边向外所作正方形的面积分别是26 cm²,10 cm²,AC²=AB²-BC²,
∴AC²=26-10=16,
∴以另一边AC为直径向外作半圆的面积为1/2 π×(AC/2)²=1/2 π×16/4=2π(cm²).
4. 方程思想 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$AC=8$，$BC=6$，$AD$ 为 $△ ABC$ 的角平分线。求 $CD$ 的长度。
答案：
4. 如图,过点D作DP⊥AB于点P.
在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,
∴AB=√(AC²+BC²)=√(8²+6²)=10.
∵∠CAD=∠PAD,∠C=∠APD=90°,AD=AD,
∴△ADC≌△ADP,
∴AC=AP=8,CD=PD.设CD=PD=x,
在Rt△BDP中,PB=AB-AP=2,BD=6-x,
∴x²+2²=(6-x)²,
∴x=8/3,
∴CD=8/3.
4. 如图,过点D作DP⊥AB于点P.
在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,
∴AB=√(AC²+BC²)=√(8²+6²)=10.
∵∠CAD=∠PAD,∠C=∠APD=90°,AD=AD,
∴△ADC≌△ADP,
∴AC=AP=8,CD=PD.设CD=PD=x,
在Rt△BDP中,PB=AB-AP=2,BD=6-x,
∴x²+2²=(6-x)²,
∴x=8/3,
∴CD=8/3.
5. (2025·温州三模)如图,在$Rt△ ABC$中,分别以这个三角形的三边为边向外侧作正方形,面积分别记为$S_1,S_2,S_3$.若$S_3+S_2-S_1=18$,则图中阴影部分的面积为(
A.6
B.$\frac{9}{2}$
C.5
D.$\frac{7}{2}$
B
).A.6
B.$\frac{9}{2}$
C.5
D.$\frac{7}{2}$
答案：5. B [解析]在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC²+AB²=BC²,即S₁+S₂=S₃.
∵S₃+S₂-S₁=18,
∴S₂=9.由题图可知,阴影部分的面积=1/2 S₂,
∴阴影部分的面积=9/2.故选B.
∵S₃+S₂-S₁=18,
∴S₂=9.由题图可知,阴影部分的面积=1/2 S₂,
∴阴影部分的面积=9/2.故选B.
6. 教材 P91 习题 T4·拓展 我们在学习勾股定理时，下列图形可以用来验证勾股定理的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
).A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：6. C [解析]由题图(1)和题图(3),可得S梯形=1/2(a+b)·(a+b),S梯形=1/2 ab +1/2 ab +1/2 c²,
∴1/2(a+b)(a+b)=1/2 ab +1/2 ab +1/2 c²,
∴a²+2ab+b²=ab+ab+c²,
∴a²+b²=c²,故题图(1)和题图(3)都可以验证勾股定理;
题图(2)中,图形的总面积可以表示为c²+2×1/2 ab =c²+ab,也可以表示为a²+b²+2×1/2 ab =a²+b²+ab,
∴c²+ab=a²+b²+ab,
∴a²+b²=c²,
故题图(2)可以验证勾股定理;题图(4)不可以验证勾股定理.综上所述,题图(1)、题图(2)和题图(3)可以验证勾股定理,共3个.故选C.
∴1/2(a+b)(a+b)=1/2 ab +1/2 ab +1/2 c²,
∴a²+2ab+b²=ab+ab+c²,
∴a²+b²=c²,故题图(1)和题图(3)都可以验证勾股定理;
题图(2)中,图形的总面积可以表示为c²+2×1/2 ab =c²+ab,也可以表示为a²+b²+2×1/2 ab =a²+b²+ab,
∴c²+ab=a²+b²+ab,
∴a²+b²=c²,
故题图(2)可以验证勾股定理;题图(4)不可以验证勾股定理.综上所述,题图(1)、题图(2)和题图(3)可以验证勾股定理,共3个.故选C.
7. 传统文化 了解月牙定理 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,分别以各边为直径作半圆,图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”.当$AC=8$,$BC=6$时,阴影部分的面积为
24
.答案：7. 24 [解析]在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴AB=√(AC²+BC²)=√(8²+6²)=10.
以AC为直径的半圆的面积=πr²/2=π×4²/2=8π,
以BC为直径的半圆的面积=πr²/2=π×3²/2=4.5π,
以AB为直径的半圆的面积=πr²/2=π×5²/2=12.5π,
S△ABC=1/2 AC·BC=1/2×8×6=24,
∴S阴影=8π+4.5π+24-12.5π=24.
∴AB=√(AC²+BC²)=√(8²+6²)=10.
以AC为直径的半圆的面积=πr²/2=π×4²/2=8π,
以BC为直径的半圆的面积=πr²/2=π×3²/2=4.5π,
以AB为直径的半圆的面积=πr²/2=π×5²/2=12.5π,
S△ABC=1/2 AC·BC=1/2×8×6=24,
∴S阴影=8π+4.5π+24-12.5π=24.