8. 等积法（2025·山东泰安新泰期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=15,AC=20.
(1)求BC的值；
(2)过点A作AD⊥BC,垂足为D,求BD的值.
(1)求BC的值；
(2)过点A作AD⊥BC,垂足为D,求BD的值.
答案：
8. (1)在△ABC中,
∵∠BAC=90°,AB=15,AC=20,
∴BC=√(AB²+AC²)=√(15²+20²)=25.
(2)如图,过点A作AD⊥BC于点D,
∴S△ABC=1/2 AB·AC=1/2 BC·AD,
∴AD=(AB·AC)/BC=(15×20)/25=12,
∴BD=√(AB²-AD²)=√(15²-12²)=9.
归纳总结 本题考查了勾股定理和三角形的面积公式,掌握直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用是解答本题的关键.
8. (1)在△ABC中,
∵∠BAC=90°,AB=15,AC=20,
∴BC=√(AB²+AC²)=√(15²+20²)=25.
(2)如图,过点A作AD⊥BC于点D,
∴S△ABC=1/2 AB·AC=1/2 BC·AD,
∴AD=(AB·AC)/BC=(15×20)/25=12,
∴BD=√(AB²-AD²)=√(15²-12²)=9.
归纳总结 本题考查了勾股定理和三角形的面积公式,掌握直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用是解答本题的关键.
9.（2026·南通海门区期末改编）如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°,AC=8,BC=6.$
(1)求AB的长；
(2)作$∠ ABC$的平分线交AC于点D，求CD的长。
(1)求AB的长；
(2)作$∠ ABC$的平分线交AC于点D，求CD的长。
答案：
9. (1)
∵∠C=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=√(AC²+BC²)=10.
(2)如图,过点D作DH⊥AB于点H.
∵∠C=90°,
∴DC⊥BC.
∵BD平分∠ABC,
∴DH=DC,∠DBC=∠DBH.
设CD=a,则AD=8-a,DH=a.
在△BCD和△BHD中,{∠C=∠DHB=90°,∠CBD=∠HBD,BD=BD,
∴△BCD≌△BHD,
∴BC=BH=6,
∴AH=10-6=4.
∵DH⊥AB,
∴∠DHA=90°,
∴在Rt△ADH中,AD²=AH²+DH²,
即(8-a)²=4²+a²,解得a=3.故CD=3.
9. (1)
∵∠C=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=√(AC²+BC²)=10.
(2)如图,过点D作DH⊥AB于点H.
∵∠C=90°,
∴DC⊥BC.
∵BD平分∠ABC,
∴DH=DC,∠DBC=∠DBH.
设CD=a,则AD=8-a,DH=a.
在△BCD和△BHD中,{∠C=∠DHB=90°,∠CBD=∠HBD,BD=BD,
∴△BCD≌△BHD,
∴BC=BH=6,
∴AH=10-6=4.
∵DH⊥AB,
∴∠DHA=90°,
∴在Rt△ADH中,AD²=AH²+DH²,
即(8-a)²=4²+a²,解得a=3.故CD=3.
10.（2026·北京平谷区期末）如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，AD平分$∠ BAC$交BC于点D，过点D作$DE// AC$交AB于点E，过点D作$DF⊥ AB$于点F.
(1)求证:$AE=DE$；
(2)如果$AE=4$，$BD=3$，求$EF$的长.
(1)求证:$AE=DE$；
(2)如果$AE=4$，$BD=3$，求$EF$的长.
答案：10. (1)
∵AD平分∠BAC交BC于点D,
∴∠CAD=∠BAD.
∵DE//AC,
∴∠ADE=∠CAD,
∴∠DAB=∠ADE,
∴AE=DE.
(2)
∵DE//AC,∠C=90°,
∴∠EDB=∠C=90°.
∵AE=4,
∴DE=AE=4.
∵BD=3,
∴BE=√(DE²+BD²)=5.
∵DF⊥AB,
∴S△BDE=1/2 DF·BE=1/2 DE·BD,
∴DF=(DE·BD)/BE=(4×3)/5=12/5,
∴EF=√(DE²-DF²)=16/5.
∵AD平分∠BAC交BC于点D,
∴∠CAD=∠BAD.
∵DE//AC,
∴∠ADE=∠CAD,
∴∠DAB=∠ADE,
∴AE=DE.
(2)
∵DE//AC,∠C=90°,
∴∠EDB=∠C=90°.
∵AE=4,
∴DE=AE=4.
∵BD=3,
∴BE=√(DE²+BD²)=5.
∵DF⊥AB,
∴S△BDE=1/2 DF·BE=1/2 DE·BD,
∴DF=(DE·BD)/BE=(4×3)/5=12/5,
∴EF=√(DE²-DF²)=16/5.
11. 新考法 探究不同条件下线段数量关系 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$.
(1)若$P$为$BC$的中点，求证：$AB^2 - AP^2 = PB · PC$；
(2)若$P$为$BC$上的任意一点，判断(1)中的结论是否成立，请证明；
(3)若$P$为$BC$延长线上一点，探究$AB, AP, PB, PC$之间的数量关系.
(1)若$P$为$BC$的中点，求证：$AB^2 - AP^2 = PB · PC$；
(2)若$P$为$BC$上的任意一点，判断(1)中的结论是否成立，请证明；
(3)若$P$为$BC$延长线上一点，探究$AB, AP, PB, PC$之间的数量关系.
答案：
11. (1)如图(1),连接AP.
∵AB=AC,P是BC的中点,
∴AP⊥BC,PB=PC.
在Rt△ABP中,AB²=BP²+AP²,
∴AB²-AP²=BP².
又PB=PC,
∴PB·PC=BP²,
∴AB²-AP²=PB·PC.
(2)结论成立.证明如下:
如图(2),连接AP,过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD.
在Rt△ABD中,AB²=AD²+BD²,
同理AP²=AD²+DP²,
∴AB²-AP²=AD²+BD²-(AD²+DP²)=BD²-DP².又PB=BD+DP,PC=CD-DP=BD-DP,
∴PB·PC=(BD+DP)(BD-DP)=BD²-DP²,
∴AB²-AP²=PB·PC.
(3)AP²-AB²=PB·PC.理由如下:
如图(3),连接AP,过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD.
在Rt△ABD中,AB²=AD²+BD²,
在Rt△ADP中,AP²=AD²+DP²,
∴AP²-AB²=(AD²+DP²)-(AD²+BD²)=DP²-BD².
又PB=DP+BD,PC=DP-CD=DP-BD,
∴PB·PC=(DP+BD)(DP-BD)=DP²-BD²,
∴AP²-AB²=PB·PC.
11. (1)如图(1),连接AP.
∵AB=AC,P是BC的中点,
∴AP⊥BC,PB=PC.
在Rt△ABP中,AB²=BP²+AP²,
∴AB²-AP²=BP².
又PB=PC,
∴PB·PC=BP²,
∴AB²-AP²=PB·PC.
(2)结论成立.证明如下:
如图(2),连接AP,过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD.
在Rt△ABD中,AB²=AD²+BD²,
同理AP²=AD²+DP²,
∴AB²-AP²=AD²+BD²-(AD²+DP²)=BD²-DP².又PB=BD+DP,PC=CD-DP=BD-DP,
∴PB·PC=(BD+DP)(BD-DP)=BD²-DP²,
∴AB²-AP²=PB·PC.
(3)AP²-AB²=PB·PC.理由如下:
如图(3),连接AP,过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD.
在Rt△ABD中,AB²=AD²+BD²,
在Rt△ADP中,AP²=AD²+DP²,
∴AP²-AB²=(AD²+DP²)-(AD²+BD²)=DP²-BD².
又PB=DP+BD,PC=DP-CD=DP-BD,
∴PB·PC=(DP+BD)(DP-BD)=DP²-BD²,
∴AP²-AB²=PB·PC.
12. 传统文化 了解赵爽弦图（2024·南通中考）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形. 设直角三角形的两条直角边长分别为$m$，$n$（$m＞n$）. 若小正方形面积为5，$(m+n)^2=21$，则大正方形面积为（
A.12
B.13
C.14
D.15
B
）.A.12
B.13
C.14
D.15
答案：12. B [解析]由题意可知,中间小正方形的边长为m-n,
∴(m-n)²=5,即m²+n²-2mn=5. ①
∵(m+n)²=21,
∴m²+n²+2mn=21,②
由①+②,得2(m²+n²)=26,
∴大正方形的面积为m²+n²=13.故选B.
∴(m-n)²=5,即m²+n²-2mn=5. ①
∵(m+n)²=21,
∴m²+n²+2mn=21,②
由①+②,得2(m²+n²)=26,
∴大正方形的面积为m²+n²=13.故选B.