1. 教材P90尝试T1·变式（2025·苏州期中）如图，小明用4个全等且面积为6的直角三角形和1个小正方形刚好拼成一个面积为25的大正方形，则每一个直角三角形的周长为(
A.6
B.12
C.13
D.25
B
).A.6
B.12
C.13
D.25
答案：设直角三角形的两条直角边的长分别a,b(a＞b),斜边长为c,根据题意,得$c^{2}=a^{2}+b^{2}=25,4×\frac{1}{2}ab=4×6=24$,即$2ab=24$,则$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=25+24=49$,$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=25-24=1$,
$\therefore \{\begin{array}{l} a+b=7,\\ a-b=1,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=4,\\ b=3.\end{array} $$\because c=\sqrt {25}=5$,$\therefore$每个直角三角形的周长为$5+4+3=12$. 故选B.
$\therefore \{\begin{array}{l} a+b=7,\\ a-b=1,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=4,\\ b=3.\end{array} $$\because c=\sqrt {25}=5$,$\therefore$每个直角三角形的周长为$5+4+3=12$. 故选B.
2.（2025·南通海安月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图(1)）拼成的大正方形（如图(2)）。设直角三角形较长直角边长为$a$，较短直角边长为$b$，若$ab=8$，大正方形的面积为25，则图(2)中$EF^2$为
18
。答案：由题图(2)可知,中间的四边形是边长为$(a-b)$的小正方形.$\because$大正方形的面积为25,$\therefore AB^{2}=25$,
$\therefore \frac {ab}{2}×4+(a-b)^{2}=25$,
大正方形的面积为四个全等的直角三角形的面积加中间小正方形的面积
$\therefore (a-b)^{2}+2ab=25$,$\therefore (a-b)^{2}+2×8=25$,$\therefore a-b=3$(负值已舍),即题图(2)中小正方形的边长为3,$\therefore EF^{2}=3^{2}+3^{2}=18$.
$\therefore \frac {ab}{2}×4+(a-b)^{2}=25$,
大正方形的面积为四个全等的直角三角形的面积加中间小正方形的面积
$\therefore (a-b)^{2}+2ab=25$,$\therefore (a-b)^{2}+2×8=25$,$\therefore a-b=3$(负值已舍),即题图(2)中小正方形的边长为3,$\therefore EF^{2}=3^{2}+3^{2}=18$.
3. (2025·江西吉安期中)如图,在长方形ABCD中,AB=8,AD=10,E是边AB上一点,将△BCE沿直线CE折叠,点B的对应点F恰好落在边AD上,求AE的长.
答案：$\because$四边形ABCD是长方形,将$△ BCE$沿直线CE折叠,点B的对应点F恰好落在边AD上,$\therefore AB=CD=8$,$BC=AD=FC=10$,$\therefore DF=\sqrt {10^{2}-8^{2}}=6$,$\therefore AF=10-6=4$. 设$AE=x$,则$BE=FE=8-x$. 在$\mathrm{Rt}△ AEF$中,$AE^{2}+AF^{2}=EF^{2}$,$\therefore x^{2}+4^{2}=(8-x)^{2}$,解得$x=3$,$\therefore AE=3$.
4. 传统文化 学习“出入相补”法
（2025·扬州广陵区期中）中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，A，B，E三点在一条直线上.现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE.若正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则AE的长为（
A.22
B.20
C.18
D.16
（2025·扬州广陵区期中）中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，A，B，E三点在一条直线上.现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE.若正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则AE的长为（
B
）.A.22
B.20
C.18
D.16
答案：
设$BC=b$,$EF=a$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=220$.
$\because$四边形BEFG、四边形CHIE和ABCD都是正方形,
$\therefore BC=AB=b$,$BG=BE=EF=a$,$∠ EBC=90^{\circ }$,$∠ CEI=90^{\circ }$,$CE=EI$,$\therefore ∠ CEB+∠ ECB=90^{\circ }$,$∠ CEB+∠ KEI=90^{\circ }$,$\therefore ∠ ECB=∠ IEK$.
在$△ ECB$和$△ IEK$中,$\{\begin{array}{l} ∠ EBC=∠ IKE,\\ ∠ ECB=∠ IEK,\\ CE=EI,\end{array} $
$\therefore △ ECB≌ △ IEK(\mathrm{AAS})$,$\therefore S_{△ ECB}=S_{△ IEK}=\frac {1}{2}ab$.
$\because$将正方形ABCD和正方形BEFG裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE,$\therefore S_{\mathrm{正方形}HCEI}=a^{2}+b^{2}$,$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{正方形}HCEI}-(S_{△ ECB}+S_{△ IEK})=a^{2}+b^{2}-ab=130$,$\therefore ab=90$,$\therefore a^{2}+b^{2}+2ab=(a+b)^{2}=220+2×90=400$,即$a+b=20$,$\therefore AE=a+b=20$. 故选B.
设$BC=b$,$EF=a$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=220$.
$\because$四边形BEFG、四边形CHIE和ABCD都是正方形,
$\therefore BC=AB=b$,$BG=BE=EF=a$,$∠ EBC=90^{\circ }$,$∠ CEI=90^{\circ }$,$CE=EI$,$\therefore ∠ CEB+∠ ECB=90^{\circ }$,$∠ CEB+∠ KEI=90^{\circ }$,$\therefore ∠ ECB=∠ IEK$.
在$△ ECB$和$△ IEK$中,$\{\begin{array}{l} ∠ EBC=∠ IKE,\\ ∠ ECB=∠ IEK,\\ CE=EI,\end{array} $
$\therefore △ ECB≌ △ IEK(\mathrm{AAS})$,$\therefore S_{△ ECB}=S_{△ IEK}=\frac {1}{2}ab$.
$\because$将正方形ABCD和正方形BEFG裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE,$\therefore S_{\mathrm{正方形}HCEI}=a^{2}+b^{2}$,$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{正方形}HCEI}-(S_{△ ECB}+S_{△ IEK})=a^{2}+b^{2}-ab=130$,$\therefore ab=90$,$\therefore a^{2}+b^{2}+2ab=(a+b)^{2}=220+2×90=400$,即$a+b=20$,$\therefore AE=a+b=20$. 故选B.
5. (2025·镇江句容期中)现有4个全等的直角三角形(阴影部分),直角边长分别为a,b,斜边长为c,将它们拼合为如图所示的形状.用两种不同的方法计算整个组合图形ABEFG的面积,可以证明勾股定理.
(1)写出你的证明过程;
(2)当a=3,b=4时,求空白部分的面积.
(1)写出你的证明过程;
(2)当a=3,b=4时,求空白部分的面积.
答案：(1)$S_{\mathrm{五边形}ABEFG}=S_{\mathrm{正方形}ACFG}+S_{△ CEF}+S_{△ ABC}=c^{2}+ab$,
五边形ABEFG的面积拆分为三角形CEF、三角形ABC、正方形ACFG的面积
$S_{\mathrm{五边形}ABEFG}=S_{\mathrm{正方形}ABDH}+S_{\mathrm{正方形}IDEF}+S_{\mathrm{三角形}AGH}+S_{\mathrm{三角形}IFG}=a^{2}+b^{2}+ab$.
五边形ABEFG的面积拆分为正方形ABDH、三角形IFG、正方形IDEF、三角形AGH的面积
$\because$两种方法表示的面积相等,$\therefore c^{2}+ab=a^{2}+b^{2}+ab$,两边消去ab,得$c^{2}=a^{2}+b^{2}$,即勾股定理得证.
(2)空白部分的面积为$S_{\mathrm{正方形}ACFG}-\frac {1}{2}ab-\frac {1}{2}ab=c^{2}-ab$,由(1)结论$c^{2}=a^{2}+b^{2}$,代入得空白部分面积为$a^{2}+b^{2}-ab$.当$a=3$,$b=4$时,$a^{2}+b^{2}-ab=3^{2}+4^{2}-3×4=9+16-12=13$. 故空白部分的面积为13.
五边形ABEFG的面积拆分为三角形CEF、三角形ABC、正方形ACFG的面积
$S_{\mathrm{五边形}ABEFG}=S_{\mathrm{正方形}ABDH}+S_{\mathrm{正方形}IDEF}+S_{\mathrm{三角形}AGH}+S_{\mathrm{三角形}IFG}=a^{2}+b^{2}+ab$.
五边形ABEFG的面积拆分为正方形ABDH、三角形IFG、正方形IDEF、三角形AGH的面积
$\because$两种方法表示的面积相等,$\therefore c^{2}+ab=a^{2}+b^{2}+ab$,两边消去ab,得$c^{2}=a^{2}+b^{2}$,即勾股定理得证.
(2)空白部分的面积为$S_{\mathrm{正方形}ACFG}-\frac {1}{2}ab-\frac {1}{2}ab=c^{2}-ab$,由(1)结论$c^{2}=a^{2}+b^{2}$,代入得空白部分面积为$a^{2}+b^{2}-ab$.当$a=3$,$b=4$时,$a^{2}+b^{2}-ab=3^{2}+4^{2}-3×4=9+16-12=13$. 故空白部分的面积为13.