6. 新考法 操作探究 [问题情境]小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图(1)，利用此图，可以验证勾股定理吗？
[初步运用](1)如图(1)，若$b=2a$，则小正方形面积：大正方形面积=
(2)现将图(1)中上方的两直角三角形向内折叠，如图(2)，若$a=4$，$b=6$，则此时空白部分的面积为
[迁移运用]用三张含$60°$角的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图(3)的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含$60°$角的三角形三边$a,b,c$之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程.(知识补充：如图(4)，含$60°$角的直角三角形的对边长$y$：斜边长$x=$定值$k$)
[初步运用](1)如图(1)，若$b=2a$，则小正方形面积：大正方形面积=
5:9
.(2)现将图(1)中上方的两直角三角形向内折叠，如图(2)，若$a=4$，$b=6$，则此时空白部分的面积为
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.[迁移运用]用三张含$60°$角的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图(3)的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含$60°$角的三角形三边$a,b,c$之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程.(知识补充：如图(4)，含$60°$角的直角三角形的对边长$y$：斜边长$x=$定值$k$)
答案：[初步运用](1)$5:9$ (2)$28$
[迁移运用]结论:$a^{2}+b^{2}-ab=c^{2}$. 理由如下:
由题意,得大正三角形的面积$=3$个全等三角形的面积$+$小正三角形的面积,$\therefore \frac {1}{2}(a+b)· k(a+b)=3×\frac {1}{2}b· ka+\frac {1}{2}c· ck$,$\therefore (a+b)^{2}=3ab+c^{2}$,$\therefore a^{2}+b^{2}-ab=c^{2}$.
[迁移运用]结论:$a^{2}+b^{2}-ab=c^{2}$. 理由如下:
由题意,得大正三角形的面积$=3$个全等三角形的面积$+$小正三角形的面积,$\therefore \frac {1}{2}(a+b)· k(a+b)=3×\frac {1}{2}b· ka+\frac {1}{2}c· ck$,$\therefore (a+b)^{2}=3ab+c^{2}$,$\therefore a^{2}+b^{2}-ab=c^{2}$.
7. 新考法 类比探究 (2026·连云港外国语学校期末)在$△ ABC$中，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，且$c≥ b≥ a$.
(1)当$△ ABC$是锐角三角形时，小明猜想：$a^2+b^2＞c^2$.以下是他的证明过程：
如图(1)，过点$A$作$AD⊥ CB$，垂足为$D$.
设$CD=x$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD^2=b^2-x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$AD^2=\underline{\quad①\quad}$，
$\therefore b^2-x^2=\underline{\quad①\quad}$.
化简，得$a^2+b^2-c^2=2ax$.
$\because a＞0,x＞0,\therefore \underline{\quad②\quad}＞0$，
$\therefore a^2+b^2-c^2＞0$，
$\therefore a^2+b^2＞c^2$.
其中，①是________，②是________.
(2)如图(2)，当$△ ABC$是钝角三角形时，猜想$a^2+b^2$与$c^2$之间的关系并证明.
(1)当$△ ABC$是锐角三角形时，小明猜想：$a^2+b^2＞c^2$.以下是他的证明过程：
如图(1)，过点$A$作$AD⊥ CB$，垂足为$D$.
设$CD=x$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD^2=b^2-x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$AD^2=\underline{\quad①\quad}$，
$\therefore b^2-x^2=\underline{\quad①\quad}$.
化简，得$a^2+b^2-c^2=2ax$.
$\because a＞0,x＞0,\therefore \underline{\quad②\quad}＞0$，
$\therefore a^2+b^2-c^2＞0$，
$\therefore a^2+b^2＞c^2$.
其中，①是________，②是________.
(2)如图(2)，当$△ ABC$是钝角三角形时，猜想$a^2+b^2$与$c^2$之间的关系并证明.
答案：
(1)$c^{2}-(a-x)^{2}$ $2ax$ [解析]如题图(1),过点A作$AD⊥CB$,垂足为D.设$CD=x$,则$DB=a-x$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AD^{2}=b^{2}-x^{2}$,在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$AD^{2}=c^{2}-(a-x)^{2}$,$\therefore b^{2}-x^{2}=c^{2}-(a-x)^{2}$,化简,得$a^{2}+b^{2}-c^{2}=2ax$.$\because a＞0$,$x＞0$,$\therefore 2ax＞0$,$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}＞0$,$\therefore a^{2}+b^{2}＞c^{2}$.
(2)$a^{2}+b^{2}＜ c^{2}$.证明如下:
如图,过点A作$AD⊥BC$,交BC的延长线于点D.
设$CD=x$.$\because$在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AD^{2}=b^{2}-x^{2}$,在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$AD^{2}=c^{2}-(a+x)^{2}$,$\therefore b^{2}-x^{2}=c^{2}-(a+x)^{2}$,化简,得$a^{2}+b^{2}-c^{2}=-2ax$.$\because a＞0$,$x＞0$,$\therefore -2ax＜0$,$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}＜0$,$\therefore a^{2}+b^{2}＜ c^{2}$.
(1)$c^{2}-(a-x)^{2}$ $2ax$ [解析]如题图(1),过点A作$AD⊥CB$,垂足为D.设$CD=x$,则$DB=a-x$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AD^{2}=b^{2}-x^{2}$,在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$AD^{2}=c^{2}-(a-x)^{2}$,$\therefore b^{2}-x^{2}=c^{2}-(a-x)^{2}$,化简,得$a^{2}+b^{2}-c^{2}=2ax$.$\because a＞0$,$x＞0$,$\therefore 2ax＞0$,$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}＞0$,$\therefore a^{2}+b^{2}＞c^{2}$.
(2)$a^{2}+b^{2}＜ c^{2}$.证明如下:
如图,过点A作$AD⊥BC$,交BC的延长线于点D.
设$CD=x$.$\because$在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AD^{2}=b^{2}-x^{2}$,在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$AD^{2}=c^{2}-(a+x)^{2}$,$\therefore b^{2}-x^{2}=c^{2}-(a+x)^{2}$,化简,得$a^{2}+b^{2}-c^{2}=-2ax$.$\because a＞0$,$x＞0$,$\therefore -2ax＜0$,$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}＜0$,$\therefore a^{2}+b^{2}＜ c^{2}$.