1. 教材P95练习T1·变式（2025·盐城期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(
A.2,3,4
B.3,4,5
C.3,4,7
D.4,5,6
B
)。A.2,3,4
B.3,4,5
C.3,4,7
D.4,5,6
答案：1.B
2. (2026·甘肃兰州安宁区期末)在$△ ABC$中，$BC=a$，$AB=c$，$AC=b$，则不能作为判定$△ ABC$是直角三角形的条件的是(
A.$∠ A=∠ B-∠ C$
B.$(a+b)(a-b)=c^2$
C.$a:b:c=1:2:3$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:7$
C
).A.$∠ A=∠ B-∠ C$
B.$(a+b)(a-b)=c^2$
C.$a:b:c=1:2:3$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:7$
答案：2.C
[解析]A. $\because ∠A=∠B-∠C,∠A+∠B+∠C=180°,\therefore ∠B=∠A+∠C=90°$,能判定$△ ABC$是直角三角形,故不符合题意;B. $\because (a+b)(a-b)=c^2,\therefore a^2-b^2=c^2$,即$a^2=c^2+b^2$,根据勾股定理的逆定理可判定$△ ABC$是直角三角形,故不符合题意;C. 由$a:b:c=1:2:3$,可设$a=x,b=2x,c=3x$,则有$a+b=3x=c$,所以不能构成三角形,更不能判定$△ ABC$是直角三角形,故符合题意;D. 由$∠A:∠B:∠C=3:4:7$,可设$∠A=3k,∠B=4k,∠C=7k$,所以$3k+4k+7k=180°$,解得$7k=90°$,能判定$△ ABC$是直角三角形,故不符合题意.故选C.
[解析]A. $\because ∠A=∠B-∠C,∠A+∠B+∠C=180°,\therefore ∠B=∠A+∠C=90°$,能判定$△ ABC$是直角三角形,故不符合题意;B. $\because (a+b)(a-b)=c^2,\therefore a^2-b^2=c^2$,即$a^2=c^2+b^2$,根据勾股定理的逆定理可判定$△ ABC$是直角三角形,故不符合题意;C. 由$a:b:c=1:2:3$,可设$a=x,b=2x,c=3x$,则有$a+b=3x=c$,所以不能构成三角形,更不能判定$△ ABC$是直角三角形,故符合题意;D. 由$∠A:∠B:∠C=3:4:7$,可设$∠A=3k,∠B=4k,∠C=7k$,所以$3k+4k+7k=180°$,解得$7k=90°$,能判定$△ ABC$是直角三角形,故不符合题意.故选C.
3.已知三条线段分别长$s,t,h$,且满足$(s+t)(s-t)=h^2$,则以这三条线段为边组成的三角形为
直角三角形
.答案：3. 直角三角形
4. 对点练→《上分攻略》P18 上分点3（2025·河北邢台信都区期末）如图是搭建帐篷的示意图. 在$△ ABC$中，支架AD从帐篷顶点A支撑在水平的支架BC上，且$AD ⊥ BC$于点D，经测量得$AB = 2\ \mathrm{m}$，$AD = 1.2\ \mathrm{m}$，$CD = 0.9\ \mathrm{m}$. 按照要求，帐篷支架AB与AC所夹的角需为直角，请通过计算说明搭建的帐篷是否符合条件. 
（第4题）
（第4题）答案：4. 帐篷符合要求.理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$CD=0.9\ \mathrm{m},AD=1.2\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{1.2^2+0.9^2}=1.5(\mathrm{m})$.
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$AB=2\ \mathrm{m},AD=1.2\ \mathrm{m}$,
$\therefore BD=\sqrt{2^2-1.2^2}=1.6(\mathrm{m})$,
$\therefore BC=1.6+0.9=2.5(\mathrm{m})$.
$\because AB^2+AC^2=2^2+1.5^2=6.25,BC^2=2.5^2=6.25$,
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2,\therefore △ ABC$是直角三角形,$∠ BAC=90°$,$\therefore$帐篷符合要求.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$CD=0.9\ \mathrm{m},AD=1.2\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{1.2^2+0.9^2}=1.5(\mathrm{m})$.
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$AB=2\ \mathrm{m},AD=1.2\ \mathrm{m}$,
$\therefore BD=\sqrt{2^2-1.2^2}=1.6(\mathrm{m})$,
$\therefore BC=1.6+0.9=2.5(\mathrm{m})$.
$\because AB^2+AC^2=2^2+1.5^2=6.25,BC^2=2.5^2=6.25$,
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2,\therefore △ ABC$是直角三角形,$∠ BAC=90°$,$\therefore$帐篷符合要求.
5. 教材 P96 习题 T1·变式 下列由三条线段 $a,b,c$（所对的角分别为 $∠ A,∠ B,∠ C$）构成的三角形：①$∠ A+∠ B=∠ C$；②$a=3k,b=4k,c=5k(k＞0)$；③$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$；④$a=m^2+1,b=m^2-1,c=2m$（$m$ 为大于1的整数）。其中能构成直角三角形的是（
A.①④
B.①②④
C.②③④
D.①②③
B
）。A.①④
B.①②④
C.②③④
D.①②③
答案：5.B
[解析]①$\because ∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,\therefore ∠C+∠C=180°,\therefore ∠C=90°$,$\therefore$能构成直角三角形;②$\because a^2+b^2=(3k)^2+(4k)^2=25k^2,c^2=(5k)^2=25k^2$,$\therefore a^2+b^2=c^2$,$\therefore$能构成直角三角形;③$\because ∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C=180°,\therefore ∠C=180°×\frac{5}{12}=75°$,$\therefore$不能构成直角三角形;④$\because a^2=(m^2+1)^2=m^4+2m^2+1,b^2+c^2=(m^2-1)^2+(2m)^2=m^4-2m^2+1+4m^2=m^4+2m^2+1$,$\therefore a^2=b^2+c^2$,$\therefore$能构成直角三角形，$\therefore$能构成直角三角形的是①②④. 故选B.
归纳总结 本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理,熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键.
[解析]①$\because ∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,\therefore ∠C+∠C=180°,\therefore ∠C=90°$,$\therefore$能构成直角三角形;②$\because a^2+b^2=(3k)^2+(4k)^2=25k^2,c^2=(5k)^2=25k^2$,$\therefore a^2+b^2=c^2$,$\therefore$能构成直角三角形;③$\because ∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C=180°,\therefore ∠C=180°×\frac{5}{12}=75°$,$\therefore$不能构成直角三角形;④$\because a^2=(m^2+1)^2=m^4+2m^2+1,b^2+c^2=(m^2-1)^2+(2m)^2=m^4-2m^2+1+4m^2=m^4+2m^2+1$,$\therefore a^2=b^2+c^2$,$\therefore$能构成直角三角形，$\therefore$能构成直角三角形的是①②④. 故选B.
归纳总结 本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理,熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键.
6. 传统文化 《数书九章》我国古代著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问沙田一段，有三斜，其中小斜三里，中斜四里，大斜五里，欲知为田几何？”题目大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为3里、4里、5里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里$=500\ \mathrm{m}$，则该沙田的面积为(
A.$1.5\ \mathrm{km}^2$
B.$3\ \mathrm{km}^2$
C.$6\ \mathrm{km}^2$
D.$30\ \mathrm{km}^2$
A
).A.$1.5\ \mathrm{km}^2$
B.$3\ \mathrm{km}^2$
C.$6\ \mathrm{km}^2$
D.$30\ \mathrm{km}^2$
答案：6.A
[解析]$\because$根据勾股定理的逆定理,得$3^2+4^2=25=5^2$,$\therefore$该三角形为直角三角形,$\therefore \frac{1}{2}×3×4=6$(平方里)$=6×0.5^2=1.5(\mathrm{km}^2)$,即该沙田的面积为$1.5\ \mathrm{km}^2$. 故选A.
[解析]$\because$根据勾股定理的逆定理,得$3^2+4^2=25=5^2$,$\therefore$该三角形为直角三角形,$\therefore \frac{1}{2}×3×4=6$(平方里)$=6×0.5^2=1.5(\mathrm{km}^2)$,即该沙田的面积为$1.5\ \mathrm{km}^2$. 故选A.
7. (2025·连云港东海期中)如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为
45°
。答案：
7.$45°$
[解析]将$∠2$向下平移1格得到$∠ABE$,如图,连接$AC$,$\therefore ∠2=∠ABE$.
$\because AC^2=AD^2+CD^2=2^2+1^2=5$,
$AB^2=BE^2+AE^2=2^2+1^2=5$,$BC^2=3^2+1^2=10$,$\therefore AC^2+AB^2=BC^2$,
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ABC=45°$,
$\therefore ∠ABE+∠1=45°$,$\therefore ∠1+∠2=45°$.
7.$45°$
[解析]将$∠2$向下平移1格得到$∠ABE$,如图,连接$AC$,$\therefore ∠2=∠ABE$.
$\because AC^2=AD^2+CD^2=2^2+1^2=5$,
$AB^2=BE^2+AE^2=2^2+1^2=5$,$BC^2=3^2+1^2=10$,$\therefore AC^2+AB^2=BC^2$,
$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ABC=45°$,
$\therefore ∠ABE+∠1=45°$,$\therefore ∠1+∠2=45°$.
8. 新考法 探究新定义问题 定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点。
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由。
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=24,AM=6,求BN的长。
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由。
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=24,AM=6,求BN的长。
答案：8.(1)是. 理由如下: $\because AM^2+BN^2=1.5^2+2^2=6.25$,
$MN^2=2.5^2=6.25$,$\therefore AM^2+NB^2=MN^2$,$\therefore$以$AM$,$MN$,$NB$为边的三角形是一个直角三角形,$\therefore$点$M,N$是线段$AB$的勾股分割点.
(2)设$BN=x$,则$MN=24-AM-BN=18-x$.
①当$MN$为最长线段时,由题意,得$MN^2=AM^2+NB^2$,即$(18-x)^2=x^2+36$,解得$x=8$;
②当$BN$为最长线段时,由题意,得$BN^2=AM^2+MN^2$,即$x^2=36+(18-x)^2$,解得$x=10$. 综上所述,$BN$的长为8或10.
易错警示 本题考查了勾股定理的逆定理的运用,解题的关键是理解题意,学会分类讨论,注意不能漏解.
$MN^2=2.5^2=6.25$,$\therefore AM^2+NB^2=MN^2$,$\therefore$以$AM$,$MN$,$NB$为边的三角形是一个直角三角形,$\therefore$点$M,N$是线段$AB$的勾股分割点.
(2)设$BN=x$,则$MN=24-AM-BN=18-x$.
①当$MN$为最长线段时,由题意,得$MN^2=AM^2+NB^2$,即$(18-x)^2=x^2+36$,解得$x=8$;
②当$BN$为最长线段时,由题意,得$BN^2=AM^2+MN^2$,即$x^2=36+(18-x)^2$,解得$x=10$. 综上所述,$BN$的长为8或10.
易错警示 本题考查了勾股定理的逆定理的运用,解题的关键是理解题意,学会分类讨论,注意不能漏解.